廣義太極代數(shù)：?R上的邏輯代數(shù)

王俊龍

(《高等學校文科學術文摘》雜志社，中國 上海 200234)

廣義太極代數(shù)：?R上的邏輯代數(shù)

王俊龍*

(《高等學校文科學術文摘》雜志社，中國 上海 200234)

采取太極代數(shù)與布爾代數(shù)相比較、算術運算與邏輯運算相比較的方法，介紹超越布爾代數(shù)的太極代數(shù)和超越擴展的布爾代數(shù)的廣義太極代數(shù)，其中擴展的布爾代數(shù)是建立在擴展含0的自然數(shù)上的布爾代數(shù)．證明了廣義太極代數(shù)是一種建立在?R(實數(shù)R包含?的擴張)上的邏輯代數(shù)．同時通過廣義太極代數(shù)的建構(gòu)，討論了“數(shù)學的基礎是什么”這一問題．

太極代數(shù)；廣義太極代數(shù)；布爾代數(shù)；擴展的布爾代數(shù)

本文介紹太極代數(shù)和廣義太極代數(shù)，但都是初步的．太極代數(shù)最初是筆者將中國傳統(tǒng)的太極陰陽思想與邏輯運算規(guī)則相結(jié)合而提出的一種新的邏輯代數(shù)[1]．采取太極代數(shù)與布爾代數(shù)相比較、算術運算與邏輯運算相比較的方法，介紹超越布爾代數(shù)的太極代數(shù)和超越擴展的布爾代數(shù)的廣義太極代數(shù)．其中擴展的布爾代數(shù)由筆者所發(fā)現(xiàn)，是建立在擴展的(含0的)自然數(shù)上的布爾代數(shù)[2]．正如自然數(shù)是可擴張的，實數(shù)R也是可擴張的．實數(shù)結(jié)構(gòu)R可以擴張為包含?的結(jié)構(gòu)?R．本文證明，廣義太極代數(shù)是一種建立在?R上的邏輯代數(shù)．同時希望通過廣義太極代數(shù)的建構(gòu)引起對“數(shù)學的基礎是什么”這一問題的討論．

1 太極代數(shù)和廣義太極代數(shù)

1.1 太極代數(shù)及其新定義

在空無集合{0，?}上定義布爾加、布爾乘和補運算就得到太極代數(shù)，這是關于“空”、“無”的二元代數(shù)結(jié)構(gòu)．進一步地，在空無集合上引進陰陽集合{-1，1}就得到四元集合{0，?，-1，1}.在四元集合{0，?，-1，1}上定義布爾加、布爾乘和補運算得到的還是太極代數(shù)，這是關于“空、無、陰、陽”的四元代數(shù)結(jié)構(gòu)[3]．

其中定義在空無集合{0，?}上的太極代數(shù)是布爾代數(shù)的原型，即本原布爾代數(shù)(定義在二元集合{0，1}上)與二元太極代數(shù)同構(gòu)．因此，布爾代數(shù)是四元太極代數(shù)的子代數(shù)．

布爾代數(shù)與太極代數(shù)的區(qū)別有二：一是一元運算有別，前者是補運算后者是負運算，負運算是比補運算更具普遍意義的一元運算；二是全集和空集的定義有別．正因為太極代數(shù)所采用的一元運算是比補運算更具普遍意義的負運算，才能將空集與全集的關系表現(xiàn)為空(空類)與無(全類)之間的絕對矛盾．

筆者曾對太極代數(shù)給出一個新定義[4]：

1)(存在性)對于任意x(集合或類)，存在y，使得x-y=x成立．

其中包含差運算．依此性質(zhì)可引入空集，表明空集是任意集合的子集．

2)(對稱性)若x-y=x，則y-x=y．

對稱性使差運算與算術中的減法運算區(qū)別開來．依此性質(zhì)可引入與空集互補的全集或全類．

3)(相容性)x+y=y+x．

其中包含加法(析取)運算．此性質(zhì)表明，互不相干的兩個元素可以析取相容．

滿足以上3個條件的代數(shù)系統(tǒng)僅有2個，布爾代數(shù)和太極代數(shù)，且布爾代數(shù)是太極代數(shù)的子代數(shù)．

1.2 擴展的布爾代數(shù)

布爾代數(shù)的創(chuàng)建人布爾認為：空集為0，全集為1．這樣就導致1和0亦構(gòu)成一元互補關系．這與1和-1構(gòu)成一元互補關系是相互矛盾的．換言之，在嚴格的意義上，布爾當初設定1與0構(gòu)成互補關系是存在問題的，其當初設定只是憑借普通算術的加法單位元0和乘法單位元1．太極代數(shù)正是基于克服或糾正布爾代數(shù)的概念錯誤而建立的[4]．但是，為了避免概念上的爭論，筆者在擴展的(含0的)自然數(shù)集上建立了擴展的布爾代數(shù)[2]，如圖1．

