一類解析函數(shù)類的凸性

李小飛，熊良鵬

（1.長(zhǎng)江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院，湖北 荊州434020；2.成都理工大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院，四川 樂(lè)山614000）

0 引言

本文中用U表示復(fù)平面內(nèi)的單位圓盤(pán)U＝｛z：｜z｜＜1，z∈C｝，并用H（U）表示U內(nèi)的解析函數(shù)族，S表示U內(nèi)的單葉函數(shù)族.記

并記A（1，1）＝A.定義

為p葉α階星象函數(shù)類［1-2］，并記S＊1（1，α）＝S＊（α）表示傳統(tǒng)意義下的α階星象函數(shù)類，S＊1（1，0）＝S＊表示傳統(tǒng)意義下的星象函數(shù)類.定義

為p葉α階凸函數(shù)類［3-4］，并記K1（1，α）＝K（α）表示傳統(tǒng)意義下的α階凸函數(shù)類，K1（1，0）＝K表示傳統(tǒng)意義下的凸函數(shù)類.由定義容易知道，Kn（p，α）?S＊n（p，α）?S.

Frasin［5］定義了A中的函數(shù)類B（μ，α）：

Macarie V M等［6］定義了積分算子函數(shù)：

本文中新定義一類函數(shù)類BS（n，p，μ，α）：

當(dāng)μ＝1時(shí)，BS（n，p，1，α）當(dāng)p＝n＝1時(shí)，BS（1，1，μ，α）＝B（μ，α）；當(dāng)p＝n＝1，μ＝0時(shí)，BS（1，1，0，α）?R（α），許多作者［7-11］研究過(guò)這些函數(shù)類的性質(zhì).本文中利用解析函數(shù)理論，研究得到函數(shù)類BS（n，p，μ，α）中積分算子函數(shù)Hn（z），H（z），G（z）的凸性和α階凸性.

1 主要結(jié)果

引理1.1［12］設(shè)函數(shù)f（z）是圓盤(pán)UR＝｛z∈C，｜z｜＜R｝內(nèi)的解析函數(shù)且｜f（z）｜≤M，M是回定的非負(fù)實(shí)數(shù).若f（z）在z＝0處有大于或等于m階的零點(diǎn)，則等號(hào)（不等式中z≠0）成立當(dāng)且僅當(dāng)這里θ為常數(shù).

定理1.2 設(shè)fi（z）∈BS（n，p，μi，αi），μi≥0，0≤αi＜p，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤Mi，Mi≥1為常數(shù)，則Hn（z）∈Kn（p，δ），這里

定理1.2的證明 假設(shè)fi（z）∈BS（n，p，μi，αi），i＝1，2，…，n，則

令

因此，Hn（z）∈Kn（p，δ）.

推論1.3 設(shè)fi（z）∈BS（n，p，μi，αi），μi≥0，0≤αi＞p，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤M，M≥1為常數(shù)，則Hn（z）∈Kn（p，δ），這里則即因此

推論1.3的證明 在定理1.2中令Mi＝M即可.

推論1.4 設(shè)fi（z）∈B（μi，αi），μi≥0，0≤αi＜1，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤Mi，Mi≥1為常數(shù)，則Hn（z）∈這里

推論1.4的證明 在定理1.2中令n＝p＝1即可.

推論1.5 設(shè)fi（z）∈R（αi），0≤αi＞1，i＝1，2，…，n，則Hn（z）∈K（δ），這里

推論1.5的證明 在定理1.2中令n＝p＝1，μi＝0，i＝1，2，…，n即可.

推論1.6 設(shè)fi（z）∈S＊n（p，αi），0≤αi＜p，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤Mi，Mi≥1為常數(shù)，則Hn（z）∈Kn（p，δ），這里

推論1.6的證明 在定理1.2中令μi＝1，i＝1，2，…，n即可.

定理1.7 設(shè)fi（z）∈BS（n，p，μi，αi），μi≥0，0≤αi＜p，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤Mi，Mi≥1為常數(shù)，則H（z）∈Kn（p，δ），這里1］＋n｜β-1｜≤1，β∈C／｛0｝.

定理1.7的證明 假設(shè)fi（z）∈BS（n，p，μi，αi），i＝1，2，…，n，則

且

由引理1.1可知，對(duì)i＝1，2，…，n，有且｜z｜p＜1.又fi（z）∈BS（n，p，μi，αi）知，所以，

因此，H（z）∈Kn（p，δ）.

推論1.8 設(shè)fi（z）∈BS（n，p，μi，αi），μi≥0，0≤αi＜p，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤M，M≥1為常數(shù)，則H（z）∈Kn（p，δ），這里1］＋n｜β-1｜≤1，β∈C／｛0｝.

推論1.8的證明 在定理1.7中令Mi＝M，i＝1，2，…，n即可.

推論1.9 設(shè)fi（z）∈B（μi，αi），μi≥0，0≤αi＜1，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤Mi，Mi≥1為常數(shù)，則H（z）∈K（δ），這里1，β∈C／｛0｝.

推論1.9的證明 在定理1.7中令n＝p＝1即可.

推論1.10 設(shè)fi（z）∈S＊n（p，αi），0≤αi＜p，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤Mi，Mi≥1為常數(shù)，則H（z）∈β∈C／｛0｝.

推論1.10的證明 在定理1.7中令μi＝1，i＝1，2，…，n即可.

定理1.11 設(shè)fi（z）∈BS（n，p，μi，αi），μi≥0，0≤αi＜p，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤Mi，Mi≥1為常數(shù)，

則G（z）∈Kn（p，δ），這里Kn（p，δ），這里

定理1.11的證明 假設(shè)fi（z）∈BS（n，p，μi，αi），μi≥0，0≤αi＜p，由G（z）的定義，知由引理1.1和fi（z）的定義可得，

推論1.12 設(shè)fi（z）∈BS（n，p，μi，αi），μi≥0，0≤αi＜p，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）≤M，M≥1為常數(shù)，則G（z）∈Kn（p，δ），這里

推論1.12的證明 在定理1.11中令Mi＝M，i＝1，2，…，n即可.

推論1.13 設(shè)fi（z）∈B（μi，αi），μi≥0，0≤αi＜1，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤Mi，Mi≥1為常數(shù)，則G（z）∈K（δ），這里

推論1.13的證明 在定理1.11中令n＝p＝1即可.

推論1.14 設(shè)fi（z）∈S＊n（p，αi），0≤αi＜p，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤Mi，Mi≥1為常數(shù)，則G（z）∈Kn（p，δ），這里

推論1.14的證明 在定理1.11中令μi＝1，i＝1，2，…，n即可.

［1］揚(yáng)定恭.關(guān)于具有負(fù)系數(shù)的p葉星象函數(shù)的注記［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，1993，9（1）：119-122.

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