基于Sheorey巖體強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)等效Mohr-Coulomb強(qiáng)度參數(shù)的推導(dǎo)

，

(中國(guó)電建集團(tuán) 貴陽勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，貴陽 550081)

1 研究背景

為了定量描述巖體的強(qiáng)度從而更恰當(dāng)?shù)卦u(píng)價(jià)巖體的穩(wěn)定性，許多學(xué)者都做了大量工作，提出了很多巖體強(qiáng)度準(zhǔn)則[1-9]。這些強(qiáng)度準(zhǔn)則在描述巖體強(qiáng)度方面各有利弊，總的看來，Mohr-Coulomb(M-C)準(zhǔn)則由于其理論簡(jiǎn)單實(shí)用，原理清晰，所需參數(shù)不多，雖然更適宜于描述土體等散體介質(zhì)的強(qiáng)度，但在描述巖體的剪切破壞即抗剪強(qiáng)度方面仍然具有很好的適用性，是工程界應(yīng)用最為普遍的強(qiáng)度準(zhǔn)則。因此，很多商業(yè)工程軟件內(nèi)置的強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則仍然是基于M-C準(zhǔn)則，因此在應(yīng)用其他強(qiáng)度準(zhǔn)則時(shí)，常常需要獲得相應(yīng)的M-C準(zhǔn)則等效強(qiáng)度參數(shù)。一些學(xué)者在非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則線性化及推求等效強(qiáng)度參數(shù)方面都做出了很有價(jià)值的工作[10-12]。本文在介紹Sheorey強(qiáng)度準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，應(yīng)用最小二乘法推導(dǎo)了相應(yīng)的等效M-C強(qiáng)度參數(shù)，給出了等效強(qiáng)度參數(shù)的通用表達(dá)式。

2 Sheorey強(qiáng)度準(zhǔn)則

Sheorey準(zhǔn)則是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)度準(zhǔn)則，由P.R.Sheorey等[13-14]根據(jù)煤的室內(nèi)三軸試驗(yàn)總結(jié)歸納而來，也被廣泛用于節(jié)理巖體的強(qiáng)度與穩(wěn)定性分析。該準(zhǔn)則基于Bieniawski于1976年提出的巖體分級(jí)系統(tǒng)(RMR)，通過對(duì)巖塊的室內(nèi)三軸試驗(yàn)強(qiáng)度參數(shù)進(jìn)行折減來確定相應(yīng)原位巖體的強(qiáng)度參數(shù)。Sheorey準(zhǔn)則在σ1-σ3平面的關(guān)系為

(1)

式中：σ1，σ3分別為大、小主應(yīng)力；σcm，σtm分別為原位巖體的單軸抗壓及抗拉強(qiáng)度；bm為表征巖體級(jí)別的參數(shù)，受巖體的RMR值控制。σcm，σtm和bm可由以下3式確定：

(2)

(3)

bm=bRMR/100。

(4)

式中：σc，σt分別是完整巖塊的抗壓強(qiáng)度及抗拉強(qiáng)度；RMR是Bieniawski提出的巖體分級(jí)系統(tǒng)值；b是表征巖塊強(qiáng)度的參數(shù)，其值由巖塊的室內(nèi)三軸試驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)得到。Sheorey準(zhǔn)則是基于煤的室內(nèi)三軸試驗(yàn)參數(shù)而提出來的，在將其應(yīng)用于巖體時(shí)，需與1976年Bieniawski的巖體分級(jí)系統(tǒng)聯(lián)系起來，首先必須取得巖體的RMR值以及完整巖塊的室內(nèi)力學(xué)試驗(yàn)參數(shù)，將巖塊強(qiáng)度參數(shù)折減得到巖體強(qiáng)度參數(shù)從而應(yīng)用該準(zhǔn)則。

3 推求等效M-C強(qiáng)度參數(shù)

Sheorey準(zhǔn)則和M-C準(zhǔn)則在σ1-σ3平面上的圖形如圖1所示，根據(jù)文獻(xiàn)[8]，推求相應(yīng)于Sheorey準(zhǔn)則的等效M-C強(qiáng)度參數(shù),即等效黏聚力c′和等效內(nèi)摩擦角φ′值應(yīng)在確定的小主應(yīng)力σ3區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，其原理是用線性M-C強(qiáng)度包線擬合Sheorey準(zhǔn)則，當(dāng)M-C包線切取Sheorey準(zhǔn)則包線所形成的上下部分區(qū)域面積相等時(shí)的M-C包線c′和φ′值,即為所推求的等效強(qiáng)度參數(shù)值。

圖1 Sheorey準(zhǔn)則和等效M-C準(zhǔn)則大、小主應(yīng)力關(guān)系

用于擬合的線性M-C強(qiáng)度包線可表示為

σ1=K0σ3+C0。

(5)

