相關(guān)Yetter-Drinfeld模范疇上的(D,H)-Hopf模

胡希能,李文強,李金其

(浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華321004)

1983年,Doi在文[1]中由右A-模余代數(shù)C得到了右(C,A)-Hopf模, 當存在右A-模同態(tài)ψ:C→A, 且滿足εψ=ε時, 所有的右(C,A)-Hopf模作為A-模都是投射的, 最后給出了(C,A)-Hopf 模同構(gòu)定理.

1998年,Doi在文[2]中給出了Yetter-Drinfeld Hopf代數(shù)的一般介紹, 并且給出了Yetter-Drinfeld Hopf代數(shù)上的相關(guān)Hopf模基本結(jié)構(gòu)定理.

2013年,Heckenberger在文[3]中給出了相關(guān)Yetter-Drinfeld模范疇的描述.論文由此相關(guān)Yetter-Drinfeld模范疇誘導(dǎo)出新的范疇把文[1]的部分結(jié)論推廣到這個誘導(dǎo)的范疇上, 改進了文[4]的結(jié)論.

定義1[3]設(shè)B，C是有雙射對極的Hopf代數(shù),α:B→C是Hopf代數(shù)同態(tài), 記下面的張量范疇為, 其對象M是右B-模和右C-余模, 且對任意b∈B,m∈M滿足

(m〈0〉b1)?m〈1〉α(b2)=(mb2)〈0〉?α(b1)(mb2)〈1〉，

(1)

其中M的右B-模作用為“mb”,右C-余模作用為?m〈1〉.

式(1)等價于

(2)

兩個對象的態(tài)射為右B-模同態(tài)和右C-余模同態(tài).

定義2設(shè)B，C是有雙射對極的Hopf代數(shù),α:B→C是Hopf代數(shù)同態(tài),L是的對象, 稱L為上的雙代數(shù), 若對任意x,y∈L,b∈B滿足:

2)L是B-模代數(shù),即

(xy)←α(b)=(x←α(b1))(y←α(b2)),1L←α(b)=1LεB(b)；

3)L是B-模余代數(shù),即

Δ(x←α(b))=(x1←α(b1))?(x2←α(b2)),εL(x←α(b))=εL(x)εB(b)；

4)L是C-余模代數(shù),即

5)L是C-余模余代數(shù),即

若還存在idL的卷積逆S,則稱L為上的Hopf代數(shù).S是中的態(tài)射,故S是右C-模同態(tài),右B-模同態(tài)和右C-余模同態(tài),即

文[2]中證明了S是反代數(shù)同態(tài)和反余代數(shù)同態(tài),即

此處采用如下記號,對任意的向量空間V,

定義3設(shè)H,D是上的Hopf代數(shù),D是左H-模,稱D是上的左H-模余代數(shù),若對任意的h∈H,d∈D滿足:

(hd)←α(b)=(h←α(b1))(d←α(b2))；

定義4設(shè)H,D是上的Hopf代數(shù),且D是上的左H-模余代數(shù),M是上的對象,同時M是左H-模和左D-余模,稱M是上的左(D,H)-Hopf模,若對任意的m∈M,b∈B,h∈H滿足:

1)M是(D,H)-Hopf模,即

(hm)←α(b)=(h←α(b1))(m←α(b2))；

m-1〈0〉?m0〈0〉?m-1〈1〉m0〈1〉=m〈0〉-1?m〈0〉0?m〈1〉；

例1設(shè)H,D是上的Hopf代數(shù),且D是上的左H-模余代數(shù),則D本身是上的左(D,H)-Hopf模.

例2設(shè)H,D是上的Hopf代數(shù),且D是上的左H-模余代數(shù),M是上的左(D,H)-Hopf模,則D?M是上的(D,H)-Hopf模.其中D?M的模作用、余模作用分別定義如下.

證明1)驗證D?M是(D,H)-Hopf模,對任意h∈H,d∈D,m∈M,

(d←α(b1))1?(d←α(b1))2?(m←α(b2))=

(d1←α(b1))?(d2←α(b2))?(m←α(b3))=(d1←α(b1))?((d2?m)←α(b2)).

(hd←α(b1))?(m←α(b2))=(h←α(b1))(d←α(b2))?(m←α(b3)).

(hd)〈0〉?m〈0〉?(hd)〈1〉m〈1〉=h〈0〉d〈0〉?m〈0〉?h〈1〉d〈1〉m〈1〉.

故D?M是上的左(D,H)-Hopf模.

例3設(shè)H,D是上的Hopf代數(shù),且D是上的左H-模余代數(shù),M是上的左(D,H)-Hopf模,則H?M是上的左(D,H)-Hopf模.其中H?M的右B-模作用、右C-余模作用定義同例2,左H-模作用、左D-余模作用定義如下.

注由上述例子可知H?D,D?D是上的(D,H)-Hopf模.

定理1設(shè)H,D是上的Hopf代數(shù),D是上的左H-模余代數(shù),若存在上的左H-模同態(tài)φ:D→H,且φ是余代數(shù)同態(tài),則上的任意左(D,H)-Hopf模作為左H-模都是投射的.

