論《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用部分》的教學(xué)

李道云　程文

中圖分類號：G633.62 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）14-0041-02

高中實行新課程改革后，教科書在框架結(jié)構(gòu)和具體內(nèi)容等方面變化都很大。湖北省也于2008年秋加入到了普通高中新課程改革的行列；無論是先進的教育理念，還是優(yōu)秀的教材，最終都要落實到課堂上，體現(xiàn)在課堂教學(xué)方法和教師教學(xué)行為上，新課程的實施需要課堂教學(xué)有一個質(zhì)的變化。而如何落實，如何正確地理解新課程的思想理念成為廣大一線高中數(shù)學(xué)教師普遍存在的問題。微積分作為高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接內(nèi)容，兩版教科書在內(nèi)容的呈現(xiàn)方面有哪些變化？對學(xué)生的學(xué)習(xí)主要有哪些影響？有哪些改進與不足？這些問題的研究對加速數(shù)學(xué)課程改革進程，推動教科書建設(shè)，提升學(xué)生的綜合素質(zhì)，全面提高教育教學(xué)質(zhì)量都具有重要的意義。

課標(biāo)版教科書關(guān)注學(xué)生發(fā)展、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和應(yīng)用意識的改革是其最大的亮點，但是在教學(xué)過程中也發(fā)現(xiàn)了個別值得商榷的地方，值得進一步研究。

一、對函數(shù)極值理解的處理是否可以將兩版教材結(jié)合起來，采用課標(biāo)版的探究，采用大綱版的表述

大綱版教科書是這樣定義的：

一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）f（x0），我們就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極小值，記作y極小值=f（x0）；極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。

課標(biāo)版是這樣來敘述的：如圖，以a，b兩點為例，我們可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y=f（x）在點x=a的函數(shù)值f（a）比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小，f '（a）=0；而且在點x=a附近的左側(cè)f '（x）<0，右側(cè)f '（x）>0。類似地，函數(shù)y=f（x）在x=b的函數(shù)值f（b）比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，f '（b）=0；而且在點x=b附近的左側(cè)f '（x）>0，右側(cè)f '（x）<0。我們把點a叫做函數(shù)y=f（x）的極小值點，f（a）叫做函數(shù)y=f（x）的極小值；點b叫做函數(shù)y=f（x）的極大值點，f（b）叫做函數(shù)y=f（x）的極大值。極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。

大綱版教科書雖然也進行了探究但過程比較粗糙，學(xué)生感觸不深，理解起來仍然比較模糊，但對極值定義的表述比較嚴(yán)密；課標(biāo)版教材探究比較細膩，并且對圖像的局部特征還做了“特寫”，學(xué)生理解起來更直觀，但如此敘述極值定義會使學(xué)生錯誤的理解為取得極值處的導(dǎo)數(shù)一定為0。雖然對于課標(biāo)版的教科書中所涉及的函數(shù)來講，沒有歧義，但這樣定義是不嚴(yán)密的。比如y=|x-a|這樣的函數(shù)，它們在x=a處也有極值，但在x=a處導(dǎo)數(shù)不存在，不符合課標(biāo)版的定義，所以這樣來定義極值欠妥。是否能將二者有選擇性的有機結(jié)合起來，從而既達到容易直觀感知又不會使學(xué)生產(chǎn)生歧義呢？

二、理解導(dǎo)數(shù)到底要不要講極限？講多少合適？

在微分學(xué)中，導(dǎo)數(shù)概念的建立最為關(guān)鍵。從微分學(xué)發(fā)展的歷史可以知道，極限概念是導(dǎo)數(shù)概念的核心基礎(chǔ)，沒有了極限過程也就沒有了導(dǎo)數(shù)，極限是導(dǎo)數(shù)不可回避的概念。肖柏榮老師曾經(jīng)于1982年在其文章《中學(xué)數(shù)學(xué)中極限、導(dǎo)數(shù)和微積分教學(xué)初議》中認(rèn)為“極限是數(shù)學(xué)中的一個極其重要的概念?！薄拔⒎e分中的許多重要概念，如函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、定積分以及無窮級數(shù)等實際上都是特定形式的極限?！薄扒髮?dǎo)法則和積分法則也都是以極限運算為基礎(chǔ)的?！币虼耍瑥目茖W(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊饬x上說，不教極限是沒法教導(dǎo)數(shù)的。

