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    一道雙曲線離心率題的四種求法

    2014-07-25 21:04:52陳永利
    成才之路 2014年19期
    關(guān)鍵詞:準(zhǔn)線射影余弦定理

    陳永利

    雙曲線的離心率是綜合性較強(qiáng)的知識點,是雙曲線定義和幾何性質(zhì)綜合應(yīng)用最佳結(jié)合點,是平面幾何中的相似形性質(zhì)、勾股定理、余弦定理的綜合應(yīng)用,是考察學(xué)生觀察、比較、分析、綜合能力最佳結(jié)合點?,F(xiàn)有一道雙曲線離心率題,讓我們一起研究它的求法。

    已知過雙曲線■-■=1(a>0,b>0)的左焦點F1(-C,0) 作圓x2+y2=a2的切線,切點為E,交拋物線y2=4cx于點P,且有 ■=■(■+■),如圖1,求雙曲線的離心率e。

    圖1 圖2 圖3

    圖4 圖5

    分析條件可得:設(shè)右焦點F2(C,0),連接OE和PF2,因為F1 P是⊙O的切線和■=■(■+■),則有OE垂直平分F1P。所以O(shè)E=a,OF1=c. 由雙曲線可知F1P=2b,又因為O是線段F1F2的中點,所以O(shè)E是△F1F2P的中位線,則OE∥F2P. 所以,OE=a,OF1=c,EF1=b ,就有PF1=2b,PF2=2a.

    解法1:幾何法,利用相似三角形求離心率e

    由圖2可知,作拋物線y2=4cx的準(zhǔn)線l∶x=-c,作PM⊥l于M,由拋物線定義可知PM=PF2=2a. ∵ PM∥F1F2,∴∠MPF1=∠PF1F2 ,直角△MPF1∽直角△PF1F2 ,∴■=■,∴ ■=■,∴b2=ac,∴c2-a2=ac,∴e2-e-1=0,∴e=■。

    解法2:利用直角三角形的射影定理求離心率e

    如圖3,作PN⊥F1F2于N,∵∠F1PF2為直角,PM=PF2=2a,∴由射影定理得:F1P2=F1N·F1F2,∴(2b)2=2c·2a,∴ b2=ac,∴c2-a2=ac,∴e2-e-1=0,∴e=■。

    解法3:代數(shù)法求離心率e

    如圖4,由拋物線的準(zhǔn)線方程l∶x=-c,∵PM⊥l,由拋物線的定義知PM=PF2=2a,∴P點橫坐標(biāo)為2a-c,P點縱坐標(biāo)為y=■。在直角△PF1N中,由勾股定理PF12=F1N2+PN2,∴(2b)2=(2a)2+4c(2a-c),整理得b2=a2+2ac-c2, ∴c2-a2=ac,∴e2-e-1=0, ∴e=■。

    解法4:利用直角三角形邊角關(guān)系和余弦定理求解求離

    心率e

    如圖5,在直角△PON中,∵ON=2a-c, OP=OF1=c,cos∠PON=■=■,在△POF2中由余弦定理知cos∠POF2=■=■,∴■=■,整理得 ∴c2-a2=ac,∴e2-e-1=0,∴e=■。

    由此可以看出,求橢圓和雙曲線的離心率,本質(zhì)上就是求a、b、c的齊次關(guān)系式。這種關(guān)系的確定,利用圓錐曲線的定義、準(zhǔn)線、三角形的正余弦定理、 平面幾何有關(guān)相似三角形性質(zhì)、直角三角形射影定理,既考察代數(shù)性質(zhì)又考察幾何性質(zhì)的應(yīng)用,是典型數(shù)形結(jié)合的范例。

    (遼寧省瓦房店市第八高級中學(xué))

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