圖1 擴展的布爾代數(shù)Fig.1 The extended Boolean algebra

圖1是擴展的布爾代數(shù)，其中仍以0為空集．根據(jù)皮亞諾公理[5]，對于任意給定的非負整數(shù)n，存在數(shù)I，使得n≤I(算術上的大小關系在邏輯上表現(xiàn)為包含關系n?I)．

在擴展的布爾代數(shù)中全集不是1也不是2或4，而是不小于任意給定的非負整數(shù)n的那個I．這就超越了布爾代數(shù)中全集為1的規(guī)定．

圖1中2-1，4-1，4-2等都是差集，I-n是n關于I的相對補集．

顯然，擴展的布爾代數(shù)是建立在擴展的(含0的)自然數(shù)系上的．正如布爾代數(shù)是太極代數(shù)的子代數(shù)，擴展的布爾代數(shù)是廣義太極代數(shù)的子代數(shù)[2]．

1.3廣義太極代數(shù)：?R上的邏輯代數(shù)

實數(shù)序是偏序結(jié)構(gòu)的，遵循序公理──三分律(trichotomy law)[6]．擴展的布爾代數(shù)是建立在偏序的擴展的(含0的)自然數(shù)上的邏輯代數(shù)．實數(shù)R是偏序的算術結(jié)構(gòu)，筆者發(fā)現(xiàn)，若在實數(shù)R上引進?生成?R，則?R是對稱的邏輯結(jié)構(gòu)，從而發(fā)現(xiàn)廣義太極代數(shù)．

若實數(shù)R要成為邏輯結(jié)構(gòu)須作如下改進，且需引入空元(?)成為擴展的實數(shù)系?R：

Ⅰ．若a>0，b>0且b>a，則[a]?[b]；

Ⅱ．若a<0，b<0且b>a，則[a]?[b]；

Ⅲ．[a]+(-[a])=0是最大元，[a]·(-[a])=?是最小元．

其中a、b為非0非?實數(shù)．[a]表示邏輯實數(shù)，以此與算術實數(shù)a相區(qū)別．Ⅰ和Ⅱ可以合并為一句：若ab>0，且b>a，則[a]?[b]．Ⅲ表示邏輯實數(shù)[a]及其邏輯相反數(shù)-[a]關于0是二分的．

廣義太極代數(shù)公理系統(tǒng)

公理1空無律

對于任意?R上的邏輯變量[a]，有

[a]+?=[a]，[a]·?=?，[a]+0=0，[a]·0=[a].

公理2互補律

對于任意?R上的邏輯變量[a]，存在唯一的-[a]，使得

[a]+(-[a])=0，[a]·(-[a])=?.

公理3交換律

對于任意?R上的邏輯變量[a]和[b]，有

[a]+[b]=[b]+[a]，[a]·[b]=[b]·[a].

公理4分配律

對于任意?R上的邏輯變量[a]、[b]和[c]，有

[a]+[b]·[c]=([a]+[b])·([a]+[c])，[a]·([b]+[c])=[a]·[b]+[a]·[c].

2 算術與邏輯計算的一致性

2.1 一元雙重否定律

算術運算：-(-a)=a．

邏輯運算：-(-[a])=[a]．

無論是算術運算還是邏輯運算，都遵循相同的一元雙重否定律．

2.2 二元雙重否定律

2.2.1 加法雙重否定律

算術運算：a+b=-(-a-b)．

邏輯運算：[a]+[b]=-(-[a]-[b])．

2.2.2 減法雙重否定律

算術運算：a-b=-(-a+b)．

邏輯運算：[a]-[b]=-(-[a]+[b])．

無論是算術運算還是邏輯運算，加法與減法都遵循相同的二元雙重否定律．

2.3 和合律相同

算術運算：a+(-a)=0．

邏輯運算(廣義太極代數(shù))：[a]+(-[a])=0．

以上算術公式對于任意實數(shù)皆成立，邏輯公式對于?R上的任意實數(shù)皆成立．

3 算術與邏輯的分歧點

算術運算：a-b=a+(-b)．

邏輯運算：[a]-[b]=[a]·(-[b])．

減運算相異轉(zhuǎn)換是算術運算與邏輯運算的唯一區(qū)別所在，因此也造成算術運算與邏輯運算的分別．

在算術運算中，a+(-b)=-(-a-(-b))(加法雙重否定律)，代入-(-b)=b(局部運用一元雙重否定律)，得到a+(-b)=-(-a+b)．而a-b=-(-a+b)(減法雙重否定律)，所以，a-b=a+(-b)．