近年來不少專家學(xué)者通過大量實證研究對無極限的中學(xué)微積分課程在一些地區(qū)的實施情況做了調(diào)研。其中宋寶和、房元霞老師于2004年發(fā)表在數(shù)學(xué)教育學(xué)報上的文章《逾越形式化極限概念的微積分課程》表明學(xué)生和教師對導(dǎo)數(shù)設(shè)計的變化有明顯的反應(yīng)，課堂氣氛活躍，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性高，學(xué)生稱贊導(dǎo)數(shù)應(yīng)用性廣泛；但是教師表現(xiàn)出較大的不適應(yīng)。宋寶和、房元霞、郭兆明老師于2006年發(fā)表在《課程·教材·教法》上的文章《變化率思想：高中開設(shè)微積分課程的價值》中認(rèn)為：課標(biāo)教科書中無極限微積分的課程設(shè)計有利于促進學(xué)生自主探究、反思，關(guān)注學(xué)生對導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解和對微積分思想方法的掌握；宋寶和、房元霞、連茂廷老師最近發(fā)表在《數(shù)學(xué)通報》上的文章《高中生對導(dǎo)數(shù)概念理解情況的調(diào)查研究——兼與大學(xué)生的比較》認(rèn)為：學(xué)過無極限微積分的高中生對導(dǎo)數(shù)概念本質(zhì)的語言表述比兩階段都學(xué)過極限和導(dǎo)數(shù)的大學(xué)生好，將運動和變化問題化歸為導(dǎo)數(shù)來解決的能力要比大學(xué)生強，但是高中生對導(dǎo)數(shù)概念形象化理解僅停留在瞬時速度、瞬時變化率、切線斜率三個實例上。

我所在的中學(xué)大部分教師都是帶過多屆大綱版教材的教師，我們一直認(rèn)為：無極限的導(dǎo)數(shù)學(xué)生學(xué)完后僅僅停留在感知這一階段，學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的理解是模糊的、機械的，比如很多學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中都追問教科書只給出了函數(shù)y=x2，y=x-1，y=求導(dǎo)公式的推證過程，怎么樣才能導(dǎo)出函數(shù)y=xn的求導(dǎo)公式呢？諸多像這樣過去可以借用極限來理解和解釋的問題現(xiàn)在都不能實現(xiàn)。那么究竟在這里如何處理好呢？我們認(rèn)為還是應(yīng)該講一些極限，但講多少合適，這依然是一個值得進一步探討和研究的問題。

（責(zé)任編輯 劉 馨）

中圖分類號：G633.62 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）14-0041-02

高中實行新課程改革后，教科書在框架結(jié)構(gòu)和具體內(nèi)容等方面變化都很大。湖北省也于2008年秋加入到了普通高中新課程改革的行列；無論是先進的教育理念，還是優(yōu)秀的教材，最終都要落實到課堂上，體現(xiàn)在課堂教學(xué)方法和教師教學(xué)行為上，新課程的實施需要課堂教學(xué)有一個質(zhì)的變化。而如何落實，如何正確地理解新課程的思想理念成為廣大一線高中數(shù)學(xué)教師普遍存在的問題。微積分作為高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接內(nèi)容，兩版教科書在內(nèi)容的呈現(xiàn)方面有哪些變化？對學(xué)生的學(xué)習(xí)主要有哪些影響？有哪些改進與不足？這些問題的研究對加速數(shù)學(xué)課程改革進程，推動教科書建設(shè)，提升學(xué)生的綜合素質(zhì)，全面提高教育教學(xué)質(zhì)量都具有重要的意義。

課標(biāo)版教科書關(guān)注學(xué)生發(fā)展、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和應(yīng)用意識的改革是其最大的亮點，但是在教學(xué)過程中也發(fā)現(xiàn)了個別值得商榷的地方，值得進一步研究。

