在對(duì)話體驗(yàn)中發(fā)展理性思維

李斯林

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維，提升理性思維能力.理性思維需要經(jīng)歷觀察、猜想、推理、運(yùn)算和歸納，強(qiáng)調(diào)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、思路清晰、語(yǔ)言準(zhǔn)確.現(xiàn)在的課堂教學(xué)，數(shù)學(xué)教師越來(lái)越關(guān)注教師、學(xué)生、文本三者之間的對(duì)話.學(xué)生積極參與活動(dòng)，從感知數(shù)學(xué)到感悟數(shù)學(xué)，在對(duì)話體驗(yàn)中發(fā)展理性思維.

一、教學(xué)案例片段

教學(xué)案例：“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”（蘇教版選修2—1第2.5節(jié)）.

1.對(duì)話情境，直覺(jué)感知

情境：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線、拋物線，這三種曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.圓錐曲線有一些共同特征，比如，方程形式上的統(tǒng)一，都有焦點(diǎn)、對(duì)稱性等.圓錐曲線還有一些共同的性質(zhì)等待我們?nèi)ヌ骄?

問(wèn)題：在學(xué)完橢圓后，根據(jù)雙曲線和橢圓的定義之間的關(guān)系，對(duì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)等進(jìn)行類比猜想，然后給予了嚴(yán)格的推理論證.在學(xué)完拋物線以后，類比拋物線的定義：橢圓和雙曲線可以用這樣的形式定義么？如果可以，這三種曲線都應(yīng)該滿足怎樣的性質(zhì)呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)情境描述，讓學(xué)生從直覺(jué)上感受這三種曲線之間存在著必然的聯(lián)系.再通過(guò)問(wèn)題設(shè)置，給學(xué)生一種具體的數(shù)學(xué)思維方式.這樣降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，有利于展開(kāi)學(xué)習(xí).

2.小組對(duì)話，激活思維

要求：同伴交流自己對(duì)問(wèn)題的思考.

下面是一個(gè)小組合作時(shí)的部分摘錄.

生1：類比拋物線的定義，要保留一些關(guān)鍵的信息，比如“在平面內(nèi)”“到一個(gè)定點(diǎn)F的距離”“到一條定直線l的距離”.

生2：“相等”要改為“不相等”.

生3：使用“不相等”，原來(lái)的等量關(guān)系就變成了不等關(guān)系，而橢圓、雙曲線的定義表示的卻是等量關(guān)系，如何處理？

生4：課本在第33頁(yè)第8題這樣描述：“設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離是到直線x=9的距離的13，試判斷點(diǎn)P的軌跡是什么圖像.”我們可以借鑒這道題的描述方式.猜想命題為：“在平面內(nèi)，到一個(gè)定點(diǎn)F的距離是到一條定直線的距離的λ倍的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線.”

生5：F∈/l，λ>0.

生6：考慮到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性，猜想可以修改為：“平面內(nèi)，到一個(gè)定點(diǎn)F的距離和到一條定直線l（F∈/l）的距離之比為λ的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線.”

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上獨(dú)立思考，在同伴之間發(fā)表見(jiàn)解，相互交流補(bǔ)充，最后在班級(jí)集中展示.這能很好地培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考、觀察分析能力，也有利于學(xué)生借鑒他人的優(yōu)秀做法，取長(zhǎng)補(bǔ)短.

3.演繹推理，理性思考

教師用幾何畫(huà)板演示了大家的猜想，發(fā)現(xiàn)當(dāng)0<λ<1時(shí)，軌跡是橢圓；當(dāng)λ>1時(shí)，軌跡是雙曲線；當(dāng)λ=1時(shí)，軌跡是拋物線.

師：對(duì)于猜想的命題是否正確，不能僅僅通過(guò)觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果判斷，還要給出嚴(yán)格的邏輯推理論證.

問(wèn)題：以橢圓為例，如何判斷猜想的命題是否正確性？如果正確，這里的定直線與a，b，c有什么關(guān)聯(lián)？常數(shù)λ的幾何意義是什么？

師生共同分析探討，得出兩種思路.

思路1：從猜想的命題直接出發(fā)求證，仿照建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法去建立方程.然后將所得的方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作比較，從而得到證明.

思路2：從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解過(guò)程中去尋找，看求解過(guò)程中是否蘊(yùn)含有符合猜想的表達(dá)式，并給出具體的幾何解釋.

設(shè)計(jì)意圖：猜想是否正確必須要有嚴(yán)格的演繹推理作保證.教師和學(xué)生通過(guò)共同分析、探討出兩種不同的驗(yàn)證思路，然后交給不同的學(xué)習(xí)小組繼續(xù)完成探究.這從不同層面上加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.

4.自主反思，優(yōu)化結(jié)構(gòu)

思考：設(shè)計(jì)表格，對(duì)比圓錐曲線的第一定義和統(tǒng)一定義，找出區(qū)別和聯(lián)系？并嘗試對(duì)研究過(guò)程進(jìn)行反思.

設(shè)計(jì)意圖：自主反思是對(duì)整個(gè)課堂學(xué)習(xí)的全方位思考，有利于學(xué)生接受新知識(shí)，并將之納入原有的知識(shí)結(jié)構(gòu).而對(duì)研究過(guò)程的反思則要求學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程.

二、教學(xué)后的思考

1.深入研究教材，理清知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

數(shù)學(xué)教材是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的藍(lán)本，教師在教學(xué)時(shí)要強(qiáng)化“用教材教”的理念，切忌拋開(kāi)書(shū)本.教師要弄清知識(shí)的來(lái)龍去脈，深入研究教材、教學(xué)要求，對(duì)教材中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法進(jìn)行提煉.

2.注重對(duì)話體驗(yàn)，發(fā)展理性思維

教師可以通過(guò)觀察、猜想、試驗(yàn)、類比、歸納、反思等手段不斷讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)對(duì)話體驗(yàn)，并從中體會(huì)數(shù)學(xué)的思維方式.在對(duì)話體驗(yàn)時(shí)，要注重讓學(xué)生從多個(gè)角度與文本、同伴、教師進(jìn)行對(duì)話.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）