超音速氣流中受熱壁板的非線性顫振特性

王廣勝，楊曉東

(1.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽(yáng) 110136；2.北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，北京 100124)

超音速氣流中受熱壁板的非線性顫振特性

王廣勝1，楊曉東2

(1.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽(yáng) 110136；2.北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，北京 100124)

隨著高速飛行器技術(shù)的快速發(fā)展，壁板熱顫振成為國(guó)內(nèi)外研究人員的關(guān)注熱點(diǎn)。壁板熱顫振對(duì)飛行器性能有重大影響，甚至影響飛行安全。以超音速氣流下的無(wú)限展長(zhǎng)二維壁板結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象，計(jì)入熱效應(yīng)的影響，根據(jù)Kirchhoff平板理論和Von Karman大變形幾何非線性壁板理論建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。并以壁板在x=0.25處為算例繪制了其前三階彎曲構(gòu)型的靜態(tài)分岔圖，對(duì)不同軸向載荷條件下壁板的屈曲構(gòu)型進(jìn)行了分析。考慮到溫差ΔT是影響熱應(yīng)力的重要因素，對(duì)比了不同溫差條件下，壁板的靜氣動(dòng)彈性變形圖，結(jié)果表明，溫差越大，壁板偏離靜平衡位置的位移越大。

一般力學(xué)；熱顫振；壁板顫振；超音速氣流；氣動(dòng)熱效應(yīng)

隨著超音速飛行器技術(shù)的飛速發(fā)展，飛行器的飛行馬赫數(shù)越來(lái)越高。對(duì)于高馬赫數(shù)(一般大于2.2)飛行的飛行器，由于超音速和高超音速的氣流繞經(jīng)飛行器，氣流受強(qiáng)烈的壓縮作用將會(huì)導(dǎo)致溫度的升高，而且邊界層內(nèi)的劇烈摩擦作用也將會(huì)使氣體溫度大大升高，從而導(dǎo)致飛行器結(jié)構(gòu)溫度升高。所以，對(duì)于此類(lèi)飛行器在顫振設(shè)計(jì)中需考慮氣動(dòng)加熱的影響，壁板的熱顫振問(wèn)題成為一個(gè)很重要的氣動(dòng)彈性問(wèn)題。

氣動(dòng)加熱產(chǎn)生的溫度效應(yīng)對(duì)壁板顫振特性的影響主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面[1]：(1)材料的機(jī)械性能將會(huì)隨著溫度的升高而發(fā)生改變。例如，材料的彈性模量會(huì)隨著溫度的升高而降低。(2)結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力將會(huì)在溫度分布不均處或者結(jié)構(gòu)變形受到約束的地方產(chǎn)生。由于材料性能的變化和結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力的存在，顫振邊界和顫振特性將會(huì)產(chǎn)生變化，從而影響飛行器的性能甚至飛行安全。

Houbolt早在1958年首次研究了均勻分布溫度場(chǎng)下二維壁板的顫振特性，建立了相關(guān)的控制方程，并對(duì)二維壁板的顫振邊界以及屈曲失穩(wěn)特性進(jìn)行了研究分析[2]。1976年Yang和Han采用有限元方法研究了相同溫度場(chǎng)條件下二維壁板的熱屈曲顫振問(wèn)題[3]。Xue和Mei將溫度效應(yīng)以熱應(yīng)力的形式引入到板結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程中，從而比較直觀和簡(jiǎn)便地把復(fù)雜的溫度分布情況模擬出來(lái)。并用有限元法分析了超音速氣流中任意溫度下非線性壁板顫振問(wèn)題[4]以及在溫度影響下二維壁板的顫振響應(yīng)和疲勞壽命[5]。目前有關(guān)壁板熱顫振的研究大多集中于平板的顫振問(wèn)題，但是也有部分文獻(xiàn)研究了帶有初始幾何曲率壁板的熱顫振問(wèn)題。Ghoman和Azzouz在2008年到2009年分別運(yùn)用時(shí)域和頻域方法研究了曲壁板在存在熱載荷時(shí)的非線性顫振特性，指出曲壁板不會(huì)出現(xiàn)熱屈曲[6-7]。在國(guó)內(nèi)，張蕊麗等對(duì)曲壁板的非線性熱顫振問(wèn)題進(jìn)行了初步探究[8]。2012年，楊智春等應(yīng)用數(shù)值求解的方法研究了帶初始幾何曲率的二維各向同性材料壁板的非線性熱顫振特性[9]。