一、對函數(shù)極值理解的處理是否可以將兩版教材結(jié)合起來，采用課標(biāo)版的探究，采用大綱版的表述

大綱版教科書是這樣定義的：

一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）f（x0），我們就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極小值，記作y極小值=f（x0）；極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。

課標(biāo)版是這樣來敘述的：如圖，以a，b兩點為例，我們可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y=f（x）在點x=a的函數(shù)值f（a）比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小，f '（a）=0；而且在點x=a附近的左側(cè)f '（x）<0，右側(cè)f '（x）>0。類似地，函數(shù)y=f（x）在x=b的函數(shù)值f（b）比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，f '（b）=0；而且在點x=b附近的左側(cè)f '（x）>0，右側(cè)f '（x）<0。我們把點a叫做函數(shù)y=f（x）的極小值點，f（a）叫做函數(shù)y=f（x）的極小值；點b叫做函數(shù)y=f（x）的極大值點，f（b）叫做函數(shù)y=f（x）的極大值。極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。

大綱版教科書雖然也進行了探究但過程比較粗糙，學(xué)生感觸不深，理解起來仍然比較模糊，但對極值定義的表述比較嚴(yán)密；課標(biāo)版教材探究比較細膩，并且對圖像的局部特征還做了“特寫”，學(xué)生理解起來更直觀，但如此敘述極值定義會使學(xué)生錯誤的理解為取得極值處的導(dǎo)數(shù)一定為0。雖然對于課標(biāo)版的教科書中所涉及的函數(shù)來講，沒有歧義，但這樣定義是不嚴(yán)密的。比如y=|x-a|這樣的函數(shù)，它們在x=a處也有極值，但在x=a處導(dǎo)數(shù)不存在，不符合課標(biāo)版的定義，所以這樣來定義極值欠妥。是否能將二者有選擇性的有機結(jié)合起來，從而既達到容易直觀感知又不會使學(xué)生產(chǎn)生歧義呢？

二、理解導(dǎo)數(shù)到底要不要講極限？講多少合適？

在微分學(xué)中，導(dǎo)數(shù)概念的建立最為關(guān)鍵。從微分學(xué)發(fā)展的歷史可以知道，極限概念是導(dǎo)數(shù)概念的核心基礎(chǔ)，沒有了極限過程也就沒有了導(dǎo)數(shù)，極限是導(dǎo)數(shù)不可回避的概念。肖柏榮老師曾經(jīng)于1982年在其文章《中學(xué)數(shù)學(xué)中極限、導(dǎo)數(shù)和微積分教學(xué)初議》中認(rèn)為“極限是數(shù)學(xué)中的一個極其重要的概念?！薄拔⒎e分中的許多重要概念，如函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、定積分以及無窮級數(shù)等實際上都是特定形式的極限?！薄扒髮?dǎo)法則和積分法則也都是以極限運算為基礎(chǔ)的。”因此，從科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊饬x上說，不教極限是沒法教導(dǎo)數(shù)的。

近年來不少專家學(xué)者通過大量實證研究對無極限的中學(xué)微積分課程在一些地區(qū)的實施情況做了調(diào)研。其中宋寶和、房元霞老師于2004年發(fā)表在數(shù)學(xué)教育學(xué)報上的文章《逾越形式化極限概念的微積分課程》表明學(xué)生和教師對導(dǎo)數(shù)設(shè)計的變化有明顯的反應(yīng)，課堂氣氛活躍，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性高，學(xué)生稱贊導(dǎo)數(shù)應(yīng)用性廣泛；但是教師表現(xiàn)出較大的不適應(yīng)。宋寶和、房元霞、郭兆明老師于2006年發(fā)表在《課程·教材·教法》上的文章《變化率思想：高中開設(shè)微積分課程的價值》中認(rèn)為：課標(biāo)教科書中無極限微積分的課程設(shè)計有利于促進學(xué)生自主探究、反思，關(guān)注學(xué)生對導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解和對微積分思想方法的掌握；宋寶和、房元霞、連茂廷老師最近發(fā)表在《數(shù)學(xué)通報》上的文章《高中生對導(dǎo)數(shù)概念理解情況的調(diào)查研究——兼與大學(xué)生的比較》認(rèn)為：學(xué)過無極限微積分的高中生對導(dǎo)數(shù)概念本質(zhì)的語言表述比兩階段都學(xué)過極限和導(dǎo)數(shù)的大學(xué)生好，將運動和變化問題化歸為導(dǎo)數(shù)來解決的能力要比大學(xué)生強，但是高中生對導(dǎo)數(shù)概念形象化理解僅停留在瞬時速度、瞬時變化率、切線斜率三個實例上。

