錐矩形度量空間中的Banach壓縮映射原理

徐望斌, 汪金漢,石 露

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

錐矩形度量空間中的Banach壓縮映射原理

徐望斌, 汪金漢,石 露

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

在錐矩形度量空間中， 在不要求正規(guī)的條件下，研究討論了Banach壓縮映射原理的不動(dòng)點(diǎn)的存在唯一性. 所得結(jié)果改進(jìn)了Akbar于2009年在Appl．Anal．Discrete Math．上發(fā)表的主要結(jié)果.

錐矩形度量空間; Banach壓縮映射; 不動(dòng)點(diǎn)

Azam A等在文[1]中利用正規(guī)條件，得到了錐矩形度量空間中的Banach壓縮映射原理：

定理1[1]設(shè) (X,d)是一個(gè)完備的錐矩形度量空間，P是一個(gè)正規(guī)常數(shù)為κ正規(guī)錐． 設(shè)映射T:X→X滿(mǎn)足

d(Tx,Ty)≤λd(x,y),?x,y∈X

其中λ∈[0,1) ，則T在X中有唯一的不動(dòng)點(diǎn)．

Rezapour Sh等在文[2]中充分利用體錐的性質(zhì)，去掉了正規(guī)性條件，大大改進(jìn)了文[3]的主要結(jié)果. 本文參考Rezapour Sh等的思想，去掉了文[1]中定理3的正規(guī)性條件，證明了不動(dòng)點(diǎn)的存在唯一性．

1 預(yù)備知識(shí)

沿用文[3]的記號(hào)和術(shù)語(yǔ)，引入以下定義和結(jié)論．

設(shè)E是一個(gè)實(shí)的Banach空間,θ為E的零元，P是E的子集,若

i)P是E的非空閉子集且P≠{θ};

ii)a,b∈,a,b≥0,x,y∈P?ax+by∈P;

iii)x∈P,-x∈P?x=θ.

則稱(chēng)P是一個(gè)錐．本文中，intP表示P的全體內(nèi)點(diǎn)所組成的集合且 intP≠?．

設(shè)P是E中的一個(gè)錐，x,y∈E, 定義E中的偏序“≤”，“< ”，“? ”分別如下：

x≤y?y-x∈P;x

定義1[1]設(shè)X是一個(gè)非空集合，d:X×X→E若滿(mǎn)足

1)θ≤d(x,y)(?x,y∈X),d(x,y)=θ?x=y；

2)d(x,y)=d(y,x)(?x,y∈X)；

3)d(x，y)≤d(x,w)+d(w,z)+d(z,y)(?x,y∈X,w,z∈X-{x,y}).

則稱(chēng)d為X上的一個(gè)錐矩形度量，同時(shí)稱(chēng)(X,d) 為錐矩形度量空間(滿(mǎn)足(3)式就稱(chēng)d具有矩形屬性).

定義2 設(shè)(X,d) 為錐矩形度量空間， {xn}為X中的序列， 若x∈X, ?c?θ,總存在一個(gè)自然數(shù)N, 使得當(dāng)n>N時(shí)，都有

d(xn,x)?c

定義3 設(shè)(X,d) 為錐矩形度量空間， {xn}為X中的序列. 如果?c?θ總存在一個(gè)自然數(shù)N,使得當(dāng)n,m>N時(shí)，都有

d(xn,xm)?c

那么稱(chēng){xn} 為X中的Cauchy列.若X中的每一個(gè)Canchy列都收斂于X中的某一元素，則稱(chēng)(X,d) 為完備的錐矩形度量空間.

2 主要結(jié)論

將文[1]中定理3的正規(guī)條件去掉得:

定理2 設(shè)(X,d) 是一個(gè)完備的錐矩形度量空間，P是一個(gè)錐．若映射T:X→X滿(mǎn)足

d(Tx,Ty)≤λd(x,y),?x,y∈X

(1)

其中λ∈[0,1) ，則T在X中有唯一的不動(dòng)點(diǎn).