證明設(shè)M是上的任意左(D,H)-Hopf模,定義λ:M→H?M為

λ(m)=φ(m-1)1?S(φ(m-1)2)m0.

2)驗證λ是左H-模同態(tài),因為對任意h∈H,m∈M,

φ(h11m-1〈0〉1〈0〉)?Sφ((h12←m-1〈0〉1〈1〉)m-1〈0〉2)(h2←m-1〈1〉)m0=

h11φ(m-1〈0〉1〈0〉)?Sφ((h12←m-1〈0〉1〈1〉)φ(m-1〈0〉2))(h2←m-1〈1〉)m0=

h11φ(m-1〈0〉1〈0〉)?Sφ(m-1〈0〉2〈0〉)((S(h12)←m-1〈0〉1〈1〉)←m-1〈0〉2〈1〉)(h2←m-1〈1〉)m0=

hφ(m-1〈0〉〈0〉1)?Sφ(m-1〈0〉〈0〉2)(1H←m-1〈0〉〈1〉m-1〈1〉)m0=

hφ(m-1〈0〉1)?Sφ(m-1〈0〉2)(1H←m-1〈1〉1m-1〈1〉2)m0=

hφ(m-11〈0〉)?Sφ(m-12〈0〉)(1H←m-11〈1〉m-12〈1〉)m0=

hφ(m-11)?Sφ(m-12)m0=(I?λ)(M?I)(h?m).

3)驗證λ是右B-模同態(tài),因為對任意b∈B,m∈M,

φ(m-11←α(b11))?Sφ(m-12←α(b12))(m0←α(b2))=

(φ(m-11)←α(b11))?(Sφ(m-12)←α(b12))(m0←α(b2))=

4)驗證λ是右C-余模同態(tài),因為對任意m∈M,

φ(m-11〈0〉)?Sφ(m-12)〈0〉m0〈0〉?φ(m-11〈1〉Sφ(m-12)〈1〉)m0〈1〉=

φ(m-1〈0〉1)?Sφ(m-1〈0〉2)m0〈0〉?m-1〈1〉m0〈1〉=

因此M在上作為左H-模是投射的.

D是上的左H-模余代數(shù),H+是映射ε:H→K的核,則H+D是D的余理想.因而有唯一的余代數(shù)結(jié)構(gòu)使得投射是余代數(shù)同態(tài).

設(shè)M是上的左(D,H)-Hopf模,P誘導(dǎo)了M的左余模結(jié)構(gòu):??M,由于H+M是M的子余模，故有唯一的余模結(jié)構(gòu)使得自然同態(tài)是左余模同態(tài),即?π)(P?且對任意h∈H,m∈M,π(hm)=ε(h)π(m).

命題1設(shè)H,D是上的Hopf代數(shù),且D是上的左H-模余代數(shù),M是上的左(D,H)-Hopf模,則是的對象.

證明對任意m∈M,h∈H+,(hm)b=(h←b1)(m←α(b2)),而(m←α(b2))∈M,ε(hb1)=ε(h)ε(b1)=0,所以h←b1∈H+,(hm)b∈H+M,H+M是M的右B-子模.

定理2設(shè)H,D是上的Hopf代數(shù),D是上的左H-模余代數(shù),M是上的左(D,H)-Hopf模,若有左H-模同態(tài)φ:D→H,且φ是余代數(shù)同態(tài),則對所有上的(D,H)-Hopf模M,F:M→D□是上的同構(gòu).

Q(hm)=Sφ(h1m-1〈0〉)((h2←m-1〈1〉)m0)=S(h1φ(m-1〈0〉))((h2←m-1〈1〉)m0)=

Sφ(m-1〈0〉)〈0〉(S(h1)←φ(m-1〈0〉)〈1〉)(h2←m-1〈1〉)m0=

Sφ(m-1〈0〉)〈0〉(ε(h)←φ(m-1〈0〉)〈1〉m-1〈1〉)m0=0.

1)驗證GF=idM.因為對?m∈M,

GF(m)=G(m-1?π(m0))=φ(m-1)Q(m0)=φ(m-1)Sφ(m0-1)m00=φ(m-11)Sφ(m-12)m0=

φ(m-1)1Sφ(m-1)2m0=εφ(m-1)m0=ε(m-1)m0=m.

φ(d)Sφ(m-1)2εD(φ(m-1)1)m0-1?π(m00)=φ(d)Sφ(m-1)m0-1?π(m00)=

φ(d)Sφ((m-1)1)(m-1)2?π(m0)=φ(d)Q0(m-1)?π(m0).

φ(D)Q0(m-1)?π(m0)=d?π(m).

[1] Doi Y. On the structure of relative Hopf modules[J]. Communications in Algebra,1983,11(3):243-255.

[2] Doi Y. Hopf modules in Yetter-Drinfeld categories[J]. Communications in Algebra,1998,26(9):3057-3070.

[3] Heckenberger I，Schneider H J. Yetter-Drinfeld modules over bosonizations of dually paired Hopf algebras[J]. Advances in Mathematics,2013,244:354-394.

[4]落金枝，李強．相關(guān)Yetter-Drinfeld Hopf代數(shù)上的相關(guān)Hopf模結(jié)構(gòu)定理[J]．數(shù)學學報，2011，54(3)：483-494．