數(shù)學應用的“結構不良”問題的教學對策

冒建生

【摘 要】數(shù)學應用問題可分成“結構良好”問題和“結構不良”問題。目前，中學教學應用題不夠重視“結構不良”問題，導致學生出現(xiàn)解決問題的能力生長不平衡、能力增長缺乏后勁等問題。因此，應當合理利用課程資源，依托媒體技術，帶領學生走向現(xiàn)實生活，提升學生的建模能力。

【關鍵詞】結構不良數(shù)學應用數(shù)學建模實際問題

所謂“結構不良”問題，一般是指構成問題的目標、條件和解決問題的方法三者存在某種不確定性，因而也常常沒有唯一、標準的答案，并且問題的解決要與多個知識領域相聯(lián)系。數(shù)學“結構不良”問題比開放性問題的范疇更大、更廣。在數(shù)學實際問題中，“結構不良”問題是大量存在的，主要包含三種情形：一是概念的復雜性，知識應用到具體的實踐中會包含許多概念，且概念間會發(fā)生復雜的相互聯(lián)系；二是實例的差異性，在同類各個具體實例的應用中，所涉及的概念及相互作用的模式也有很大的差別；三是信息的不完整性，具體情境缺乏足夠的資源，材料不全或參數(shù)不完整，解決問題相應的知識準備不充分，等等。它是以具有開放性、實踐性和探究性為特征的。解決“結構不良”問題需要解決者確立問題的條件和目標，獲取對問題解決有價值的信息，激活、完善解決問題所需要的知識、技能、方法和策略。

一、數(shù)學實際應用問題教學存在的弊端

1.應用問題教學脫離實際。

人們將應用題大致分成四個層次：（1）直接套用現(xiàn)成公式計算；（2）利用現(xiàn)成的數(shù)學模型對應用題進行定量的計算；（3）對于已經(jīng)加工提煉的、忽略了次要因素、保留下來的諸因素關系比較清楚的實際問題，建立數(shù)學模型；（4）對原始的數(shù)學問題進行加工分析，提煉出數(shù)學模型。近些年來，數(shù)學實際應用問題的教學得到一些提倡和重視，但是，我們應該看到，實際教學中的應用題并非實際問題，而是實際問題抽象化的一個文本形式。經(jīng)典題目往往文本簡約，對事物細節(jié)舍棄較多，由于抽象程度較高，文本逐漸遠離實際背景而趨近數(shù)學模型。學生接觸的所謂應用題中絕大多數(shù)是第（1）（2）個層次的問題，就是說我國中學數(shù)學實際問題的教學只是“結構良好”問題的訓練，實際問題的“數(shù)學化”過程被忽略了。

2.知識與建模能力生長不平衡。

由于受到閱卷“易于操作”的要求限制，高考中沒有將“結構不良”問題列為考查內容，因此，“結構不良”問題在教學中備受冷落，課本上“實習作業(yè)”形同虛設。數(shù)學課程標準要求：“高中階段至少應為學生安排一次建?；顒?，還應將課內與課外學習有機結合起來，把數(shù)學建?；顒优c綜合實踐活動有機結合起來?！?這些理念和要求仍只是紙上談兵。學生面臨實際問題情境時的表現(xiàn)讓人失望，學生解決實際問題的能力發(fā)展停滯不前，知識與能力的增長極不平衡。

【案例】（2012年，南通市高考模擬卷）將52名志愿者分成A、B兩組參加義務植樹活動，A組種植150捆白楊樹苗，B組種植200捆沙棘樹苗。假定A、B兩組同時開始植樹。（1）根據(jù)歷年統(tǒng)計，每名志愿者種植一捆白楊用時24分鐘，種植一捆沙棘用時30分鐘，應如何分配A、B兩組的人數(shù)，使植樹活動持續(xù)的時間最短？（8分）（2）在按（1）分配的人數(shù)種植1小時后發(fā)現(xiàn)，每名志愿者種植一捆白楊仍用時24分鐘，而每名志愿者種植一捆沙棘實際用時40分鐘，于是，從A組抽調6名志愿者加入B組繼續(xù)種植，求植樹活動持續(xù)的時間。（6分）

本題屬于中檔題，但由于學生不接觸生產(chǎn)實際，沒有參加植樹勞動的經(jīng)歷和體驗，約有35%的學生對兩組同時進行的“植樹活動持續(xù)時間”誤讀為“A、B兩組植樹時間的總和”，建?！白咤e了路”，導致在錯誤的道路上越走越遠。另外，學生平時接觸較多的是較低層次的應用題，在不斷套用現(xiàn)成的數(shù)學模型的訓練中養(yǎng)成了識別模型的習慣，對于學生解決實際問題的能力沒有實質性的訓練，這也是學生通過三年高中數(shù)學學習，建模能力卻沒有多大長進的原因。

