雙連續(xù)C半群的Cesàro遍歷定理

倉定幫,陳 藏,宋曉秋

(1.華北科技學院a.基礎(chǔ)部,b.教務(wù)處,中國 北京 101601;2.中國礦業(yè)大學理學院, 中國 徐州 221008)

雙連續(xù)C半群的Cesàro遍歷定理

倉定幫1a,陳 藏1b*,宋曉秋2

(1.華北科技學院a.基礎(chǔ)部,b.教務(wù)處,中國 北京 101601;2.中國礦業(yè)大學理學院, 中國 徐州 221008)

結(jié)合雙連續(xù)C半群的概念，給出了雙連續(xù)C半群Cesàro遍歷的定義及性質(zhì)，借助于雙連續(xù)C半群的生成元及正則集,得到了在拓撲τ收斂意義下的雙連續(xù)C半Cesàro遍歷的若干結(jié)果．

雙連續(xù)C半群；Cesàro遍歷；生成元

抽象空間的算子微分方程是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要研究領(lǐng)域，主要是利用泛函分析的理論方法來研究抽象微分方程．自1952年Hille正式引入抽象Cauchy問題后，學者們對抽象空間微分方程進行了系統(tǒng)的研究，算子半群理論正是伴隨著解決微分方程的過程而產(chǎn)生的，二者有著密切的關(guān)系．一些重大的實際問題，如人口，生態(tài)等宏觀問題；中子遷移，化學反應(yīng)等微觀問題，利用算子半群選取適當?shù)目臻g都可以轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的抽象Cauchy問題．可見算子半群理論的研究有著很重要的實際價值．強連續(xù)半群一直是近年來算子理論研究的重點，經(jīng)典的C0半群理論、C半群理論、積分半群理論等理論相對較成熟，在偏微分方程的領(lǐng)域有著很好的應(yīng)用價值．近年來對有界連續(xù)或一致連續(xù)函數(shù)空間上半群的研究引起了人們對空間上非強連續(xù)半群的研究．Kuhnemund在文獻[1]中指出在實際問題中許多情況下對應(yīng)的半群不是強連續(xù)的,存在Banach空間上的一些特殊的非強連續(xù)半群,并通過對這些半群的具體研究Kuhnemund在Banach空間上附加一個比范數(shù)拓撲粗的局部拓撲,使得半群在局部拓撲下強連續(xù),從而提出了雙連續(xù)半群的概念．文獻[1]還指出序列完備的局部凸空間上的等度連續(xù)半群滿足的條件比雙連續(xù)半群強,且等度連續(xù)實際應(yīng)用不是很廣,許多情況所對應(yīng)的空間是Banach空間,可以賦予一個比范數(shù)拓撲粗的局部拓撲,從而說明雙連續(xù)半群理論有非常好的應(yīng)用價值．算子半群的遍歷性是半群研究的一個重點內(nèi)容，文獻[5～13]分別研究了幾類算子半群的遍歷性．本文研究了雙連續(xù)C半群的Cesàro遍歷定理，給出了在拓撲τ收斂意義下的雙連續(xù)C半群Cesàro遍歷的若干結(jié)果．

1 定義與引理

假設(shè)X是Banach空間,X′是它的共軛空間,τ是X上的一個局部凸拓撲,并且具有以下性質(zhì)：

(1)空間(X,τ)是在‖·‖-有界集上序列完備,即每個‖·‖-有界的τ柯西列在(X,τ)中收斂；

(2)τ拓撲比‖·‖拓撲粗且τ是Hausdorff拓撲；

(3)(X,‖·‖)中的范數(shù)可以由空間(X,τ)′定義,即對每個x∈X有‖x‖=sup{〈x,φ〉|φ∈(X,τ)′,‖φ‖(X,‖·‖)′≤1}．

記Φ={φ∈(X,τ)′,‖φ‖(X,‖·‖)′≤1},Pτ是上的局部凸拓撲所對應(yīng)的半范數(shù)蔟,由假設(shè)，不失一般性,不妨認為p(x)≤‖x‖,x∈X,p∈Pτ．本文中所有算子均為線性算子,D(A)表示算子的定義域．

定義3[1]算子族{T(t)}t≥0?B(X)稱為局部等度雙連續(xù),若對每個t0≥0,子集 {T(t):0≤t≤t0}等度雙連續(xù)．

定義4[1]如果算子族{T(t)}t≥0?B(X)滿足下列條件，則稱{T(t)}t≥0為指數(shù)有界的雙連續(xù)C半群,簡稱為雙連續(xù)C半群:

(1)T(0)=C,T(t+s)C=T(t)T(s),?t,s≥0;(2) {T(t)}t≥0強τ-連續(xù);

(3){T(t)}t≥0局部等度連續(xù);(4) {T(t)}t≥0指數(shù)有界,即?M,ω≥0使得‖T(t)‖≤Meωt,?t≥0．

注明：本文涉及到的積分均理解為τ意義下的Riemann積分．

引理1[4]設(shè){T(t)}t≥0為雙連續(xù)C半群,(A,D(A))為其生成元,下列結(jié)論成立：

2 主要定理

證算子{V(r)}r≥0的線性性質(zhì)由半群{T(t)}t≥0的線性即可得到,又根據(jù)表達式

證畢．

定理2設(shè){T(t)}t≥0是拓撲τ意義下的雙連續(xù)壓縮C半群,(A,D(A))是其生成元,則

kerA=fix(T(x))={x∈X:T(t)x=Cx,?t≥0}．

定理3設(shè){T(t)}t≥0是拓撲τ意義下的雙連續(xù)壓縮C半群,(A,D(A))是其生成元,則其Cesàro平均{V(r)}r≥0具有下列性質(zhì)：

證(1)(2)由τ拓撲意義下的Riemann積分的定義及半群{T(t)}t≥0的強τ連續(xù)性及其性質(zhì)可得．

(1)

即y∈fix(T(t))．

知算子P是有界算子．

定理4設(shè){T(t)}t≥0是拓撲τ意義下的雙連續(xù)壓縮C半群,(A,D(A))是其生成元, {T(t)}t≥0Cesàro遍歷,則算子P滿足CP=T(t)P=PT(t)=P2,并且

(1)CkerA?rg(P)?kerA=fix(T(t))t≥0；

下面給出從生成元角度刻畫的雙連續(xù)C半群的遍歷定理．

定理5設(shè){T(t)}t≥0是拓撲τ意義下的雙連續(xù)壓縮C半群,(A,D(A))是其生成元,則下列結(jié)論等價：

(1) {T(t)}t≥0是Cesàro遍歷的,即V(r)x在拓撲τ意義下當r→∞時在X中收斂．

(2)λR(λ,A)Cx在拓撲τ意義下當λ→0+時在X中收斂．

證畢．

定理6設(shè){T(t)}t≥0是拓撲τ意義下的雙連續(xù)壓縮C半群,(A,D(A))是其生成元.考慮下面結(jié)論：

(a) {T(t)}t≥0是τ-Cesàro遍歷的．

(c)對每個x∈X,存在無界序列(rn)∈R+，使得V(rn)x在X中存在τ弱聚點．

則(a)?(b)?(c), (a)?(d)?(e)．進一步，若對τ弱收斂于X的‖·‖有界序列xn，有

(2)

則 (c)?(d)．

(c)?(d)設(shè)x∈X,(rn)∈R+是無界序,V(rn)x當n→∞時τ弱收斂于y∈X．由式(2),對t>0,當n→∞時，(C-T(t))V(rn)x在τ拓撲意義下收斂于(C-T(t))y,由定理3(2)得

(a)?(d) 設(shè)x∈X,由假設(shè)V(r)x在r→∞時τ收斂于y∈X.所以若(rn)∈R+是無界序列,則V(rn)x是‖·‖有界序列并收斂于y∈X．因{T(t)}t≥0是拓撲τ意義下的雙連續(xù)C半群,所以(C-T(t))V(rn)x在n→∞時τ收斂于Cy-T(t)y．重復(c)?(d)的證明過程即可．證畢．

類似可得，〈y,y′〉=〈x0,y′〉．

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(編輯 沈小玲)

Cesàro Ergodic Theorems for Bi-continuousC-semigroups

CANGDing-bang1a,CHENCang1b*,SONGXiao-qiu2

(1a.Department of Basic Curriculums, 1b.Department of Academic Affairs, North China Institute of Science and Technology, Beijing 101601, China;2. College of Science, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221008, China)

The main properties of bi-continuousC-semigroups are introduced. The convergence of the Cesàro means of bi-continuousC-semigroups is studied. More precisely, by means of the generator and resolvent of bi-continuousC-semigroups, some results on theτ-convergence of the Cesàro means of bi-continuousC-semigroups with respect to the topologyτare given.

bi-continuousCsemigroups; Cesàro ergodicity ;generator

2012-12-03

國家自然科學基金資助項目(10671205);中央高?；究蒲谢鹳Y助項目(3142012022，3142013039)

*

,E-mail：cdb@ncist.edu.cn

O177.2

A

1000-2537(2014)02-0067-05