淺談對稱性在曲線積分計(jì)算中的應(yīng)用

(濟(jì)源職業(yè)技術(shù)學(xué)院 河南 濟(jì)源 459000）

曲線積分是微積分計(jì)算的一個重要分支，一般的曲線積分繁瑣，麻煩，但當(dāng)我們注意到問題的對稱性，在積分計(jì)算中靈活運(yùn)用，可大大簡化計(jì)算，獲得事半功效的成效.所以，很有必要探究對稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用，特別是在曲線積分、曲面積分中的應(yīng)用。接下來本文將從兩類曲線積分入手，綜合闡述對稱性在曲線積分計(jì)算中的應(yīng)用。

1.對弧長的曲線積分

設(shè)有一弧形型構(gòu)件占xOy面上的一段曲線L，設(shè)構(gòu)件的質(zhì)量分布函數(shù)為ρ(x,y)，設(shè)ρ(x,y)定義在L上且在L上連續(xù)，求構(gòu)件的質(zhì)量。則有

定義1設(shè)L為xOy平面上的一條光滑的簡單曲線弧，f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一點(diǎn)列M1，M2，…，Mn-1把L分成n個小弧段 ΔLi=Mi-1Mi的長度為 ΔSi，又(ξi,ηi)是 ΔLi上的任一點(diǎn)，作乘積f(ξi,ηi)ΔSi，記 λ=max{ΔSi}，ΔSi存在，且極限值與 L 的分法及(ξi,ηi)在 ΔLi的取法無關(guān)，那么稱極限值為f(x,y)在L上對弧長的曲線積分，記為：

其中f(x,y)叫做被積函數(shù)，L叫做積分曲線。

注：

（2）將上述定義推廣，可得空間曲線L上的第一型曲線積分：

對弧長曲線積分的存在性：設(shè)f(x,y)在光滑曲線L上連續(xù)，那么(x,y)ds一定存在。

對弧長曲線積分的性質(zhì)：

有了上述對弧長的曲線積分的定義，則上面的問題就能夠用對弧長的曲線積分表示為

2.對坐標(biāo)的曲線積分

定義2設(shè)L=AB是xOy平面上的一條光滑有向曲線弧，P(x,y)、Q(x,y)在 L 上有界，用 L 上的點(diǎn) M0(x0,y0),M1(x1,y1)，…，Mn(xn,yn)， 把 L分成 n 個小有向弧段 ΔLi=Mi-1Mi，設(shè) Δxi=xi-xi-1,Δyi=yi-yi-1又(ξi,ηi)是ΔLi上的任一點(diǎn)，作乘積 P(ξi,ηi)Δxi，(i=1,2,···,n)，并求和存在，且極限值與 L 的分法及(ξi,ηi)在 ΔLi的取法無關(guān)，那么稱極限值為 P(x,y)在 L上對坐標(biāo) x的曲線積分，記為：

同理定義為 Q(x,y)在 L 上對坐標(biāo) y的曲線積分.P(x,y)、Q(x,y)稱為被積函數(shù)，L叫做積分曲線。

上述定義可推廣到空間曲線的情形：

對坐標(biāo)曲線積分的存在性：設(shè)有向曲線L光滑，P(x,y)、Q(x,y)在L上連續(xù)，則一定存在。

對坐標(biāo)曲線積分的性質(zhì)：

3.第一類曲線積分的對稱問題

定義3設(shè)函數(shù)f(x,y)定義在二維光滑曲線上，

（1）如果 f(x,y)滿足關(guān)系式 f(-x,y)=f(x,y)或 f(x,-y)=f(x,y)，那么稱 f(x,y)為關(guān)于x的偶函數(shù)或關(guān)于y的偶函數(shù)。

（2）如果 f(x,y)滿足關(guān)系式 f(-x,y)=-f(x,y)或 f(x,-y)=-f(x,y)，那么稱 f(x,y)為關(guān)于x的奇函數(shù)或關(guān)于y的奇函數(shù)。

定義4設(shè)函數(shù)f(x,y,z)定義在三維光滑曲線上。

（1）如果 f(x,y,z)滿足關(guān)系式 f(-x,y,z)=f(x,y,z)或 f(x,-y,z)=f(x,y,z)或 f(x,y,-z)=f(x,y,z)，那么稱f(x,y,z)為關(guān)于x的或y的或z的偶函數(shù)。

（2）如果 f(x,y,z)滿足關(guān)系式 f(-x,y,z)=-f(x,y,z)或 f(x,-y,z)=-f(x,y,z)或f(x,y,-z)=-f(x,y,z)，那么稱f(x,y,z)為關(guān)于x的或y的或z的奇函數(shù)。