我所在的中學(xué)大部分教師都是帶過多屆大綱版教材的教師，我們一直認(rèn)為：無極限的導(dǎo)數(shù)學(xué)生學(xué)完后僅僅停留在感知這一階段，學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的理解是模糊的、機械的，比如很多學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中都追問教科書只給出了函數(shù)y=x2，y=x-1，y=求導(dǎo)公式的推證過程，怎么樣才能導(dǎo)出函數(shù)y=xn的求導(dǎo)公式呢？諸多像這樣過去可以借用極限來理解和解釋的問題現(xiàn)在都不能實現(xiàn)。那么究竟在這里如何處理好呢？我們認(rèn)為還是應(yīng)該講一些極限，但講多少合適，這依然是一個值得進一步探討和研究的問題。

（責(zé)任編輯 劉 馨）

中圖分類號：G633.62 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）14-0041-02

高中實行新課程改革后，教科書在框架結(jié)構(gòu)和具體內(nèi)容等方面變化都很大。湖北省也于2008年秋加入到了普通高中新課程改革的行列；無論是先進的教育理念，還是優(yōu)秀的教材，最終都要落實到課堂上，體現(xiàn)在課堂教學(xué)方法和教師教學(xué)行為上，新課程的實施需要課堂教學(xué)有一個質(zhì)的變化。而如何落實，如何正確地理解新課程的思想理念成為廣大一線高中數(shù)學(xué)教師普遍存在的問題。微積分作為高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接內(nèi)容，兩版教科書在內(nèi)容的呈現(xiàn)方面有哪些變化？對學(xué)生的學(xué)習(xí)主要有哪些影響？有哪些改進與不足？這些問題的研究對加速數(shù)學(xué)課程改革進程，推動教科書建設(shè)，提升學(xué)生的綜合素質(zhì)，全面提高教育教學(xué)質(zhì)量都具有重要的意義。

課標(biāo)版教科書關(guān)注學(xué)生發(fā)展、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和應(yīng)用意識的改革是其最大的亮點，但是在教學(xué)過程中也發(fā)現(xiàn)了個別值得商榷的地方，值得進一步研究。

一、對函數(shù)極值理解的處理是否可以將兩版教材結(jié)合起來，采用課標(biāo)版的探究，采用大綱版的表述

大綱版教科書是這樣定義的：

一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）f（x0），我們就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極小值，記作y極小值=f（x0）；極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。

課標(biāo)版是這樣來敘述的：如圖，以a，b兩點為例，我們可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y=f（x）在點x=a的函數(shù)值f（a）比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小，f '（a）=0；而且在點x=a附近的左側(cè)f '（x）<0，右側(cè)f '（x）>0。類似地，函數(shù)y=f（x）在x=b的函數(shù)值f（b）比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，f '（b）=0；而且在點x=b附近的左側(cè)f '（x）>0，右側(cè)f '（x）<0。我們把點a叫做函數(shù)y=f（x）的極小值點，f（a）叫做函數(shù)y=f（x）的極小值；點b叫做函數(shù)y=f（x）的極大值點，f（b）叫做函數(shù)y=f（x）的極大值。極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。

