向量函數(shù)的不變偽線性及其應(yīng)用*

楊 杰， 黃龍光

(集美大學(xué) 理學(xué)院，福建 廈門(mén) 361021)

偽線性在最優(yōu)化理論中有著重要作用，近年來(lái)，Lalitha[1]將偽線性概念推廣到不可微函數(shù)，并給出這些函數(shù)的若干性質(zhì).Ansari[2]引入了非空凸集中的η-偽線性，但這些函數(shù)是不可微的，由此引發(fā)了將η-偽線性延伸到凸集和不可微函數(shù)中的想法；最近Ansari[3]又引入不變h-偽線性，研究了不可微且不變的偽線性函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)0表示Rn中的零向量，稱映射f=(f1，f2，…，fm)：Rn→Rm是正齊次的當(dāng)且僅當(dāng)x∈Rn，r>0，有f(rx)=rf(x)；次奇的當(dāng)且僅當(dāng)x∈Rn{0}，f(x)=-f(-x).

定義1 映射f：Rn→Rm，

(a) 點(diǎn)x∈Rn沿著d∈Rn方向的Dini上方向?qū)?shù)定義為fD(x，d)=(fD1，fD2，…，fDm)，其中

(b) 點(diǎn)x∈Rn沿著d∈Rn方向的Dini下方向?qū)?shù)定義為fD(x；d)=(f1D，f2D，…，fmD)，其中

對(duì)?d∈Rn有

fD(x；d)=-fD(x；-d)；fD(x；d)=-fD(x；-d)

(1)

由定義1可知，?d∈Rn有

fD(x；d)≥fD(x；d)

(2)

由式(1)(2)，對(duì)?x，d∈Rn有

fD(x；d)≥fD(x；d)=-fD(x；-d)

(3)

即fD(x；d)是次奇的.易知對(duì)每個(gè)確定的x∈Rn，fD(x；d)和fD(x；d)是正齊次的.

下面的條件C在研究偽線性中有重要作用.

條件C設(shè)K?Rn關(guān)于η是內(nèi)凸的[3]，對(duì)?x，y∈K，t∈[0，1]，有

(a) η(x，x+t(η(y，x)))=-tη(y，x)；

(b) η(y，x+t(η(y，x)))=(1-t)η(y，x).

顯然，映射η(y，x)=y-x滿足條件C.若η滿足條件C，那么

η(x+t(η(y，x))，x)=tη(y，x)，t∈[0，1]

(4)

定義2 設(shè)K?Rn關(guān)于η是內(nèi)凸的，且η滿足條件C，f：K→Rm是η擬凸的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?x，y∈K，t∈[0，1]有

f(x+tη(y，x))≤max{f(x)，f(y)}

定義3 設(shè)K?Rn關(guān)于η是內(nèi)凸的，h：K×Rn→Rm，稱映射f：K→Rm，

(a) 關(guān)于η是h-偽內(nèi)凸的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?x，y∈K，x≠y，有

等價(jià)地

(b) 關(guān)于η是h-偽內(nèi)凹的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?x，y∈K，x≠y，有

等價(jià)地

(c) 關(guān)于η是不變h-偽線性的當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于η既是h-偽內(nèi)凸的又是h-偽內(nèi)凹的[3].

以下總設(shè)η滿足條件C，K?Rn關(guān)于η是內(nèi)凸的， f：K→Rm，h：K×Rn→Rm.

2 向量不變偽線性函數(shù)的若干性質(zhì)

定理1 設(shè)對(duì)每個(gè)固定的x∈K，h(x；·)是線性的， f關(guān)于η是不變h-偽線性的且使得

fD(x；·)≤h(x；·)≤fD(x；·)

(5)

成立.那么對(duì)于任意x，y∈K，h(x；η(y，x))=0當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=f(y).

(6)

(7)

由式(6)(7)知h(x；η(y，x))=0，即f(x)=f(y).

充分性.對(duì)?t∈(0，1)，

f(x+tη(y，x))=f(x)

(8)

由f關(guān)于η是h-偽內(nèi)凹的可知

(9)

根據(jù)條件C，

(10)

定理2 設(shè)對(duì)固定的x∈K，h(x；·)是線性的且f滿足式(5)，那么f關(guān)于η是不變h-偽線性的當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)實(shí)值函數(shù)p：K×K→R，使得對(duì)所有的x，y∈K，p(x，y)>0且

f(y)=f(x)+p(x，y)h(x；η(y，x))

(11)

證明充分性.設(shè)f關(guān)于η是不變h-偽線性的，構(gòu)造函數(shù)p：K×K→R，使p(x，y)>0(?x，y∈K)，且

(12)

3 向量不變偽線性函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題

考慮下列優(yōu)化問(wèn)題

其中K?Rn關(guān)于η是內(nèi)凸的，并設(shè)(OP)的解集S=argminx∈Kf(x)是非空的.

(13)

參考文獻(xiàn)：

[1] LALITHA C S， METHA M. A Note on Pseudolinearity in Terms of Bifunctions [J]. Asia-Pac Oper Res， 2007(24)：1-9

[2] ANSARI Q H， SCHAIBLE S， Yao J C. Y-pseudolinearity [J]. Riv Math Sci Econ Soc， 1999(22)：31-39

[3] ANSARI Q H， REZAEI M. Invariant Pseudolinearity with Applications [J]. Optim Theory Appl， 2012(153)：587-601

[4] 胡毓達(dá). 多目標(biāo)規(guī)劃有效性理論 [M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1994