淺談高中生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)

葉海豐

摘要：數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)科所獨(dú)有的思維能力。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念，也是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)。本文結(jié)合筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中的一些實(shí)踐，談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生的思維能力。

關(guān)鍵詞：高中生；數(shù)學(xué)思維能力；培養(yǎng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）12-0054

數(shù)學(xué)知識(shí)是在不斷發(fā)展的，因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不但要幫助學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)、掌握方法，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)思維是以數(shù)學(xué)問(wèn)題為載體，通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的形式，達(dá)到對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)的一般性認(rèn)識(shí)的思維過(guò)程。新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。事實(shí)上，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，有助于增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，有助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷。數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮獨(dú)特的作用。本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐，就如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力談幾點(diǎn)體會(huì)。

一、一題多解，培養(yǎng)思維的靈活性

有些問(wèn)題，我們可以從不同的側(cè)面用不同的方法求出其解，通過(guò)方法的變化，培養(yǎng)學(xué)生多角度分析問(wèn)題的能力。

案例1. 橢圓■+■=1的焦點(diǎn)是F1、F2，橢圓上一點(diǎn)P滿足PF1⊥PF2，下面結(jié)論正確的是——（ ）

A. P點(diǎn)有兩個(gè) B. P點(diǎn)有四個(gè)

C. P點(diǎn)不一定存在 D. P點(diǎn)一定不存在

解法一：以F1F2為直徑構(gòu)圓，知：圓的半徑r=c=3<4=b，即圓與橢圓不可能有交點(diǎn)。故選D。

解法二：由題知（S△PF F ）max=■×F1F2·b=3×4=12，而在橢圓中：S△PF F =b2tan■=16，∴不可能成立12>16故選D。

解法三：由題意知當(dāng)p點(diǎn)在短軸端點(diǎn)處

解法四：設(shè)∠PF1PF2=θ，假設(shè)PF1⊥PF2，

則PF1+PF2=6conθ+6sinθ=6■sin（θ+■）≤6■，而PF1+PF2=2a=10

即：10≤6■，不可能。故選D。

解法五：設(shè)圓方程為：x2+y2=9橢圓方程為：■+■=1

兩者聯(lián)立解方程組得：x2=-■不可能，故圓x2+y2=9與橢圓■+■=1無(wú)交點(diǎn)

即PF1不可能垂直P(pán)F2，故選D。

本例從不同角度看題設(shè)條件，從不同方向進(jìn)行思考，這樣就可以全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性。

二、一題多變，培養(yǎng)思維的發(fā)散性

在教學(xué)過(guò)程中，適時(shí)運(yùn)用變式教學(xué)，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活遷移，增強(qiáng)學(xué)生的辨析能力，激發(fā)學(xué)生的求知熱情，有助于培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。所謂變式，廣義地說(shuō)，就是同一事物非本質(zhì)屬性的轉(zhuǎn)換。從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)，就是對(duì)問(wèn)題的條件或結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，或增減或轉(zhuǎn)換，也可以對(duì)問(wèn)題的呈現(xiàn)方式、表達(dá)形式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓?，還可以是解題思想方法，思維方法的變化。在研究問(wèn)題的過(guò)程中，為了揭示問(wèn)題的本質(zhì)屬性，掌握解決問(wèn)題的一般方法，我們常常通過(guò)對(duì)構(gòu)成問(wèn)題的各個(gè)要素進(jìn)行局部的調(diào)整，得到形式雖異而解法類(lèi)似的一系列問(wèn)題，不斷強(qiáng)化學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解和掌握。下面，筆者以三角函數(shù)值域的求法為例，談?wù)劙l(fā)散性思維的培養(yǎng)。

