G錐度量空間中廣義c距離的不動點定理

曹小雙 ,林存津,劉 煒

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

G錐度量空間中廣義c距離的不動點定理

曹小雙 ,林存津,劉 煒

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

推廣了Cho Yeol Je, Saadati Reza和Wang Shenghua的結(jié)果, 引入了廣義c距離的概念, 并將廣義c距離運(yùn)用到G錐度量空間中來解決相關(guān)不動點問題. 去掉了算子的連續(xù)性, 錐的正規(guī)性等一系列附加條件, 與以往傳統(tǒng)方法相比, 更具技巧性.

廣義c距離;G錐度量空間; 不動點問題

0 引言

在過去二十年里，很多學(xué)者都致力于在抽象空間中研究壓縮映射、或者廣義壓縮映射的相關(guān)不動點理論. 而最近幾年里, 為了克服 Dhage理論中存在的問題, Mustafa Z和Sims B在文[1]中對度量空間作了一個更為合理的推廣, 也就是所謂的G度量空間. 2010年, Beg I, Abbas M和Nazir T在文[2]中提出了G錐度量空間作為G度量空間的進(jìn)一步推廣. 為此, 一些作者在這類空間中研究了諸多的不動點理論, 見文[3,4,5].

我們知道, Cho Yeol Je等于2011年在錐度量空間中提出了c距離的概念, 并通過采用這一概念,在錐度量空間中證明了一系列的不動點理論. 不僅如此, 很多作者也運(yùn)用這一工具在抽象空間中證明了相關(guān)不動點理論, 見文[6～10].

本文主要在此基礎(chǔ)上對該c距離作了推廣, 引入了廣義c距離的概念, 并將其運(yùn)用到近來才出現(xiàn)的G錐度量空間中來解決相關(guān)不動點問題, 該證明過程相比以往的常規(guī)方法, 具有很強(qiáng)的突破性.

1 預(yù)備知識

下面出現(xiàn)的定義、引理或者定理可能會在主要結(jié)果的獲得過程中被用到.

讓E是一個實巴拿赫空間,E的子集P被稱作一個錐, 當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立:

a)P是非空閉集，而且P≠{θ} ;

b)a,b∈R,a,b≥0,x,y∈P?ax+by∈P;

c)P∩(-P)={θ} .

錐P被稱作正規(guī)的, 如果存在一個實數(shù)K>0 使得對于所有的x,y∈E, 都有y≥x≥θ可以推出K‖y‖≥‖x‖ , 滿足上述不等式的最小正數(shù)被稱為P的正規(guī)常量. 這里x≤y當(dāng)且僅當(dāng)y-x∈P,x?y當(dāng)且僅當(dāng)y-x∈intP(其中， intP指的是P的內(nèi)部).

定義1[2]設(shè)X是一個非空集，假定映射G:X×X×X→E滿足：

G1)對 ?x,y,z∈X, 如果x=y=z, 則G(x,y,z)=0;

G2)對 ?x,y∈X, 當(dāng)x≠y時, 有G(x,x,y)>0;

G3)對 ?x,y,z∈X, 當(dāng)y≠z時,G(x,x,y)≤G(x,y,z) ;

G4)對?x,y,z∈X, 有G(x,y,z)=G(x,z,y)=…(關(guān)于這三個元素滿足對稱關(guān)系);

G5)對?x,y,z,a∈X，有G(x,y,z)≤G(x,a,a)+G(a,y,z) .

則G被稱作X上的一個廣義錐度量, 而且X被稱作廣義錐度量空間, 或者是G-錐度量空間.

注1 很顯然, 我們可以得到, 對?x,y,z∈X,G(x,y,z)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z.

引理1[2]對?x,y∈X, 有G(x,y,y)≤2G(x,x,y) .

定義2[1]設(shè)X是一個G-錐度量空間,{xn}?X, 我們說{xn} 是:

a) 柯西列, 如果對?c∈E, 而且c?θ, 存在N, 使得對于?m,n,l>N, 有G(xm,xn,xl)?c;

b) 收斂列, 如果對?c∈E, 而且c?θ, 存在N, 使得對于 ?m,n>N, 有G(xm,xn,x) ?c，其中x為X中的一個不動點.

一個G-錐度量空間被稱為完備的, 如果X中每一個柯西列在X中都是收斂的.

引理2[2]設(shè)X是一個G-錐度量空間,P是正規(guī)錐, {xn},{yn}和{zn} 是X中的三個序列, 如果xn→x,yn→y和zn→z, 則有G(xm,xn,xl)→G(x,y,z)(m,n,l→∞) .