在邏輯運算中，[a]-[b]=-(-[a]+[b])(減法雙重否定律)，-([a]-[b])=-[a]+[b](整體運用一元雙重否定律)．而-([a]·(-[b]))=-[a]+[b](De-Morgan律)，所以，-([a]-[b])=-([a]·(-[b]))，即[a]-[b]=[a]·(-[b])．

4 分析和結(jié)論

算術運算與邏輯運算(廣義太極代數(shù))在一元雙重否定律和二元雙重否定律以及和合律等三方面具有一致性．其中的二元雙重否定律在以往的數(shù)學文獻中鮮有提及．

減運算相異的轉(zhuǎn)換方式是算術運算與邏輯運算的唯一區(qū)別所在，因此也造成算術運算與邏輯運算的分別．

在算術運算中竟然通過局部代入一元雙重否定律強行實現(xiàn)減法雙重否定律與加法雙重否定律的轉(zhuǎn)換，混淆了一元雙重否定律與二元雙重否定律的界限，減號這個二元運算符號被移花接木地誤讀為一元運算符號．算術運算就像畢加索繪畫一樣嵌入了錯位的嫁接結(jié)構(gòu)從而產(chǎn)生奇妙的近乎于錯覺的運算效果．

在邏輯運算(廣義太極代數(shù))中，減法雙重否定律經(jīng)由De-Morgan律為中介間接地實現(xiàn)與加法雙重否定律的轉(zhuǎn)換．De-Morgan律是二元反演否定律，這說明在邏輯運算中存在三種雙重否定律，其中De-Morgan律是加法和減法雙重否定律轉(zhuǎn)換的橋梁．

廣義太極代數(shù)建立在擴展的實數(shù)序的對稱結(jié)構(gòu)之上．在數(shù)的對稱結(jié)構(gòu)模型中，盡管數(shù)的無窮性被保持，但是，數(shù)已不再是在一條無首無尾的直線數(shù)軸上所顯示的“量”，而是毫無例外地變成存在于0內(nèi)的所有潛在的“質(zhì)”．

?R上對稱的邏輯結(jié)構(gòu)有三條性質(zhì)[7]：

1)0是最大元，沒有比0更大的數(shù)；?是最小元，沒有比?更小的數(shù)．

2)比0小的數(shù)并非一定要求其真實存在，即理論上允許存在這樣絕對的情形：0內(nèi)除了0自身之外僅有空元(?)再沒有任何其他實數(shù)．

3)任意實數(shù)x(包括0和?)都有其相反數(shù)-x，而且沒有兩個相反數(shù)是相等的，-x≠x．特別地，0和?互為相反數(shù)．

在廣義太極代數(shù)中，0是最大元．0是?R上全體邏輯實數(shù)的析取總和．換言之，?R結(jié)構(gòu)是0內(nèi)的結(jié)構(gòu)．從外延上看，廣義太極代數(shù)是?R上的邏輯代數(shù)．從內(nèi)涵上看，廣義太極代數(shù)是0內(nèi)的邏輯代數(shù)．

算術結(jié)構(gòu)是?R上的外延結(jié)構(gòu)，邏輯結(jié)構(gòu)是0內(nèi)的內(nèi)涵結(jié)構(gòu)．前者視0為虛為空洞(空集)，后者視0為無為圓實(全集)．前者已成為認知上的常識，后者尚是一種新知．

結(jié)論：由0開始可以引入任意一對相反數(shù)(實數(shù))x和-x，包括0自身的相反數(shù)?，從而生成?R(含?)．廣義太極代數(shù)是?R上的邏輯代數(shù)．實數(shù)R(不含?)是?R的子結(jié)構(gòu)，普通算術是R上的代數(shù)．擴展的(含0的)自然數(shù)是實數(shù)R的子結(jié)構(gòu)．擴展的布爾代數(shù)是擴展的(含0的)自然數(shù)上的邏輯代數(shù)．布爾代數(shù)是擴展的布爾代數(shù)的子代數(shù)．太極代數(shù)是廣義太極代數(shù)的子代數(shù)．布爾代數(shù)是太極代數(shù)的子代數(shù)．擴展的布爾代數(shù)是廣義太極代數(shù)的子代數(shù)．這是一套全新的數(shù)學結(jié)構(gòu)譜系．