例如，在算法教學(xué)中有關(guān)算法結(jié)構(gòu)和語(yǔ)句筆者也設(shè)計(jì)下列變式：

案例2. 設(shè)計(jì)算法s=1+2+3+……+100

變式1. s=1+3+5+……+99

變式2. s=12+22+32+……+1002

變式3. s=12-22+32-42+……-992+1002

變式4. s=1+（1+2）+（1+2+3）+……+（1+2+3+……+100）

變式5. s=1+（1×2）+（1×2×3）+……+（1×2×3×……×100）

變式6. 已知1+2+3+……+n，當(dāng)S≤1000時(shí)，求n的最大值。

通過(guò)以上的變式，讓學(xué)生感悟出循環(huán)結(jié)構(gòu)就像遞推數(shù)列一樣尋找相鄰兩步和關(guān)系，理解了循環(huán)結(jié)構(gòu)的三要素是如何確定的。

三、多題一解，培養(yǎng)思維的深刻性

案例3. 在直線l：x+y-4=0上求一點(diǎn)M，使它到A（1，2）、 B（-1，3）的距離之和最小。

分析：（1）首先判斷是在直線的同側(cè)還是異側(cè)。（2）若在同側(cè)，先求出A（或B）關(guān)于L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′（或B′），再求直線 A′B（或AB′）所在的直線方程，與已知直線方程聯(lián)立，求出M點(diǎn)坐標(biāo)。（3）若在異側(cè)，只需求出AB所在直線的方程，與已知直線方程聯(lián)立，求出M點(diǎn)坐標(biāo)。

解：令f（x，y）=x+y-4，f（1，2）=1+2-4=-1<0，f（-1，3）=-1+3-4=-2<0。所以、在直線同側(cè)。設(shè)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則利用對(duì)稱(chēng)知識(shí)得： 所以A（2，3）所以A′B的方程為 y=3由y=3x+y-4得 x=1y=3得所以M（1，3）為所求的點(diǎn)。

案例4. 光線從A（1，0）發(fā)出，射到x軸上點(diǎn)M，經(jīng)反射后射到圓C：（x+3）2+（y-3）2=1上，求光線經(jīng)過(guò)的最短距離。

分析：求出A點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，這個(gè)最短距離可轉(zhuǎn)化為A′到圓C的最短距離。即A′C減去圓的半徑。由A′C的方程，可得M點(diǎn)坐標(biāo)。

案例5. 求■+■的最小值。

分析：這道題目用代數(shù)的方法來(lái)解決也比較困難。考慮到根號(hào)內(nèi)的部分非常接近兩點(diǎn)間的距離公式可如下整理、變形：■+■看作點(diǎn)（x，0）到（上接第54頁(yè)）點(diǎn)（1，1），（2，2）的距離之和最小問(wèn)題。由于點(diǎn)（1，1），（2，2），在x軸同側(cè)，可求（1，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（1，1），那么（1，-1）與（2，2）之間的距離即為■+■的最小值。

以上三道題目，所使用的方法是一樣的，就像同一個(gè)人穿了幾套不同的衣服，其本質(zhì)是考查用對(duì)稱(chēng)思想解題。通過(guò)多題一解的訓(xùn)練，領(lǐng)會(huì)同一數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法在不同題目背景下的不同體現(xiàn)，能夠加深對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的理解，促進(jìn)數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。

思維發(fā)展心理學(xué)認(rèn)為，思維是在實(shí)踐活動(dòng)中發(fā)生和發(fā)展的。注重問(wèn)題引申的推廣的教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生由于被激發(fā)起好奇欲望、探索欲望的創(chuàng)造欲望，所以他們就積極地探索、研究，并且將所獲得的材料、信息在自己的大腦中進(jìn)行“分析和綜合、抽象和概括、歸納和類(lèi)比、實(shí)驗(yàn)和猜想、一般化和特殊化等一系列新的、高級(jí)的、復(fù)雜的思維操作”。而經(jīng)過(guò)這樣的一個(gè)過(guò)程，學(xué)生不僅創(chuàng)造出新穎、獨(dú)特的“產(chǎn)品”，而且由于努力地、不斷地探索、推廣結(jié)論，久而久之，就會(huì)自然養(yǎng)成愛(ài)探索問(wèn)題的良好習(xí)慣，進(jìn)而培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

（作者單位：浙江省樂(lè)清市芙蓉中學(xué) 325600）