具有收獲率和非線性死亡率的脈沖Nicholoson’s blowflies模型正周期解

姚曉潔

(柳州師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)系，柳州 545004)

近年來，關(guān)于連續(xù)型Hematopoiesis模型的研究引起了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注，其研究成果大部分集中對時滯Hematopoiesis模型的周期解或概周期解的存在性或不存在性、唯一性、全局吸引性或指數(shù)穩(wěn)定性[1-6]. 最近，文獻(xiàn)[7]討論了下面一類具有非線性依賴密度死亡率的Nicholson’s blowflies模型

N′(t)=-a(t)+b(t)e-N(t)+

c(t)N(t-(t))e-γ(t)N(t-(t))

(1)

的正周期解的存在性問題，這里a,b,c,,γC(,(0,∞))都是ω-周期函數(shù).利用重合度理論，獲得了方程(1)正周期解存在的充分條件.然而，筆者還未見具有非線性依賴密度死亡率和非線性收獲率的脈沖Nicholson’s blowflies模型周期解的相關(guān)報道，因此，本文將研究如下一類具有非線性收獲率和非線性依賴密度死亡率的脈沖Nicholson’s blowflies模型

(2)

的正周期解，這里a(t),b(t),ci(t),i(t),γi(t),δ(t)C(,(0,∞)),HC(2,[0,∞))，n>0為正整數(shù).

模型(2)的初始條件為

(3)

(A2){dk}是實數(shù)列且滿足dk>0,k=1,2,….

(A3)a(t),b(t),ci(t),i(t),δ(t),H(t,·)和都是關(guān)于t的ω-周期函數(shù)，ω>0為常數(shù)，i=1,2,…,n.

顯然，模型(1)是模型(2)的特殊情形.本文通過利用重合度理論和不等式分析技巧，獲得了方程(2)正周期解的充分條件，從而推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[7]的相關(guān)結(jié)果.最后列舉一個例子表明本文所得結(jié)果的可行性.

1 準(zhǔn)備知識

(i)N(t)在(0,t1]與(tk,tk+1](k=1,2,…)上絕對連續(xù)；

(iii)N(t)滿足系統(tǒng)(2),

則稱N(t)為模型(2)在[-,∞)上的解.

考慮如下無脈沖Nicholson’s blowflies模型

(4)

引理1 假設(shè)條件(A1)～(A3)滿足，則

(i)如果y(t)是系統(tǒng)(4)在[-,∞)上的解，則是系統(tǒng)(2)在[-,∞)上的解；

(ii)如果N(t)是系統(tǒng)(2)在[-,∞)上的解，則是系統(tǒng)(4)在[-,∞)上的解.

引理1的證明類似文獻(xiàn)[8]引理2.5的證明，這里省略.

根據(jù)引理1可知，討論模型(2)的正ω-周期解的存在性，只需考慮方程(4)正ω-周期解的存在性.為了獲得方程(4)正周期解，先引入重合度理論.

(iii)deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0，

2 主要結(jié)果

證明作變換y(t)=ex(t)， 則方程(4)變?yōu)?/p>

(5)

N:X→Z,Nx=Δ(x,t).

考慮Lx=Nx,(0,1)，即

x′(t)=Δ(x,t).

(6)

設(shè)x(t)是式(6)對于某個(0,1)的ω-周期解，則存在ξ,η[0,ω]，使得

(7)

由式(6)和式(7)可得

(8)

(9)

由式(8)可得

結(jié)合條件mb-/M(a++H+)>1，得

(10)

由條件mb-/M(a++H+)>1得

(11)

(12)

QN(-H0)>0,QN(H0)<0.

(13)

事實上，如果QN(-H0)≤0，即

于是有

如果QN(H0)≥0，即

deg{QN,Ω∩KerL,0}=deg{-x,Ω∩KerL,0}≠0.

如果dk=1(k=1,2,…)，則此時模型(2)變成無脈沖系統(tǒng)

N′(t)=-a(t)+b(t)e-N(t)+

H(t,N(t-δ(t)).

(14)

于是由定理1立即可得：

推論1 如果a(t),b(t),ci(t),i(t),γi(t),H(t,·)(i=1,2,…,n)都是關(guān)于t的ω-周期函數(shù)，ω>0為常數(shù)，則當(dāng)時，模型(14)至少存在一個正ω-周期解.

推論2 如果a(t),b(t),c(t),(t),γ(t)都是ω-周期函數(shù)，ω>0為常數(shù)，則當(dāng)b-/a+>1,ea-γ->c+時，模型(1)至少存在一個正ω-周期解.

3 應(yīng)用舉例

例1 考慮如下具有非線性收獲率和非線性依賴死亡率的脈沖Nicholoson’s blowflies模型

(15)

從而根據(jù)定理1知，方程(15)至少存在一個正4-周期解.

參考文獻(xiàn)：

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