引理3[2]設(shè)X是一個G-錐度量空間,P是正規(guī)錐, 若存在序列 {xn}?X, 點x∈X, 則下面的陳述是等價的:

i) {xn}收斂于x;

ii) G(xn,xn,x)→0(n→∞);

iii) G(xn,x,x,)→0(n→∞);

iv)G(xm,xn,x)→0(n→∞) .

定義3[9]設(shè)(X,d) 是一個錐度量空間, 則一個函數(shù)q:X×X→E被稱為X上的一個c距離, 如果下面的條件滿足:

q1)對?x,y∈X, 有q(x,y)≥θ;

q2)對?x,y,z∈X, 有q(x,z)≤q(x,y)+q(y,z) ;

q3)讓yn→y∈X，對?x∈X, 而且n≥1, 若存在u=ux∈P使得q(x,yn)≤u, 則有q(x,y)≤u;

q4)對于所有的x,y,z∈X,c∈E, 而且c?θ, 存在e∈E, 而且e?θ, 當(dāng)q(z,x)?e和q(z,y)?e時, 我們可以得到d(x,y)?c.

定義4[9]設(shè)一對映射(f,g) 是偏序集上的自映射對, 則(f,g) 被稱為是弱增的, 如果對?x∈X,fx≤gfx而且gx≤fgx.

2 主要結(jié)果

在得出本文的主要結(jié)果之前, 我們先給出如下新的定義.

定義5 設(shè) (X,G)是一個G錐度量空間, 則函數(shù)Q:X×X×X→E被稱作X上的一個廣義c距離, 如果以下條件滿足:

1 )對于所有的x,y,z∈X, 有Q(x,y,z) ≥θ;

2)對于所有的x,y,z∈X, 有Q(x,y,z)≤Q(x,a,a)+Q(a,y,z) ;

3) 讓yn→y∈X, 對任意x∈X和n≥1, 如果存在一個u=ux∈P，使得Q(x,yn,y)≤u或者是

Q(x,y,yn)≤u, 則有Q(x,y,y)≤u;

4)對于所有的x，y,z∈X,c∈E,并且c?θ, 存在一個e∈E, 并且e?θ，當(dāng)Q(z,x,x)?e和Q(z,y,y)?e時, 我們可以得到G(x,y,y)?c或者是G(y,x,x)?c.

引理4 設(shè)(X,G) 是一個G錐度量空間,Q是X上的一個廣義c距離. 若存在序列{xn}?X, {un}?P, 并且un→θ, 假定對于所有的m>n, 存在一個N, 當(dāng)n≥N時, 都有Q(xn,xm,xm)≤un, 則{xn} 是X中的一個柯西列.

引理5 設(shè)(X,G) 是一個G錐度量空間,Q是X上的一個廣義c距離. 如果對于任意x,y,z∈X,都有Q(x,y,y)=θ和Q(y,x,x)=θ, 則我們可以得到x=y.

證明 因為

Q(x,y,y)=Q(y,x,x)=θ

則由條件2 ), 我們有θ≤Q(y,y,y)≤Q(y,x,x)+Q(x,y,y)=θ

定理1 設(shè)(X,≤) 是一個偏序集, (X,G) 是一個完備的G錐度量空間,Q是X上的一個廣義c距離, 假定存在映像f:X→X關(guān)于 ≤滿足不減性, 且如下條件滿足:

i)存在a,b>0 并且a+b<1 , 使得

Q(fx,fy,fz)≤aQ(x,y,z)+bQ(x,fx,fx)

對于所有的x,y,z∈X并且x≤y≤z;

ii)存在x0∈X使得x0≤fx0.

則f有一個唯一不動點，如果v=fv,則Q(v,v,v)=θ.

證明 如果fx0=x0, 則x0即為f的不動點, 證明完成. 現(xiàn)假設(shè)fx0≠x0, 因為x0≤fx0, 且映像f關(guān)于≤ 滿足不減性, 則令xn=fnx0, 我們不難得到

x0≤fx0=x1≤f2x0=x2≤…≤fnx0=xn≤fn+1x0=xn+1≤…

又由條件(I), 顯然有

Q(xn,xn+1,xn+1)=Q(fxn-1,fxn,fxn)≤aQ(xn-1,xn,xn)+bQ(xn-1,fxn-1,fxn-1)= (a+b)Q(xn-1,xn,xn)

于是, 對于所有的n≥1, 我們有Q(xn,xn+1,xn+1)≤hQ(xn-1,xn,xn)≤…≤hnQ(x0,x1,x1)其中h=a+b<1 . 現(xiàn)在證當(dāng)m>n時, 由條件2 ), 我們有

下面我們將證明 {xn}是柯西列.

