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    兩食餌-兩捕食者捕食-食餌系統(tǒng)的持久性與全局漸近穩(wěn)定性*

    2014-08-08 06:09:08張友梅
    關(guān)鍵詞:食餌有界捕食者

    王 銳, 王 奇, 張友梅

    (1.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,合肥 230601;2.合肥職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽 巢湖 238000)

    0 引 言

    在多種群生物系統(tǒng)中,多個(gè)種群是否能夠保持持續(xù)生存是一個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題,很多學(xué)者通過(guò)建立微分方程的模型,對(duì)多種群生物動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行了系統(tǒng)的研究.常見(jiàn)生物種群可以分為捕食-食餌關(guān)系、競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系、互惠互利關(guān)系等.此處討論一類(lèi)兩食餌-兩捕食者捕食-食餌系統(tǒng):

    (1)

    其中,xi(t)和yi(t),i=1,2分別代表t時(shí)刻食餌和捕食者的種群密度;函數(shù)ai(t),bi(t),ci(t),di(t),hi(t),gi(t),ki(t),pi(t),qi(t),ri(t),i=1,2均為t∈[0,+∞)上的連續(xù)有界正函數(shù).

    1 預(yù)備知識(shí)

    xi(t0)>0,yi(t0)>0,i=1,2,t0≥0

    (2)

    則稱(chēng)系統(tǒng)(1)是全局漸近穩(wěn)定的.

    證明系統(tǒng)(1)等價(jià)于

    引理3 系統(tǒng)(1)滿足初值條件(2)的解(x1(t),x2(t),y1(t),y2(t)),若滿足條件

    (3)

    則有

    是系統(tǒng)(1)的最終有界集.

    那么,由引理1得到

    1) 若x1(t0)≤N1,則對(duì)t≥t0,有x1(t)≤N1.

    2) 若x1(t0)>N1,則存在τ>0,當(dāng)t∈[t0,t0+τ]時(shí)有x1(t)>N1,由已知條件知

    故存在T1≥t0≥0,當(dāng)t≥T1時(shí),有x1(t)≤N1.

    類(lèi)似的討論可以得到

    由系統(tǒng)(1)的第3個(gè)方程知

    那么,由引理2得到

    類(lèi)似前面的討論,若y1(t0)≤M1,則對(duì)t≥t0,有y1(t)≤M1;否則,存在T2≥t0≥0,當(dāng)t≥T2時(shí),有y1(t)≤M1.

    同理,可以得到

    以及y2(t)≤M2.于是,存在T≥0,當(dāng)t≥T時(shí),有0

    2 主要結(jié)果

    定理1 設(shè)條件(3)成立,若存在常數(shù)n1,n2,m1,m2,滿足

    (4)

    證明由引理3知,存在T≥0,當(dāng)t≥T時(shí),集合Ω0是系統(tǒng)(1)的最終有界集.

    于是,由系統(tǒng)(1)的第1個(gè)方程知

    1) 若x1(t0)≥n1,則對(duì)t≥t0,有x1(t)≥n1.

    2) 若x1(t0)0,當(dāng)t∈[t0,t0+τ]時(shí)有x1(t)

    故存在T3≥t0≥0,當(dāng)t≥T3時(shí),有x1(t)≥n1.

    類(lèi)似討論得到

    以及x2(t)≥n2.

    由系統(tǒng)(1)的第3個(gè)方程知

    仿照前面的討論,若y1(t0)≥m1,則對(duì)t≥t0,有y1(t)≥m1;否則,存在T4≥t0≥0,當(dāng)t≥T4時(shí),有y1(t)≥m1.類(lèi)似以上討論得到

    以及y2(t)≥m2.

    綜合以上討論,在式(3)(4)之下,存在T>0,當(dāng)t>t0+T時(shí),恒有(x1(t),x2(t),y1(t),y2(t))∈Ω,因此,Ω是系統(tǒng)(1)的正不變集和最終有界集,故系統(tǒng)(1)是一致持久的.

    定理2 設(shè)式(3)(4)成立,若

    (5)

    計(jì)算V(t)沿著系統(tǒng)(1)的解的右上導(dǎo)數(shù),有

    由條件(5)知,存在常數(shù)ε>0,使得

    (6)

    其中,

    將式(6)兩邊從t0+T到t積分,有

    那么就得到

    因此

    由系統(tǒng)(1)解的一致性及其導(dǎo)數(shù)的有界性可知,在[t0+T,+∞)上,有

    是一致連續(xù)的,由Barbalat引理[10]知

    參考文獻(xiàn):

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