王 銳, 王 奇, 張友梅
(1.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,合肥 230601;2.合肥職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽 巢湖 238000)
在多種群生物系統(tǒng)中,多個(gè)種群是否能夠保持持續(xù)生存是一個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題,很多學(xué)者通過(guò)建立微分方程的模型,對(duì)多種群生物動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行了系統(tǒng)的研究.常見(jiàn)生物種群可以分為捕食-食餌關(guān)系、競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系、互惠互利關(guān)系等.此處討論一類(lèi)兩食餌-兩捕食者捕食-食餌系統(tǒng):
(1)
其中,xi(t)和yi(t),i=1,2分別代表t時(shí)刻食餌和捕食者的種群密度;函數(shù)ai(t),bi(t),ci(t),di(t),hi(t),gi(t),ki(t),pi(t),qi(t),ri(t),i=1,2均為t∈[0,+∞)上的連續(xù)有界正函數(shù).
xi(t0)>0,yi(t0)>0,i=1,2,t0≥0
(2)
則稱(chēng)系統(tǒng)(1)是全局漸近穩(wěn)定的.
證明系統(tǒng)(1)等價(jià)于
引理3 系統(tǒng)(1)滿足初值條件(2)的解(x1(t),x2(t),y1(t),y2(t)),若滿足條件
(3)
則有
是系統(tǒng)(1)的最終有界集.
那么,由引理1得到
1) 若x1(t0)≤N1,則對(duì)t≥t0,有x1(t)≤N1.
2) 若x1(t0)>N1,則存在τ>0,當(dāng)t∈[t0,t0+τ]時(shí)有x1(t)>N1,由已知條件知
故存在T1≥t0≥0,當(dāng)t≥T1時(shí),有x1(t)≤N1.
類(lèi)似的討論可以得到
由系統(tǒng)(1)的第3個(gè)方程知
那么,由引理2得到
類(lèi)似前面的討論,若y1(t0)≤M1,則對(duì)t≥t0,有y1(t)≤M1;否則,存在T2≥t0≥0,當(dāng)t≥T2時(shí),有y1(t)≤M1.
同理,可以得到
以及y2(t)≤M2.于是,存在T≥0,當(dāng)t≥T時(shí),有0 定理1 設(shè)條件(3)成立,若存在常數(shù)n1,n2,m1,m2,滿足 (4) 則 證明由引理3知,存在T≥0,當(dāng)t≥T時(shí),集合Ω0是系統(tǒng)(1)的最終有界集. 于是,由系統(tǒng)(1)的第1個(gè)方程知 1) 若x1(t0)≥n1,則對(duì)t≥t0,有x1(t)≥n1. 2) 若x1(t0) 故存在T3≥t0≥0,當(dāng)t≥T3時(shí),有x1(t)≥n1. 類(lèi)似討論得到 以及x2(t)≥n2. 由系統(tǒng)(1)的第3個(gè)方程知 仿照前面的討論,若y1(t0)≥m1,則對(duì)t≥t0,有y1(t)≥m1;否則,存在T4≥t0≥0,當(dāng)t≥T4時(shí),有y1(t)≥m1.類(lèi)似以上討論得到 以及y2(t)≥m2. 綜合以上討論,在式(3)(4)之下,存在T>0,當(dāng)t>t0+T時(shí),恒有(x1(t),x2(t),y1(t),y2(t))∈Ω,因此,Ω是系統(tǒng)(1)的正不變集和最終有界集,故系統(tǒng)(1)是一致持久的. 定理2 設(shè)式(3)(4)成立,若 (5) 計(jì)算V(t)沿著系統(tǒng)(1)的解的右上導(dǎo)數(shù),有 由條件(5)知,存在常數(shù)ε>0,使得 (6) 其中, 將式(6)兩邊從t0+T到t積分,有 那么就得到 因此 由系統(tǒng)(1)解的一致性及其導(dǎo)數(shù)的有界性可知,在[t0+T,+∞)上,有 是一致連續(xù)的,由Barbalat引理[10]知 參考文獻(xiàn): [1] ZHANG Y J,LIU B,CHEN L S. Extinction and Permanence of a Two-prey One-predator System with Impulsive Effect [J]. IMA Journal of Mathematical Medicine and Biology,2003(20):309-325 [2] LIU B,TENG Z D,CHEN L S. Analysis of a Prey-predator Model with HollingⅡ Functional Response Concerning Impulsive Control Strategy[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics,2006,193(1):347-362 [3] ZHANG S W,CHEN L S. A Study of Prey-predator Models with The Beddington-DeAnglis Functional Response and Impulsive Effect [J]. Chaos,Solitons&Fractals,2006,27(1):237-248 [4] BEAK H K. Qualitative Analysis of Beddington-DeAnglis Type Impulsive Prey-predator Models [J]. Nonlinear Analysis:RWA,2010,11(3):1312-1322 [5] SONG X Y,LI Y F. Dynamic Complexities of a Holling Ⅱ Two-prey One-predatorsystem with Impulsive Effect [J]. Chaos,Solitons & Fractals,2007,33(2):463-47 [6] 倪春青,胡志興.一類(lèi)具有常數(shù)收獲率的具有功能性反應(yīng)捕食模型的定性分析[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,27(3):235-239 [7] GEORGESCU P,MOROSANU G. Impulsive Perturbations of a Three-trophic Prey-dependent Food Chain System[J]. Mathematical and Computer Modelling,2008,48(7-8):975-997 [8] 宋新宇,郭紅建,師向云.脈沖微分方程理論及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2011 [9] SHEN C. Permanence and Global Attractivity of The Food-chin System with Ho-lling Ⅳ Type Functional Response [J]. Appl Math Comput,2007(194):179-785 [10] BARBALAT I. Systems D’equations Differentielle D’oscillations Nonlineai-res [J]. Rev Roumaine Math Pures Appl,1975(4):267-2702 主要結(jié)果