式中K0和C0均為常數(shù)，可將其表達(dá)為等效M-C強(qiáng)度參數(shù)c′和φ′的函數(shù)形式，即：

(6)

(7)

只要求出K0和C0的值，即可得到c′，φ′的值。為確定等效M-C強(qiáng)度參數(shù)，首先需要確定小主應(yīng)力σ3的區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)推求相應(yīng)的等效強(qiáng)度參數(shù)。該區(qū)間的上、下限小主應(yīng)力值分別記為σ3max，σ3min，一般來說，下限值σ3min取巖體抗拉強(qiáng)度σtm，即σtm<σ3<σ3max，而上限值σ3max應(yīng)根據(jù)不同情況加以分別確定[8]。

使M-C包線切取Sheorey準(zhǔn)則包線所形成的上下部分區(qū)域面積相等，應(yīng)用最小二乘法理論，該條件等價(jià)于構(gòu)造一差的平方和函數(shù)S，并使該函數(shù)取得極小值。在這里S為兩準(zhǔn)則關(guān)系式函數(shù)之差的平方在小主應(yīng)力區(qū)間[σ3min,σ3max]的積分，即

(8)

式(8)可以進(jìn)一步寫為

(9)

又

(10)

進(jìn)一步展開式(10)，可以得到

(11)

聯(lián)立式(9)至式(11)，有

S=S1+S2-S3-S4+S5。

(12)

式S中僅含有未知變量K0和C0，為求得使S取得極小值的條件，將S分別對(duì)2個(gè)變量K0和C0求偏導(dǎo)數(shù)，并使導(dǎo)數(shù)為0。S對(duì)C0求偏導(dǎo)得到

(13)

其中：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

將式(14)至式(18)代入式(13)，并使其等于0，簡(jiǎn)化后得到

K0+BC0=A。

(19)

式中A，B均為常數(shù)，其表達(dá)式如下：

(20)

(21)

將S對(duì)K0求偏導(dǎo)數(shù)，得到

(22)

其中：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

將式(23)至式(27)代入式(22)，并使其等于0，簡(jiǎn)化后得到

(28)

式中C，D均為常數(shù)，其表達(dá)式如下：

(29)

(30)

聯(lián)立式(19)與式(28)，即得到K0與C0的解:

(31)

K0=A-BC0。

(32)

將式(31)、式(32)代入式(6)與式(7)，得到等效M-C強(qiáng)度參數(shù)c′，φ′值：

(33)

(34)

4 不同準(zhǔn)則等效強(qiáng)度參數(shù)對(duì)比分析

為驗(yàn)證上述推導(dǎo)過程以及Sheorey準(zhǔn)則的可靠性，本節(jié)中列舉一實(shí)例對(duì)等效強(qiáng)度參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與Hoek-Brown準(zhǔn)則的等效強(qiáng)度參數(shù)進(jìn)行比較分析。

Hoek-Brown準(zhǔn)則在最大、最小主應(yīng)力平面上由下式給出：

(35)

該例中巖體基本指標(biāo)參數(shù)如表1所示。

表1 示例巖體破壞準(zhǔn)則基本參數(shù)

Hoek-Brown準(zhǔn)則等效強(qiáng)度參數(shù)的計(jì)算方法在文獻(xiàn)[8]中已給出。示例中兩準(zhǔn)則等效過程的最小主應(yīng)力區(qū)間下限值取σ3min=σtm，上限值σ3max按文獻(xiàn)[8]中建議取值，示例中巖體為完整硐室圍巖，埋深為20 m，得σ3max=224.5 MPa。等效參數(shù)計(jì)算結(jié)果如圖2所示，可見，Sheorey準(zhǔn)則在小主應(yīng)力區(qū)間內(nèi)的等效M-C強(qiáng)度參數(shù)為φS=20.4°，cS=33.0 MPa，而Hoek-Brown準(zhǔn)則為φH=21.5°，cH=32.4 MPa，對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度參數(shù)相當(dāng)接近。

圖2 Sheorey準(zhǔn)則和Hoek-Brown準(zhǔn)則等效M-C強(qiáng)度參數(shù)換算

5 結(jié) 論

本文從將非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則線性化的思想出發(fā)，根據(jù)一般的擬合原則，用線性M-C準(zhǔn)則對(duì)Sheorey巖體強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行了擬合，并推求出了等效M-C強(qiáng)度參數(shù)的通用表達(dá)式。在合理選取小主應(yīng)力區(qū)間后，根據(jù)本文導(dǎo)出的結(jié)果能迅速求得相應(yīng)的等效M-C強(qiáng)度參數(shù)，并方便地應(yīng)用于計(jì)算分析。