5 討論

布爾代數(shù)的創(chuàng)建人布爾認為：空集為0，全集為1，這樣就導致1和0亦構(gòu)成一元互補關系．這是與太極代數(shù)和廣義太極代數(shù)都證明1和-1構(gòu)成一元互補關系是相互矛盾的．現(xiàn)有邏輯代數(shù)或集合代數(shù)是建立在布爾代數(shù)基礎上的，而布爾代數(shù)本身是不完善的．眾所周知，1是乘法單位元，0是加法單位元是就算術運算而言的．而邏輯運算與算術運算是不同的運算系統(tǒng)．布爾代數(shù)以1為邏輯乘法單位元，以0為邏輯加法單位元，顯然是混淆了邏輯運算與算術運算之間的區(qū)別[2]．無論是算術運算和邏輯運算(太極代數(shù)和廣義太極代數(shù))都遵循和合律：x+(-x)=0．這就證明0是蘊涵x和-x兩方面內(nèi)容(量或質(zhì))的．由此可見，0是有隱含的內(nèi)涵的、非空的．因此，布爾代數(shù)中設定0為空類(或空集)是包含極為隱蔽的錯誤的．其中隱含的錯誤直到發(fā)現(xiàn)太極代數(shù)和廣義太極代數(shù)才真正顯露出來．

另外，即使以0為空集，全集也未必是1．筆者在擴展的(含0的)自然數(shù)上建立的擴展的布爾代數(shù)證明：其全集可以是不小于任意自然數(shù)n的I．因此，布爾代數(shù)的基礎是擴展的(含0的)自然數(shù)．布爾代數(shù)充其量是建立在實數(shù)系0到1的閉區(qū)間上的[8]．

廣義太極代數(shù)正是基于克服或糾正布爾代數(shù)的概念錯誤而建立的．廣義太極代數(shù)是建立在擴展的(含?的)實數(shù)?R上的邏輯代數(shù)．在太極代數(shù)和廣義太極代數(shù)中，絕對的全集(或全類)不是1而是0，絕對的空集(或空類)不是0而是?．由此可知，布爾代數(shù)中的全集1只是一種相對全集，其空集0實際上是?[4]．因此，太極代數(shù)和廣義太極代數(shù)不屬于現(xiàn)行西方數(shù)學的ZF公理集合論的框架范圍，因為后者的自然數(shù)集構(gòu)造在0=?的前提之上[5]．“空集合?一無所有，自然數(shù)零也一無所有．因此，把數(shù)零定義為空集是合理的．”[9]

太極代數(shù)和廣義太極代數(shù)的發(fā)現(xiàn)證明，0和?是一對相反數(shù)．以往認為0=?是依據(jù)常識得出的錯誤結(jié)論．由此可見，基于0=?建立起來的數(shù)學基礎存在根本性缺陷．這預示著西方現(xiàn)有數(shù)學理論隱含嚴重的危機，甚至，西方數(shù)學的宏偉大廈實際上是一座危房，因為它建立在空洞的基礎上．“集宇宙的建造者是人．人們建筑集宇宙，開頭一無所有，白手起家．空集是個集，于是便想起用空集?作為建筑材料．”[5]太極代數(shù)和廣義太極代數(shù)的發(fā)現(xiàn)證明了這樣一種數(shù)學基礎是完全錯誤的．數(shù)學的基礎不是?而是0；0非空，因而才有資格作為建造數(shù)學大廈的合格材料和牢固的基礎．

[1] 王俊龍.論太極代數(shù)及其辯證內(nèi)涵[J].湖南師范大學社會科學學報， 2009，38(3)：43-47.

[2] 王俊龍.論語言研究需要怎樣的邏輯工具[J].山西大學學報：哲學社會科學版， 2013，36(5)：57-61.

[3] 王俊龍.論八卦是八個邏輯范式[J].周易研究， 2012(3)：90-96.

[4] 王俊龍.人體形態(tài)邏輯：生物邏輯學研究[J].湖南師范大學自然科學學報， 2012，35(2)：76-81.

[5] 汪芳庭.數(shù)學基礎[M].北京：科學出版社， 2001.

[6] HERBERT B E.數(shù)理邏輯[M].沈復興,譯.2版.北京：人民郵電出版社， 2007.

[7] 王俊龍.太極數(shù)理哲學：身心統(tǒng)一的世界觀[J].學術月刊， 2013，45(6)：27-35.

[8] ЯГЛОМ И М.不平常的代數(shù)[M].方偉武,譯.北京：知識出版社， 1984.

[9] 張錦文.公理集合論導引[M].北京：科學出版社， 1991.

(編輯 胡文杰)

Generalized Tai Chi Algebra：Logic Algebra on?R

WANGJun-long*

(Journal Office of China University Academic Abstracts, Shanghai 200234, China)

The Tai Chi algebra and the generalized Tai Chi algebra are introduced by comparing the Tai Chi algebra with Boolean algebra and arithmetic operations with logic operations. The generalized algebra is proved to be a logic algebra built on?R. Furthermore, the cornerstone of mathematics is discussed at the end.

Tai Chi algebra; generalized Tai Chi algebra; Boolean algebra; expanded Boolean algebra

2013-10-30

上海師范大學科研基金資助項目(A-0230-14-001107)

*

,E-mail：cttvvv@shnu.edu.cn

O143

A

1000-2537(2014)05-0085-05