定理1設(shè)函數(shù)f(x,y)定義在二維光滑（或分段光滑）曲線L上，且曲線L關(guān)于 ox（或 oy）對稱，則:

定理2設(shè)函數(shù)f(x,y,z)在三維光滑或（分段光滑）曲線Γ上可積，且曲線Γ對稱于xoy(或yoz或zox)坐標(biāo)面，則:

（1）當(dāng)f(x,y,z)為關(guān)于z(或x或y)的偶函數(shù)時，則有（其中Γ1是Γ位于對稱坐標(biāo)面一側(cè)的部分）。

（2）當(dāng)f(x,y,z)為關(guān)于z(或x或y)奇函數(shù)時，則有

推論 設(shè)函數(shù)f(x,y)定義在二維光滑（或分段光滑）曲線L上，L對稱于ox和oy軸，則:

（2）當(dāng)f(x,y)是關(guān)于x和y中至少某一變量的奇函數(shù)時，有

解因?yàn)榉e分曲線既對稱于ox軸又對稱于oy軸，且被積函數(shù)f(x,y)=是x的奇函數(shù)，故原式

注 此處除運(yùn)用對稱性之外，還涉及到用積分曲線方程化簡被積函數(shù)的技巧。

解 注意到L關(guān)于x,y,z的對稱性，則有:

L關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)xy關(guān)于x為奇函數(shù)。

4.第二類曲線積分的對稱問題

定理3若L為xoy平面上關(guān)于x軸對稱的一條有向光滑曲線弧，其方程是一雙值函數(shù)，設(shè)為y=±y(x),(a≤x≤b).記 L1,L2分別為L位于x軸的上半部分與下半部分，L1,L2在x軸上的投影的方向相反，函數(shù) P(x,y)，Q(x,y)在 L 上連續(xù)，那么:

教材是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)最重要的載體，某種程度上說，教材呈現(xiàn)的方式和內(nèi)容決定了教師怎么教和學(xué)生如何學(xué)，因此通過對不同教材的比較研究，汲取各個教材的長處，對進(jìn)一步深化課程與教學(xué)改革，落實(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)具有重要意義．

解 經(jīng)分析可知，此處的曲線積分合乎定理3，因而有：

定理4設(shè)L為xoy平面上關(guān)于y軸對稱的一條有向光滑曲線弧，奇方程為 y=y(x)，（-a≤x≤a），記 L1，L2分別為 L 處于 y 軸的右半部分與左半部分，L1，L2在 x軸上的投影方向相同，函數(shù) P(x,y)，Q(x,y)在L上連續(xù)，那么:

定理5設(shè)L為xoy平面上關(guān)于原點(diǎn)對稱的一條有向光滑曲線弧，奇方程為y=y(x)，（-a≤x≤a），記 L1為L處于 y軸的右半部分與上半部分，L1，L2在x軸上的投影方向相同，函數(shù)P(x,y)，Q(x,y)在L上連續(xù)，那么:

（1）函數(shù) P(x,y)，Q(x,y)關(guān)于(x,y)的偶函數(shù) P(x,y)=P(-x,y),Q(x,y)=Q(-x,-y),則:

（2）函數(shù) P(x,y)，Q(x,y)關(guān)于(x,y)的奇函數(shù) P(x,y)=-P(-x,-y),Q(x,y)=-Q(-x,-y)則：

（4）當(dāng)Q(x,y)關(guān)于x為奇函數(shù)時，則

定理6設(shè)L為xoy平面上具有輪換對稱性的一條有向光滑曲線弧，奇方程為 y=y(x)，(-a≤x≤a)，函數(shù) P(x,y)，Q(x,y)在 L 上連續(xù)，那么:

定理7設(shè)L為x,y,z上具有輪換對稱性的一條有向光滑曲線弧，函數(shù)P(x,y,z)在L上連續(xù)，那么:

5.結(jié)論

通過以上介紹不難看出利用對稱性計(jì)算曲線積分與曲面積分不僅是可行的，而且有時還可以起到簡化計(jì)算的作用，在學(xué)習(xí)中可以充分利用對稱性計(jì)算曲線積分與曲面積分，提高運(yùn)算速度和效果，給學(xué)習(xí)帶來很多方便.使得曲線積分更為簡便、快捷，同時，也有利于避免因符號處理不當(dāng)而導(dǎo)致的積分錯誤。

【參考文獻(xiàn)】

［1］劉潔，戴長城.對稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用[J].邵陽學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008：23-27.

［2］劉福貴，魯凱生.利用對稱性計(jì)算第二類曲線積分和曲面積分的方法[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2006：1069-1072.