從實(shí)例計(jì)算結(jié)果看來，在選定的小主應(yīng)力區(qū)間內(nèi)，Sheorey準(zhǔn)則與Hoek-Brown準(zhǔn)則的等效強(qiáng)度參數(shù)具有很好的一致性。且低圍壓下的Sheorey準(zhǔn)則包線與Hoek-Brown包線幾乎一致，而隨著圍壓增大，兩者偏差將增大。

參考文獻(xiàn)：

[1] EDELBRO C.Evaluation of Rock Mass Strength Criteria[R].Sweden：Department of Civil and Mining Engineering, Division of Rock Mechanics，Lulea University of Technology, 2004.

[2] 李建林，陳興周.巖體破壞準(zhǔn)則及其參數(shù)研究[J].地下空間與工程學(xué)報(bào), 2007, 3(5): 982-986.(LI Jian-lin, CHEN Xing-zhou.Study on Failure Criterion and Its Parameters for Rock Mass[J].Chinese Journal of Underground Space and Engineering, 2007, 3(5): 982-986.(in Chinese))

[3] 潘別桐.工程巖體強(qiáng)度的估算方法[J].地球科學(xué)：中國(guó)地質(zhì)大學(xué)學(xué)報(bào), 1985, 10(11): 63-67.(PAN Bie-tong.Estimation Method for Strength of Engineering Rock Mass[J].Earth Science: Journal of China University of Geosciences，1985, 10(11): 63-67.(in Chinese))

[4] 周小平, 錢七虎, 楊海清.深部巖體強(qiáng)度準(zhǔn)則[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2008, 27(1): 117-123.(ZHOU Xiao-ping，QIAN Qi-hu，YANG Hai-qing.Strength Criteria of Deep Rock Mass[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2008, 27(1): 117-123.(in Chinese))

[5] 楊永兵.邊坡巖石強(qiáng)度與巖體強(qiáng)度的工程變換[J].金屬礦山，2004, (9): 10-12.(YANG Yong-bing.Engineering Transformation of Strength Between Rock and Rock Mass of Open-bit Slope[J].Metal Mine，2004, (9): 10-12.(in Chinese))

[6] 朱志明, 章廣成, 朱嬌燕, 等.基于廣義 Hoek-Brown 準(zhǔn)則的巖體等效強(qiáng)度[J].煤田地質(zhì)與勘探, 2012, 40(4): 52-55.(ZHU Zhi-ming，ZHANG Guang-cheng，ZHU Jiao-yan，etal.Research on Equivalent Strength Rock Mass Based on Generalized Hoek-Brown Failure Criterion[J].Coal Geology and Exploration，2012, 40(4): 52-55.(in Chinese))

[7] HOEK E, BROWN E T.Empirical Strength Criterion for Rock Masses[J].Journal of Geotechnical Engineering Division，ASCE，1980,106(GT9):1013-1035.

[8] HOEK E, CARRANZA-TORRES C, CORKUM B.Hoek-Brown Failure Criterion(2002 ed)[C]// Proceedings of the 5th North American Rock Mechanics Symposium, Toronto, Ontario, Canada, July 7-10, 2002: 267-273.

[9] 吳黎輝.巖體經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)度準(zhǔn)則研究[D].西安: 長(zhǎng)安大學(xué), 2004.(WU Li-hui.Study on Empirical Strength Criterion of Rock Mass[D].Xi’an: Chang’an University, 2004.(in Chinese))

[10] SOFIANOS A I, NOMIKOS P P.Equivalent Mohr-Coulomb and Generalized Hoek-Brown Strength Parameters for Supported Axisymmetric Tunnels in Plastic or Brittle Rock[J].International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences，2006，43(5): 683-704.

[11] FU W X, LIAO Y.Non-linear Shear Strength Reduction Technique in Slope Stability Calculation[J].Computer and Geotechnics，2011，37(3): 546-558.

[12] 楊 強(qiáng), 陳英儒, 劉耀儒, 等.巖體等效強(qiáng)度參數(shù)確定的理論和方法[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2008, 27(10): 1993-1999.(YANG Qiang，CHEN Ying-ru，LIU Yao-ru，etal.Theory and Method of Determining Equivalent Strength Parameters of Rock Mass[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2008, 27(10): 1993-1999.(in Chinese))

[13] SHEOREY P R.Empirical Rock Failure Criteria[M].Rotterdam: Balkema,1997：176.

[14] SHEOREY P R, BISWAS A K, CHOUBEY V D.An Empirical Failure Criterion for Rocks and Jointed Rock Mass[J].Engineering Geology，1989，26(2)：141-159.