3.學生能力增長缺乏后勁。

我國現(xiàn)行教育制度下，學生只能在封閉的教學環(huán)境中應付各種無休止的解題訓練、考試。所謂實際應用題只是為了應對考試而設立的，它們都是經(jīng)過人為加工的、“結構良好”的問題，與原始的、“結構不良”的復雜問題相去甚遠。面對真實情景的問題，將實際問題簡單化、理想化，是對實際問題進行“數(shù)學化”的重要方法，是數(shù)學建模的十分重要的步驟，但中學應用題的教學正是把這個“頭”給掐了。由于學校教育很少給學生提供分析和解決“結構不良”問題的機會，學生走出學校大門后，面對真實世界中大量的“結構不良”問題時，往往感到束手無策，不能對問題進行很好的翻譯、梳理、估算，對問題目標、現(xiàn)有狀態(tài)與目標狀態(tài)之間出現(xiàn)的差異、變化無法找尋到可靠的操作路徑，這樣的教學也就談不上什么培養(yǎng)學生的“能力后勁”了。

人們常常抱怨學生的“高分低能”，這說明考試分數(shù)在一定程度上可以反映學生對書本知識的掌握情況，但往往不能反映學生的綜合素質和實際能力。社會要求的人才不是會考試的人才，而是會解決實際問題、會做事的人才。誠如斯滕伯格研究發(fā)現(xiàn)的：“傳統(tǒng)上，以智商為基礎的學業(yè)智力，通常是通過解決結構良好問題的能力來測量的，而現(xiàn)實世界的成功智力是以解決結構不良問題的能力來衡量的?！?/p>

二、提高學生解決“結構不良”問題的策略

1.建立保障機制，讓教師帶領學生走向現(xiàn)實生活。

荷蘭數(shù)學家、教育家弗賴登塔爾在《作為教育任務的數(shù)學》中給出了“數(shù)學化”原則：“現(xiàn)實世界自始至終貫穿在數(shù)學化之中，從現(xiàn)實世界形成數(shù)學概念，進一步抽象化、形式化，又應用于現(xiàn)實世界中，通過現(xiàn)實世界的調節(jié)再次數(shù)學化，兩者交融在一起。”因此，首先教師要鼓勵、引導學生經(jīng)常接觸社會，讓學生到社會各領域、各階層中去，了解現(xiàn)實生產(chǎn)和實際情況，采集各個方面的信息、數(shù)據(jù)，在教師的指導下有目的地開展一些社會實踐調查活動，結合所學知識對一些問題進行數(shù)學的思考，嘗試“數(shù)學化”處理。例如水電費、通訊費等函數(shù)問題，交通路徑、彩票抽獎等概率統(tǒng)計問題，貸款、細胞分裂、退耕還林等數(shù)列問題，以及利潤最大、用料最省、效益最高等最優(yōu)化問題都可以作為學生開展實踐活動和數(shù)學建模的選擇對象、內容。這種社會文化模式下的數(shù)學教學，尋求的主要目標在于使數(shù)學成為解決問題過程中強有力的工具，給予學習者充分的數(shù)學實踐和能力發(fā)展的空間。

另外，把教學定位從升學考試轉為學生的發(fā)展，讓學生有機會走向社會開展數(shù)學建?；顒?，還需要全社會的廣泛支持。教育主管部門應該建立對教育教學的多元評價方法體系以及相關的規(guī)章，以保證數(shù)學建模活動的順利開展，從制度上保證學校能夠正常開展建?；顒?，教師才可能不把“分數(shù)”視為命根子，放開手腳，讓學生走向社會生活，走進數(shù)學應用問題的“結構不良”領域。這樣，數(shù)學應用能力的培養(yǎng)才可能落到實處，數(shù)學教育也才能跳出應試教育的怪圈。

2.實施教師培訓，提高教師指導學生建模的能力。

由于各種原因，數(shù)學教師自身十分缺乏社會各個領域的相關基本知識。盡管教師在純數(shù)學基礎知識方面表現(xiàn)出一定的優(yōu)勢，但是他們數(shù)學應用意識不強，知識、能力結構不夠合理，在指導學生走向社會生活，解決數(shù)學“結構不良”問題的時候，無論是數(shù)學建模還是信息技術的應用，都表現(xiàn)出一定的局限性甚至低能或無能。另一方面，現(xiàn)代的學生信息來源廣泛，接觸面較寬，更有部分學生想象力豐富，他們面對數(shù)學“結構不良”問題提出的設想可能超出教師的想象和指導能力的范圍，若經(jīng)常面臨這樣的窘境，教師怎么可能順利地指導學生進行數(shù)學建模呢？所以，實施教師培訓工程，提高教師的指導能力是必要的。通過學習培訓和專家引領，增強教師的數(shù)學應用意識，使他們認識到輕視數(shù)學應用必將給學生的未來埋下嚴重的隱患；增強教師主動學習社會各領域知識的意識，提高他們自身的數(shù)學建模能力，特別要讓他們熟練掌握信息技術，跟上時代前進的步伐，以適應新時代工作的需要，使他們能從更廣的維度和更深的層面上指導學生解決數(shù)學結構不良領域中的問題。