證明 任取x0∈X，在X中定義序列如下

xn+1=Txn=Tn+1x0,(n=0,1,2,…)

先證若存在某個(gè)正整數(shù)n0，使得xn0=x0，則Tx0=x0，即T在X中有不動(dòng)點(diǎn)x0.事實(shí)上，由(1)式有

d(x0,Tx0)=d(xn0,Txn0)=d(Tn0x0,Tn0+1x0)≤λd(Tn0-1x0,Tn0x0)≤λ2d(Tn0-2x0,Tn0-1x0)≤…≤λn0d(x0,Tx0)

得到(λn0-1)d(x0,Tx0)∈P，而(1-λn0)d(x0,Tx0)∈P，因此 (1-λn0)d(x0,Tx0)=θ．

即d(x0,Tx0)=θ，亦即Tx0=x0．這意味著T在X中有不動(dòng)點(diǎn)x0．

不妨設(shè)任意m≠n有xn≠xm，則:對(duì)?y∈X，由矩形屬性得

類(lèi)似地， ?y∈X，有

(2)

再對(duì)?y∈X，由矩形屬性得

類(lèi)似地，?y∈X，有

(3)

再取y=Tnx0，對(duì)n=1,2,…,k=0,1,2,… ,由(3)式得

又取y=Tnx0，對(duì)n=1,2,…,k=1,2,…… ,由(2)式得

綜上，對(duì)任意正整數(shù)m有

即

所以當(dāng)n>N時(shí)，由(4)式有

d(xn,xn+m)≤I?c

因此{(lán)xn} 是X中的Cauchy列．由(X,d) 的完備性知存在x*∈X，使得

Tnx0=xn→x*(n→∞)

故選擇適當(dāng)?shù)恼麛?shù)N1，使得n>N1時(shí)有

當(dāng)m≠n時(shí)，xm≠xn.利用(1)式及矩形屬性有

d(Tx*,x*)≤d(Tx*,Tn+1x0)+d(Tn+1x0,Tn+2x0)+d(Tn+2x0,x*) ≤λd(x*,Tnx0)+d(Tn+1x0,Tn+2x0)+d(Tn+2x0,x*)≤λd(Tnx0,x*)+λn+1d(x0,Tx0)+d(Tn+2x0,x*)

選擇適當(dāng)?shù)恼麛?shù)N2，使得n>N2時(shí)有

取N=max{N1,N2} ，當(dāng)n>N時(shí)

因此，對(duì)正整數(shù)m，有

于是，當(dāng)m→∞ 時(shí)，由P為閉集知-d(Tx*,x*)∈P) ，從而d(Tx*,x*)=θ，即有TX*=x*．

以上證明了不動(dòng)點(diǎn)的存在性. 下面證明唯一性. 若還有x**∈X，使得Tx**=x**．由于

d(x*,x**)=d(Tx*,Tx**)≤λd(x*,x**)

注意λ∈[0,1),于是x*=x**.唯一性獲證.

[1]Azam A，Arshad Muhammad，Beg Ismat.Banach contraction principle on cone rectangular metric spaces[J]．Appl Anal Discrete Math,2009,3:236～241．

[2]Huang L G,Zhang X.Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings[J]．J math Anal Appl,2007,332:1468～1476．

[3]Rezapour S h,Hamlbarani R.Some notes on the paper "Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings"[J]．J math Anal Appl,2008,345:719～724．

Keywords: cone rectangular metric spaces; Banach contractive mapping; fixed point

Banachcontractiveprincipleonconerectangularmetricspaces

XU Wang-bin，WANG Jin-han，SHI Lu

(College of Mathematical and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002, China)

In this paper, we obtain the existence and uniqueness of Banach contractive mappings in cone rectangular metric spaces without the assumption of normality. Our main result improves [Akbar Azam，Muhammad Arshad，Ismat Beg：Banach contraction principle on cone rectangular metric spaces．Appl．Anal．Discrete Math．2009 ].

2013—12—10

徐望斌(1965— )，男，湖北天門(mén)人，副教授.

O177.91

A

1009-2714(2014)02- 0019- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.02.005