熱效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)氣動(dòng)彈性特性的影響非常復(fù)雜，陳文俊總結(jié)了前人的研究成果，歸納出了11條結(jié)論[10]。但是，在目前的研究現(xiàn)狀下，不可能同時(shí)兼顧所有這些因素，目前在研究中所采用的是兩個(gè)簡(jiǎn)化假設(shè)：(1)溫度場(chǎng)不受結(jié)構(gòu)變形的影響；(2)相對(duì)于顫振的響應(yīng)時(shí)間來(lái)說(shuō)，溫度變化是一個(gè)很緩慢的過(guò)程。本文在計(jì)入熱效應(yīng)的條件下，推導(dǎo)了兩端簡(jiǎn)支二維壁板的振動(dòng)微分方程，并通過(guò)具體算例得出了壁板前三階彎曲構(gòu)型的靜態(tài)分岔圖，而且對(duì)比了不同溫差下壁板的屈曲程度。

1 二維壁板在超音速流下的控制方程

建立二維壁板在超音速氣流中的力學(xué)模型，如圖1所示，考慮壁板受溫度變化ΔT影響下的簡(jiǎn)支無(wú)限展長(zhǎng)的壁板模型，其長(zhǎng)度為L(zhǎng)，厚度為h，密度為ρ，在其上表面有沿x方向的超音速氣流，流速為U∞，馬赫數(shù)為M∞，空氣密度為ρ∞。

圖1 二維壁板在超音速氣流中的力學(xué)模型

僅考慮板的橫向振動(dòng)，采用Von Karman大變形幾何非線性壁板理論，應(yīng)變位移關(guān)系表示為[11]：

(1)

應(yīng)力為：

(2)

(3)

由Kirchhoff平板理論可以得到壁板的振動(dòng)方程為：

(4)

其中，w為壁板在z方向的位移，Nx為面內(nèi)力，Mx為彎矩，qa是氣動(dòng)載荷。由此可計(jì)算單位長(zhǎng)度壁板的面內(nèi)力：

(5-a)

(5-b)

(6)

由于二維壁板的兩端都有約束，位移邊界條件為w|x=0,L=0，故：

(7)

由于面內(nèi)力為常數(shù)，對(duì)其沿x向取平均并由式(7)可得：

(8)

在壁板顫振的超音速、高超音速非定常氣動(dòng)力的計(jì)算中，目前廣泛采用形式簡(jiǎn)單且具有較好的精度活塞理論[13]，當(dāng)來(lái)流馬赫數(shù)較小時(shí)，一般采用一階線性活塞理論便可以較準(zhǔn)確地計(jì)算系統(tǒng)的氣動(dòng)力，其表達(dá)式為：

(9)

其中ξ，η分別表示氣動(dòng)剛度系數(shù)和氣動(dòng)阻尼系數(shù)。

(10)

其中ρ∞、U∞和M∞為自由流密度、來(lái)流速度和馬赫數(shù)。

整理化簡(jiǎn)(6)式并做無(wú)量綱化處理，可得系統(tǒng)的振動(dòng)方程為：

(11)