同理, 我們可以找到正數(shù)N1, 當(dāng)n≥N1時,Q(xn-1,x′,x′)?c,又因為

Q(xn,fx′,fx′)=Q(fxn-1,fx′,fx′)≤aQ(xn-1,x′,x′)+bQ(xn-1,fxn-1,fxn-1)=aQ(xn-1,x′,x′)+bQ(xn-1,xn,xn)

則類似可以找到正數(shù)N2, 當(dāng)n≥N2時,Q(xn,fx′,fx′)?c, 取e=c, 結(jié)合前面的Q(xn,x′,x′)?C,由4) , 我們有G(fx′,x′,x′)?c或者G(x′,fx′,fx′)?c. 這說明了fx′=x′, 即x′ 為f的不動點.

假定v=fv, 則有

Q(v,v,v)=Q(fv,fv,fv)≤aQ(v,v,v)+bQ(v,fv,fv)=(a+b)Q(v,v,v)

因a+b< 1, 故Q(v,v,v)=θ顯然成立.

下證唯一性.

若存在另一不動點y′ , 使得fy′=y′, 則有

Q(fx′,fy′,fy′)≤aQ(x′,y′,y′)+bQ(x′,fx′,fx′)≤aQ(x′,y′,y′)

和

Q(fy′,fx′,fx′)≤Q(y′,x′,x′)+bQ(y′,fy′,fy′)≤aQ(y′,x′,x′)

因a<1 , 故Q(x′,y′,y′)=θ且Q(y′,x′,x′)=θ, 由引理5, 我們有

x′=y′

唯一性得證, 證畢.

注2 在定理1的證明過程中, 我們?nèi)サ袅宋腫9]定理3.1中f的連續(xù)性這一條件, 取而代之,我們用3) 和4) 來得出我們想要的結(jié)果, 此方法很好地實現(xiàn)了把廣義c距離作為解題工具的實效性.

定理2 設(shè)(X,≤) 是一個偏序集,(X,G) 是一個完備的G錐度量空間,Q是X上的一個廣義c距離, 假定存在兩個映像f,g關(guān)于≤ 滿足弱增性, 且存在a,b>0并且a+b<1, 使得

Q(fx,gy,gz)≤aQ(x,y,z)+bQ(x,fx,fx)

和

Q(gx,fy,fz)≤aQ(x,y,z)+bQ(x,gx,gx)

對于所有可比較的x,y,z∈X均成立.

則f和g有唯一的公共不動點x′∈X, 如果v=fv=gv, 則Q(v,v,v)=θ.

證明 對?x0∈X,{xn}?X, 作如下定義

x2n+1=fx2n,x2n+2=gx2n+1

對于所有的n≥0 均成立. 因為f和g是弱增的, 則我們有

x1=fx0≤gfx0=gx1=x2且x2=gx1≤fgx1=fx2=x3

繼續(xù)這個過程, 我們可以得到

Q(x2n+1,x2n+2,x2n+2)=Q(fx2n,gx2n+1,gx2n+1)≤aQ(x2n,x2n+1,x2n+1)+bQ(x2n,fx2n,fx2n)= (a+b)Q(x2n,x2n+1,x2n+1)

令h=a+b<1, 并結(jié)合以上不等式, 同理可得

Q(x2n+2,x2n+3,x2n+3)≤hQ(x2n+1,x2n+2,x2n+2)

因此, 顯然有連續(xù)不等式

Q(xn,xn+1,xn+1)≤hQ(xn-1,xn,xn)≤…≤hnQ(x0,x1,x1)

設(shè)m>n, 則由定理1中的證明過程, 我們可以看出

又由條件2), 我們有

我們知道

Q(x2n+2,fx′,fx′)=Q(gx2n+1,fx′,fx′)≤aQ(x2n+1,x′,x′)+bQ(x2n+1,gx2n+1,gx2n+1)=aQ(x2n+1,x′,x′)+bQ(x2n+1,x2n+2,x2n+2)

而且

Q(x2n+1,fx′,fx′)≤Q(x2n+1,x2n+2,x2n+2)+Q(x2n+2,fx′,fx′)≤Q(x2n+1,x2n+2,x2n+2)+aQ(x2n+1,x′,x′)+bQ(x2n+1,x2n+2,x2n+2)= (b+1)Q(x2n+1,x2n+2,x2n+2)+aQ(x2n+1,x′,x′)

類似上述方法, 我們可以得到Q(x2n+2,fx′,fx′)?c, 而且Q(x2n+1,fx′,fx′)?c, 進(jìn)而Q(xn,fx′,fx′)?c, 又因為Q(xn,x′,x′)?c, 故G(fx′,x′,x′)?c或者G(x′,fx′,fx′)?c, 從而fx′=x′ .