大綱版教科書雖然也進行了探究但過程比較粗糙，學(xué)生感觸不深，理解起來仍然比較模糊，但對極值定義的表述比較嚴(yán)密；課標(biāo)版教材探究比較細膩，并且對圖像的局部特征還做了“特寫”，學(xué)生理解起來更直觀，但如此敘述極值定義會使學(xué)生錯誤的理解為取得極值處的導(dǎo)數(shù)一定為0。雖然對于課標(biāo)版的教科書中所涉及的函數(shù)來講，沒有歧義，但這樣定義是不嚴(yán)密的。比如y=|x-a|這樣的函數(shù)，它們在x=a處也有極值，但在x=a處導(dǎo)數(shù)不存在，不符合課標(biāo)版的定義，所以這樣來定義極值欠妥。是否能將二者有選擇性的有機結(jié)合起來，從而既達到容易直觀感知又不會使學(xué)生產(chǎn)生歧義呢？

二、理解導(dǎo)數(shù)到底要不要講極限？講多少合適？

在微分學(xué)中，導(dǎo)數(shù)概念的建立最為關(guān)鍵。從微分學(xué)發(fā)展的歷史可以知道，極限概念是導(dǎo)數(shù)概念的核心基礎(chǔ)，沒有了極限過程也就沒有了導(dǎo)數(shù)，極限是導(dǎo)數(shù)不可回避的概念。肖柏榮老師曾經(jīng)于1982年在其文章《中學(xué)數(shù)學(xué)中極限、導(dǎo)數(shù)和微積分教學(xué)初議》中認(rèn)為“極限是數(shù)學(xué)中的一個極其重要的概念。”“微積分中的許多重要概念，如函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、定積分以及無窮級數(shù)等實際上都是特定形式的極限?！薄扒髮?dǎo)法則和積分法則也都是以極限運算為基礎(chǔ)的?！币虼耍瑥目茖W(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊饬x上說，不教極限是沒法教導(dǎo)數(shù)的。

近年來不少專家學(xué)者通過大量實證研究對無極限的中學(xué)微積分課程在一些地區(qū)的實施情況做了調(diào)研。其中宋寶和、房元霞老師于2004年發(fā)表在數(shù)學(xué)教育學(xué)報上的文章《逾越形式化極限概念的微積分課程》表明學(xué)生和教師對導(dǎo)數(shù)設(shè)計的變化有明顯的反應(yīng)，課堂氣氛活躍，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性高，學(xué)生稱贊導(dǎo)數(shù)應(yīng)用性廣泛；但是教師表現(xiàn)出較大的不適應(yīng)。宋寶和、房元霞、郭兆明老師于2006年發(fā)表在《課程·教材·教法》上的文章《變化率思想：高中開設(shè)微積分課程的價值》中認(rèn)為：課標(biāo)教科書中無極限微積分的課程設(shè)計有利于促進學(xué)生自主探究、反思，關(guān)注學(xué)生對導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解和對微積分思想方法的掌握；宋寶和、房元霞、連茂廷老師最近發(fā)表在《數(shù)學(xué)通報》上的文章《高中生對導(dǎo)數(shù)概念理解情況的調(diào)查研究——兼與大學(xué)生的比較》認(rèn)為：學(xué)過無極限微積分的高中生對導(dǎo)數(shù)概念本質(zhì)的語言表述比兩階段都學(xué)過極限和導(dǎo)數(shù)的大學(xué)生好，將運動和變化問題化歸為導(dǎo)數(shù)來解決的能力要比大學(xué)生強，但是高中生對導(dǎo)數(shù)概念形象化理解僅停留在瞬時速度、瞬時變化率、切線斜率三個實例上。

我所在的中學(xué)大部分教師都是帶過多屆大綱版教材的教師，我們一直認(rèn)為：無極限的導(dǎo)數(shù)學(xué)生學(xué)完后僅僅停留在感知這一階段，學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的理解是模糊的、機械的，比如很多學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中都追問教科書只給出了函數(shù)y=x2，y=x-1，y=求導(dǎo)公式的推證過程，怎么樣才能導(dǎo)出函數(shù)y=xn的求導(dǎo)公式呢？諸多像這樣過去可以借用極限來理解和解釋的問題現(xiàn)在都不能實現(xiàn)。那么究竟在這里如何處理好呢？我們認(rèn)為還是應(yīng)該講一些極限，但講多少合適，這依然是一個值得進一步探討和研究的問題。

（責(zé)任編輯 劉 馨）