超音速氣流中的二維壁板受氣動(dòng)熱的影響，會(huì)在熱載荷的作用下產(chǎn)生靜氣動(dòng)彈性變形，為了研究?jī)啥撕?jiǎn)支的二維壁板靜氣動(dòng)彈性變形，將上述控制方程去掉時(shí)間相關(guān)項(xiàng)、阻尼項(xiàng)和強(qiáng)迫項(xiàng)，可得：

(12)

2 二維壁板平衡構(gòu)型計(jì)算

用Ψ(x)表示去掉時(shí)間相關(guān)項(xiàng)后的w(x,t)，表示二維壁板的屈曲構(gòu)型，由式(11)可得：

(13)

兩端簡(jiǎn)支的二維壁板的邊界條件為：

Ψ|x=0,1=0,Ψ″|x=0,1=0

(14)

將式(14)中的積分項(xiàng)記為由Ψ(x)確定的常數(shù)，令

(15)

其中Γ為常數(shù)，故式(14)可寫(xiě)為：

Ψ(4)+(P-Γ)Ψ″=0

(16)

上式可記為：

Ψ(4)+λ2Ψ″=0

(17)

其中

λ2=P-Γ

(18)

式中λ2是表征臨界屈曲載荷的特征值。

將式(16)代入式(19)可得

(19)

方程(18)的通解[12]為：

Ψ(x)=c1+c2x+c3cosλx+c4sinλx

(20)

將(16)式代入邊界條件式(13)中，可得方程組：

(21)

由式(20)的行列式可得特征方程為：

csinλ=0或λ=mπ

(22)

故壁板的屈曲構(gòu)型為：

Ψ(x)=csin(mπx) (其中m=1,2,3…)

(23)

將式(24)代入式(20)可得

λ2=P-Γ=P-3c2λ2

(24)

可知邊界條件中常數(shù)c和載荷P有關(guān)。

3 數(shù)值算例

由圖2可知：(1)隨著軸向載荷的逐漸加大，壁板在P=π2處發(fā)生了突變，平衡點(diǎn)也由原來(lái)的一個(gè)(x=0)變成了3個(gè)。(2)當(dāng)軸向載荷P大于第一階臨界屈曲載荷時(shí)，即P>π2時(shí)，在x=0處的平衡點(diǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡點(diǎn)，且壁板在臨界值P=π2處出現(xiàn)分岔，壁板發(fā)生屈曲。軸向載荷越大，壁板偏離平衡位置越遠(yuǎn)。(3)當(dāng)軸向載荷繼續(xù)增大，超過(guò)第二階臨界屈曲載荷時(shí)，即P>4π2時(shí)，壁板存在三種平衡：第一種是不穩(wěn)定的靜平衡構(gòu)型；第二種是步驟(2)中的屈曲構(gòu)型；第三種是新產(chǎn)生的屈曲構(gòu)型，屈曲構(gòu)型如圖2所示。(4)當(dāng)軸向載荷繼續(xù)大于第三階臨界屈曲載荷，即P>9π2時(shí)，壁板存在三個(gè)非平凡解，相應(yīng)的對(duì)應(yīng)如圖2所示三個(gè)屈曲構(gòu)型。

圖2 二維壁板在x=0.25處前三階彎曲構(gòu)型靜態(tài)分岔圖

通過(guò)以上的靜態(tài)分岔圖分析可以得知，溫度對(duì)壁板的穩(wěn)定性有著很重要的影響，熱應(yīng)力越大，系統(tǒng)的構(gòu)型就越復(fù)雜。由(14)式可知，對(duì)于選定的系統(tǒng)模型，溫差ΔT是影響熱應(yīng)力的重要因素，故本文再次通過(guò)算例研究了不同溫差ΔT下壁板偏離平衡位置的程度。圖3描繪了三種不同溫差(ΔT=1、ΔT=3、ΔT=5)下，壁板系統(tǒng)偏離平衡位置的情況。