同理可得gx′=x′ , 則有fx′=gx′=x′ , 即x′ 為f和g的公共不動點.

如果v=fv=gv, 則

Q(v,v,v)=Q(fv,gv,gv)≤aQ(v,v,v)+bQ(v,fv,fv)=(a+b)Q(v,v,v)

因a+b<1 , 故Q(v,v,v)=θ顯然成立.

下證唯一性.

若存在另一公共不動點y′, 使得fy′=gy′=y′ , 則有

Q(fx′,gy′,gy′)≤aQ(x′,y′,y′)+bQ(x′,fx′,fx′)≤aQ(x′,y′,y′)

和

Q(fy′,gx′,gx′)≤aQ(y′,x′,x′)+bQ(y′,fy′,fy′)≤aQ(y′,x′,x′)

因a<1 , 故Q(x′,y′,y′)=θ且Q(y′,x′,x′)=θ, 由引理5, 我們有

x′=y′

唯一性得證, 證畢.

注3 在定理2的證明過程中, 我們?nèi)サ袅擞成鋐的連續(xù)性, 也未用到文[9]定理3.2中的正規(guī)性以及iii)等條件, 取而代之, 直接運(yùn)用我們引入的廣義c距離中條件3)、4) 來得到想要的結(jié)果. 最重要的是, 我們在定理2中還引入了公共不動點唯一性的證明方法, 這一點, 在其他相關(guān)文獻(xiàn)中幾乎沒有被研究過, 尤其要說明的是, 唯一性的證明方法借助了我們所提出的一個新的引理, 該引理的提出也是本文的亮點之一.

[1]Mustafa Z,Sims B. A new approach to gneneralized metric spaces[J]．Nonlinear and Convex Anal, 2006,(7): 289～297.

[2]Beg I, Abbas M,Nazir T.Gneneralized cone metric spaces[J]． J Nonlinear Sci Appl, 2010,(3): 21～31.

[3]Rao K P R, Lakshmi K B,Raju V C C.A unique common fixed point theorem for three mappings in G-cone metric spaces[J]． The Journal of Mathematics and Computer Science / TJMCS, 2012,(4):585～590.

[4]Ozturk M,Basarr M. On some coincidence and common fixed point theorems in G-cone metric spaces[J]． Thai Journal of Mathematics, 2011,9:647～657.

[5]李 穎, 宋眉眉. 廣義錐度量空間的廣義度量化[J]. 天津理工大學(xué)學(xué)報, 2012,28(3):7～9.

[6]Dordovic M,Doric D,Kadelburg Z,et al.Fixed point results under c-distance in tvs-cone metric spaces[J]． Fixed Point Theory and Applications, 2011,29: 1～9.

[7]Wang S, Guo B. Distance in cone metric spaces and common fixed point theorems[J]．Applied Mathematics Letters, 2011,24 :1735～1739.

[8]Sintunavarat W,Cho Y J,Kumam P.Common fixed point theorems for c-distance in ordered cone metric spaces[J].Computers and Mathematics with Applications. 2011(62): 1969～1978.

[9]Cho Y J,Saadati R,Wang S H.Common fixed point theorems on generalized distance in ordered cone metric spaces[J]．Computers and Mathematics with Applications, 2011,61: 1254～1260.

[10]Fadail Z M,Ahmad A G B,Radenovi S.Common fixed point and fixed point results under c-distance in cone metric spaces[J]．Applied Mathematics & Information Sciences Letters, 2013,2: 47～52.

Fixedpointtheoremsongeneralizedc-distanceinG-conemetricspaces

CAO Xiao-shuang,LIN Cun-jin, LIU Wei

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002, China)

In this paper, we generalize the main results which are shown by Yeol Je Cho, Reza Saadati and Shenghua Wang, and present the concept of generalizedc-distance. Subsequently, we will apply it intoG-cone metric spaces to solve the relevant fixed point theorems, in the process, we omit the continuity of operators, normality of cone and so on. Compared to previous one, our method may be more perfect to a large extent.

generalizedc-distance;G-cone metric spaces; fixed point theorems

2013—12—28

湖北省教育廳重點科研項目(D20102502)

曹小雙(1988— )，女，湖北鐘祥人，碩士研究生，主要從事非線性泛函分析的研究.

O177.97

A

1009-2714(2014)02- 0040- 06

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.02.010