“變”中找“定”
——淺析平面向量幾何法

● (云和中學(xué) 浙江云和 323600)

物質(zhì)世界中的萬事萬物都處在相互作用的普遍聯(lián)系之中，都處在不斷產(chǎn)生、不斷消亡的運(yùn)動、變化和發(fā)展的永恒過程之中，運(yùn)動是永恒的、靜止是相對的，運(yùn)動和靜止之間存在普遍的聯(lián)系.在數(shù)學(xué)中也是如此，我們經(jīng)常會遇到一些變化和運(yùn)動的問題，而合理的分析和利用變化中的不變性，讓“變”與“定”有機(jī)地結(jié)合起來，對于解決問題往往能起到一針見血的作用.下面結(jié)合平面向量幾何法的教學(xué)實(shí)踐淺析“變”與“定”之間的對立統(tǒng)一關(guān)系.

平面向量豐富了高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，同時作為工具性知識，可以與很多知識聯(lián)系.平面向量具有雙“二維”性，即本身有方向、大小，運(yùn)算有代數(shù)、幾何，大大地提高了學(xué)生學(xué)習(xí)這塊知識的能力要求.在高考中大多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，題目靈活、多變，部分題目以能力立意命題，要求學(xué)生有一定的數(shù)形結(jié)合思想和能力.教師在平面向量的課堂教學(xué)和復(fù)習(xí)中經(jīng)常會用到向量的幾何法，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，但學(xué)生對于數(shù)形結(jié)合能力的掌握卻不一定到位，“光有思想沒有能力”是很多學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量時的困惑.

在平面向量的幾何法中，緊扣向量運(yùn)動變化中的定性，結(jié)合定值，合理作圖，可以使很多抽象的問題變得直觀、具體，易于切中要害，立竿見影.平面向量的幾何運(yùn)算中往往涉及長度、夾角、和、差、數(shù)量積、投影等概念和知識點(diǎn)，如能把握上述量中的不變量，就可以輕松地在變化和運(yùn)動中求解一類定值和最值問題.

1 向量的長度為定值問題

在平面向量的教學(xué)中，有這樣的問題：把平面內(nèi)所有的單位向量移到同一起點(diǎn)，則終點(diǎn)構(gòu)成什么樣的圖形？答案是單位圓.這類問題中向量的方向任意變化，而長度為定值，可以結(jié)合到定點(diǎn)的距離等于定值的點(diǎn)的軌跡為圓，數(shù)形結(jié)合幾何作圖，利用圓的性質(zhì)解決問題.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖1 圖2

2 2個向量的夾角為定值問題

平面向量的方向一般不單獨(dú)考查，但2個或多個平面向量放在一起研究時，由于有了參照物，就可以研究2個向量的夾角問題.當(dāng)2個向量的夾角為定值時，可以結(jié)合同弧(弦)所對的圓周角相等作出點(diǎn)的軌跡，數(shù)形結(jié)合解決問題.

例2(1)已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是______.

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

(2011年全國數(shù)學(xué)高考試題)

故

圖3 圖4

3 平面向量基本定理和三點(diǎn)共線問題

平面內(nèi)任意2個非零不共線向量都可以作為一組基底，平面內(nèi)任意一個向量都可以由這一組基底唯一線性表示，平面向量基本定理中蘊(yùn)含著基底的思想和意識.特別是在一些數(shù)量積運(yùn)算中，把已知信息最多的2個向量作為一組基底，先將要進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算的2個向量轉(zhuǎn)換成用基底線性表示，再用基底線性表示結(jié)果來進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，可以起到以不變應(yīng)萬變的效果.平面向量基本定理的一種特殊情況，當(dāng)向量的起點(diǎn)相同，基底線性表示的系數(shù)和為1時，就有了3個向量的終點(diǎn)在同一直線上的三點(diǎn)共線問題.這類問題要求對線性表示的系數(shù)有敏銳的觀察力和簡單的處理技巧，只要方法到位，就可以將代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)換成幾何運(yùn)算，減少不必要的化簡過程，較好地從幾何角度理解和詮釋問題的背景.

圖5 圖6

4 向量數(shù)量積問題中投影為定值問題

向量的數(shù)量積運(yùn)算包括幾何法和坐標(biāo)法，在幾何法中，a·b=|a||b|cos，可以看出運(yùn)算中需要知道2個向量的模和2個向量的夾角等基本量，但如果?；驃A角不定時，就很難利用公式來解決問題了.在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,我們往往會忽略數(shù)量積的幾何意義，|b|cos的幾何意義為向量b在向量a方向上的投影，因此|a||b|cos的幾何意義便是向量a的模與向量b在向量a方向上投影的乘積.在部分模和夾角都是變量的問題中若能合理地運(yùn)用數(shù)量積的幾何意義，則能使運(yùn)動問題變得直觀、具體.

圖7 圖8

例4(1)已知a是平面內(nèi)的單位向量，=，求a·b的值.

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考調(diào)研試題)

因此

5 數(shù)量積運(yùn)算中2個向量的和或差為定值問題

極化恒等式是泛函分析中的知識，它表示內(nèi)積可以由它誘導(dǎo)出的范數(shù)來表示.極化恒等式在高中平面向量中的簡化應(yīng)用為恒等式

而這個公式可以更加形象地記憶為“積化和差”公式.在平面向量求數(shù)量積的問題中，若2個向量都是變量，而2個向量的和或差為定值，可以利用“積化和差”公式減少變量個數(shù)或轉(zhuǎn)化成為研究定值問題.

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖9 圖10

( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

“變”與“定”是對立的，“變”與“定”又是統(tǒng)一的.合理地處理好“變”與“定”之間對立統(tǒng)一的關(guān)系，能更深刻地理解數(shù)學(xué)，更科學(xué)地看待變化，更清晰地認(rèn)識世界.