一類p-Laplacian橢圓拋物型偏微分方程解的唯一性

袁海君

( 山東商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,山東 濟(jì)南 250103 )

一類p-Laplacian橢圓拋物型偏微分方程解的唯一性

袁海君

( 山東商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,山東 濟(jì)南 250103 )

主要利用了凸集的有序性，證明了一類p-Laplacian橢圓拋物型偏微分方程即：ρt(u)-▽·(|▽u|p-2▽u)=f(t,x)的解的唯一性，其定義在區(qū)域(0,T)×Ω，其中Ω是RN的一個有界區(qū)域(N≥1)，邊界?Ω是C2光滑的p≥2，ρ(u(0,x))=ρ0。

p-Laplacian；凸集； 有序性； 唯一性

1 引言

目前，物理學(xué)、生物化學(xué)、醫(yī)學(xué)、控制論等學(xué)科的實(shí)際問題均可以通過偏微分方程來解決。人們對其的研究日漸深入，并取得了很多重要的成果，使得這方面的理論日趨完善。

本文研究一類具有初邊值問題的橢圓拋物型偏微分方

ρt(u)-▽·(|▽u|p-2▽u)=f(t,x)

(*)

其中，(t,x)∈(0,T)×Ω且ρ(u(0,x))=ρ0

其中Ω是RN的一個有界區(qū)域(N≥1)，ρ:R→R是有界的非減的Lipschitz連續(xù)的函數(shù)，其中Lipschitz常數(shù)Cp>0。

近年來具有上述初值的橢圓拋物型方程解的問題受到越來越多的關(guān)注，在工程力學(xué)方面應(yīng)用性越來越廣泛。文獻(xiàn)[1]已經(jīng)證明了該方程解的存在性。接下來利用解的有序性來證明該方程解的唯一性。

2 幾個引理

首先結(jié)合文獻(xiàn)[2]做如下假設(shè)

為了去陳述下面的定理，接下來定義在凸集間的有序關(guān)系。

下面的引理主要是和解的有序性有關(guān)，而解的有序性又是由給定的數(shù)ρ0，f和K1(t)來決定的。

證明： 首先，觀察下面的兩個等式

將(2.1)和(2.2)相加，得下面(2.3)成立：

進(jìn)行討論：由a(x,▽(u))=|▽u|p-2▽u，有

由a(s)=|s|p-2s有a′(s)=(p-1)|s|p-2≥0。因而a(s)是單調(diào)遞增的，即下面(2.4)和(2.5)成立：

(a(s1)-a(s2))·(s1-s2)≥0.

因此，通過(2.3)結(jié)合文獻(xiàn)[3]有

因此將(2.3)式和(2.4)式結(jié)合，對幾乎處處的t∈[0,T]和任意的ε>0

3 結(jié)論

定理(解的唯一性)某一確定的f∈W1,2(0,T;H)和ρ，且對某個u0∈K1(t)有ρ0=ρ(u0)，那么問題(P;ρ0,f,K1(t))的解是唯一的。

[1]袁海君, 一類p-Laplacian橢圓拋物型偏微分方程解的存在性[J],湖南工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)2013,(4)18-21.

[2]M. Kubo and N.Yamazaki. Elliptic-Parabolic Variational Inequalities With Time dependent Constants[J].Discrete and continous dynamical systems.Vol.19, Number.2. 2007, pp.335-359

[3]N. Kenmochi and I. Pawlow.Parabolic-elliptic free boundary problems with time-dependent obstacles[J].Japan J.Appl.Math.,5(1988),87-121

(責(zé)任編輯：孫強(qiáng))

The Uniqueness of Solution to a cClass of P - Laplacian Elliptic- Parabolic Equation

YUAN Hai-jun

( Shandong Institute of Commerce and Technology, Jinan, Shandong 250103, China )

Using the order of the convex, this thesis investigates the uniqueness of solution to a class of p-Laplacian elliptic-parabolic equation ρt(u)-▽·(|▽u|p-2▽u)=f(t,x) in(0,T)×Ω,whereΩ?RNwih ?Ω of C2class,p≥2,ρ(u(0,x))=ρ0.

p-Laplacian；convex；order； uniqueness

2014-08-10

袁海君(1986-)，女，湖南邵陽人，人文學(xué)院助教，研究方向?yàn)槠⒎址匠痰膽?yīng)用與數(shù)學(xué)建模。

O172

A

1671-4385(2014)05-0124-03