3.加強建模訓練，提高學生解決實際問題的能力。

在解決實際問題時，建立數(shù)學模型是十分關鍵的一步，同時也是學生頗感困難的一步。建立數(shù)學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題理想化、抽象化為合理數(shù)學結構的過程。首先，要指導學生有目的地進行調查，學會收集、整理數(shù)據(jù)資料，觀察、分析隱藏在其中的數(shù)量特征和內在規(guī)律，抓住主要矛盾，建立起反映實際問題所屬對象的數(shù)量關系。然后，再引導學生通過假設和確定對象的一些基本量，尋找可能對應的數(shù)學模型，要針對所要解決的問題特點，選擇具有關鍵性的主要變量，確定相互關系及其數(shù)學結構；最后，讓學生利用數(shù)學概念、符號表達事物對象，建立起變量之間的明確關系，將實際問題抽象為數(shù)學問題。

數(shù)學建模是一個不斷探索、不斷調整假設和完善結論的過程，更需要學生具有創(chuàng)新精神、合作意識，教師要給予學生獨立思考和獨立探索的機會，鼓勵學生相互協(xié)作、討論、質疑，在解決實際問題的實踐過程中，通過觀察與分析、抽象與概括、類比與歸納等思維形式，逐步提高學生的數(shù)學建模能力。

在建模活動中，教師的主導作用是至關重要的，一方面教師要根據(jù)學生的特長、興趣、愛好，引導學生以適當?shù)慕M合方式參與建?；顒?，明確個體在活動中的角色和任務，精心培育一個個能出色完成建模任務的“學習共同體”。在學生針對某一數(shù)學“結構不良”問題提出各種解決思路與方案后，“學習共同體”要開展交流、討論，相互糾正、補充、完善方案；另一方面，要啟發(fā)學生大膽猜想、小心推理、反復驗證，特別當“學習共同體”遇有困難的時候，教師要能夠給予適當?shù)闹笇?，幫助他們擺脫困境，明確問題癥結所在，提出改進的建議。

4.利用課本資源，讓課內外的學習有機結合起來。

在教學過程中，人們的注意力主要集中在基礎知識識記和解題技能訓練的層面上，而將知識的實際應用置于次要地位，課本提供的應用問題的資源遠遠沒有得到充分開發(fā)和利用。我們既要發(fā)揮課本上原有的與現(xiàn)實相關的信息資源的教學功能，讓學生夯實解決數(shù)學結構良好問題的基礎；同時還要進入下一個層次——將原有的問題變更、拓展、延伸，如實習作業(yè)往往給一個思路，要求自己提出一個問題，設計解決方案，調查收集數(shù)據(jù)，分析解決問題，讓學生多涉足一點數(shù)學應用的“結構不良”問題；既要有概念、定理、公式等理論的學習、驗證，又要有包含實驗和操作技能的演練。充分利用課本資源，讓課內外的學習有機結合起來，才能更加有效地訓練學生解決實際問題的能力。如筆者組織學生開展“洗衣最佳浸泡時間”的研究，在與學生討論了數(shù)學建模方法、材料準備和活動步驟的要素后，學生進入實驗操作及數(shù)據(jù)收集整理階段，把測得的數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計，盡管不同組使用了不同的材料，以及成員在過程控制、pH計操作等方面存在著誤差，他們得出的結論不盡相同（同質同實驗數(shù)據(jù)具有趨同性），但是通過建?；顒?，學習者還是充分感受到數(shù)學知識應用及共同體合作學習的樂趣，加深了對化學原理、數(shù)學建模方法的理解，有效地將課內外的學習結合了起來。

5.利用多媒體技術，讓學習環(huán)境更接近于真實世界。

“結構不良”問題具有復雜性、多面性、綜合性的特點，應用技術手段來尋求問題的解決方案，往往是必須的、有效的、快捷的。比如圖形計算器是一種現(xiàn)代手持技術，它具有數(shù)據(jù)處理功能、繪圖功能和進行一些數(shù)理實驗的功能，利用這些功能學生可以充分地參與探究性活動。教材中也安排了很多的探究案例，如蘇教版必修（第四版）第4冊第42頁的“港口深度的變化與三角函數(shù)”，當學生面臨解不等式sin■x≥0.44-0.12x時，可以使用圖形計算器在同一坐標系中分別畫出y=sin■x函數(shù)和y=0.44-0.12x的圖像，由圖像得到問題的答案。研究表明，當學生在合作分組中使用計算機來解決問題時，技術可以有效地促進學習者思維能力、合作能力的培養(yǎng)和發(fā)展；當學生運用交流工具來演示和共享解決問題的成果時，技術可以養(yǎng)成學習者批判性思維的習慣。即信息技術的合理利用可以為學習者解決實際問題提供強有力的支持，從而調動學生解決問題的積極性，促進學習者數(shù)學思維能力和解決實際問題能力的發(fā)展。特別是利用超文本、超媒體技術可以將真實的問題或事件進行鏈接，使學習環(huán)境更接近于真實世界。■

（作者單位：江蘇省如皋中學）