平面向量：數(shù)的外表、形的內(nèi)涵

● (柯橋中學(xué) 浙江紹興 312030)

平面向量是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，具有代數(shù)與幾何的特征，能做到數(shù)、形間的相互轉(zhuǎn)換.鑒于其幾何背景明顯，內(nèi)涵深刻，能較好地考查學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性，因此自進(jìn)入高中數(shù)學(xué)教材以來(lái)，平面向量受到各級(jí)各類考試命題專家的青睞，是競(jìng)賽中的熱點(diǎn)問(wèn)題之一,且?？汲Ｐ?本文試圖對(duì)平面向量的性質(zhì)及應(yīng)用作一個(gè)較全面的概括，現(xiàn)分述如下：

1 平面向量的概念及重要結(jié)論

(2)平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)2個(gè)不共線的向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有1對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2.平面向量坐標(biāo)表示的理論基礎(chǔ)是平面向量基本定理.

(3)平面向量的數(shù)量積：如果2個(gè)非零向量a，b，它們的夾角為θ(0≤θ≤π)，我們把數(shù)量|a|·|b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作：a·b，即a·b=|a|·|b|cosθ.

重要結(jié)論(1)a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的模|a|與b在a上的投影的積.b在a上的投影為|b|cosθ，它是一個(gè)實(shí)數(shù).

已知O是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的3個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

其中λ∈(0,+∞)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡通過(guò)△ABC的重心.

已知O是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的3個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

其中λ∈(0,+∞),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡通過(guò)△ABC的外心.

2 平面向量的應(yīng)用

2.1 利用基本概念解決向量問(wèn)題

(2006年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江省預(yù)賽試題)

圖1

2 利用基本結(jié)論解決向量問(wèn)題

圖2 圖3

記線段AB,AC的中點(diǎn)為M,N，因?yàn)镺為△ABC的外心，則

(2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試試題)

解如圖3,取線段BC的中點(diǎn)，記作M,則由極化恒等式得

3 利用構(gòu)造圖形解決向量問(wèn)題

(2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

圖4

因此

S△ABC∶S△AOC=3∶1.

4 利用坐標(biāo)解決向量問(wèn)題

圖5

解建立如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)|OA|=x，|OB|=y，|OC|=z,∠AOC=α,∠AOB=β,∠BOC=γ,則α+β+γ=2π,從而

因?yàn)棣?β+γ=2π，所以sinγ=-sin(α+β)，則

cosαsinγ+sinαcos(α+β)+sinβ= cosα[-sin(α+β)]+sinαcos(α+β)+sinβ=

sin[α-(α+β)]+sinβ=0，

得m=0,又

sinαsinγ+sinαsin(α+β)=sinα[sinγ+sin(α+β)]=0，

5 構(gòu)造向量解決其他問(wèn)題

圖6

|a·b|≤|a||b|,