圖3 不同溫差下二維壁板的彎曲構(gòu)型

由圖可知，當(dāng)溫差ΔT不同時(shí)，壁板在同一位置偏離平衡位置的程度也不同，溫差T越大，壁板偏離平衡位置就越遠(yuǎn)。由此可知，溫差的大小對(duì)壁板的彎曲構(gòu)型有很大的影響。

4 結(jié)論

本文運(yùn)用Von Karman大變形非線性應(yīng)變-位移關(guān)系，基于Kirchhoff平板理論，建立了熱環(huán)境下二維壁板在超音速流作用下的顫振微分方程，分析了溫度變化對(duì)壁板顫振的影響規(guī)律，可得出如下結(jié)論：

(1)熱應(yīng)力是降低壁板穩(wěn)定性的一個(gè)因素。隨著熱應(yīng)力的增大，壁板系統(tǒng)的軸向載荷大于臨界載荷時(shí)，壁板偏離平衡位置，并發(fā)生屈曲。熱應(yīng)力繼續(xù)增大時(shí)，壁板系統(tǒng)同時(shí)存在多種平衡位置，對(duì)應(yīng)著多種屈曲構(gòu)型。

(2)溫差T是影響熱應(yīng)力的一個(gè)重要因素。當(dāng)溫差越大時(shí)，壁板同一位置偏離平衡點(diǎn)的位移也越大，溫差的存在使得壁板表現(xiàn)出的熱顫振特性更加復(fù)雜。

[1]楊智春，夏巍，孫浩.高速飛行器壁板顫振的分析模型和分析方法[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2006，23(4):537-542.

[2]Houbolt J C.A study of several aerothermoelastic problems of aircraft in high-speed flight[D].Eidenossischen Technischen Hochschule,The Swiss Federal Institute of Technology,Zurich Switzerland,1958.

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[4]Xue D Y,Mei C.Finite element non-linear panel-flutter with arbitrary temperature in supersonic flow[J].AIAA Journal,1933,31(1):154-162.

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[9]楊智春，周建，谷迎松.超音速氣流中受熱曲壁板的非線性顫振特性[J].力學(xué)學(xué)報(bào),2012,44(1):30-38.

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(責(zé)任編輯：吳萍 英文審校：劉敬鈺)

Nonlinearthermalflutterfeaturesofheatedpanelsinsupersonicairflow

WANG Guang-sheng1,YANG Xiao-dong2

1.Faculty of Aerospace Engineering,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136;2.School of Mechanical and Electrical Engineering,Beijing University of Technology,Beijing 100124)

Panel thermal flutter has become the research focus both at home and abroad with the rapid development of high-speed craft technology.Panel thermal flutter has a great influence on vehicle performance,and even affects the flight safety.The nonlinear flutter analysis of panel with thermal effect is carried out.Based on the Kirchhoff thin plate theory and the Von Karman′s nonlinear large deformation strain-displacement relations,the dynamic equations of the flat panel are established.The paper takes the point atx=0.25 as an example to draw its first three curved configuration static bifurcation diagrams,and the buckling configuration of panel of different axial load conditions is analyzed.As the difference in temperature is an important factor affecting the thermal stress,the paper compares the elastic deformation of different temperature conditions,and results show that the greater the temperature difference is,the greater displacement of the panel deviation from the static equilibrium position will be.

general mechanics;thermal flutter;panel flutter;supersonic flow;aerodynamic heating effect

2013-05-28

國(guó)家自然科學(xué)基金(項(xiàng)目編號(hào)：11172010,10702045)

王廣勝(1987-)，男，山東泰安人，在讀研究生，主要研究方向：非線性動(dòng)力學(xué)與結(jié)構(gòu)振動(dòng)，E-mail:wzss1987@126.com； 楊曉東(1977-)，男，河北滄州人，教授，主要研究方向：非線性動(dòng)力學(xué)與結(jié)構(gòu)振動(dòng)，E-mail:jxdyang@163.com。

2095-1248(2014)01-0020-04

O322

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2014.01.005