一道考研題的三種解法及其啟示

竇慧

［摘要］分別運(yùn)用泰勒公式、和差化積、湊無窮小,可以給出一道題目的三種解法，旨在幫助學(xué)生拓展思維，夯實(shí)基礎(chǔ)，重視初等數(shù)學(xué)在研究生入學(xué)考試中的地位和作用，從而培養(yǎng)其解決問題的能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì).

［關(guān)鍵詞］余弦函數(shù)泰勒公式湊無窮小和差化積

［中圖分類號(hào)］O17［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A［文章編號(hào)］2095-3437（2014）11-0091-02等價(jià)在極限理論中舉足輕重,經(jīng)常會(huì)有各種類型的關(guān)于等價(jià)的題目.其中根據(jù)等價(jià)關(guān)系求解參數(shù)就是一種典型出題方式,解題關(guān)鍵還是利用等價(jià)的定義求解極限.2013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三中的第15題就是這一類題目.但是在批閱試卷的過程中,發(fā)現(xiàn)該題得分率極低,究其原因是對(duì)其中的三角函數(shù)之積處理不當(dāng).為此給出三種解法,以供參考.

一、 考研題及其三種解法

2013年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三中的第15題［1］:

已知x→0時(shí)，1-cosx·cos2x·cos3x與axn等價(jià)，求a，n.

解法1（利用余弦函數(shù)的泰勒展開式證明）

x→0時(shí)，1-cosx·cos2x·cos3x與axn等價(jià)，即■■=1.應(yīng)用泰勒公式，有cosx=1-■x2+■x4+?紫（x5）=1-■x2+■x4+?紫（x5），

cos2x=1-■（2x）2+■（2x）4+?紫（x5）

=1-2x2+■x4+?紫（x5），

cos3x=1-■（3x）2+■（3x）4+?紫（x5）

=1-■x2+■x4+?紫（x5），

cosx·cos2x·cos3x=［1-■x2+■x4+?紫（x5）］·［1-2x2+■x4+?紫（x5）］·［1-■x2+■x4+?紫（x5）］，

=1-7x2+?紫（x5）.

因此1-cosx·cos2x·cos3x=7x2+0（x5）,所以可得a=7，n=2.

解法2（利用湊無窮小的方法證明）

1-cosx·cos2x·cos3x＝1-cosx+cosx-cosx·cos2x+cosx·cos2x-cosx·cos2x·cos3x

=（1-cosx）+cosx（1-cos2x）+cosx·cos2x（1-cos3x）,

所以■■

＝■■

=■■+■■+

■cosxcos2x■

=■■+■■+■■

=■■

=1.

因此a=7，n=2.

解法3（利用初等數(shù)學(xué)中的積化和差證明）

由三角函數(shù)的積化和差公式cosα·cosβ=■［cos（α-β）+cos（α+β）］，得

cosx·cos2x·cos3x=■（cosx+cos3x）cos3x

=■（cosx·cos3x+cos23x）

=■（■（cos2x+cos4x）+■（1+cos6x））

=■（1+（cos2x+cos4x+cos6x））.

所以1-cosx·cos2x·cos3x=1-■（1+cos2x+cos4x+cos6x）

=■［（1-cos2x）+（1+cos4x）+（1-cos6x）］.

故■■＝■■■+■■■+■■■

＝■■+■■+■■

=■■=1.

所以a=7，n=2.

二、三種解法的啟示

（一）解法1的啟示

解法1直接利用余弦函數(shù)的泰勒展開式，解題過程簡潔明了,只要熟練掌握余弦函數(shù)的泰勒展開式

cosx=1-■x2+■x4+?紫（x5）=1-■x2+■x4+?紫（x5），

cos2x=1-■（2x2）+■（2x）4+?紫（x5）

=1-2x2+■x4+?紫（x5），

cos3x=1-■（3x）2+■（3x）x4+?紫（x5）

=1-■x2+■x4+?紫（x5），

則該題的難度系數(shù)就大大降低.

但是我們發(fā)現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)中泰勒公式的教學(xué)效果并不好.據(jù)調(diào)查因?yàn)樘├展绞墙虒W(xué)中的難點(diǎn)，公式較大，階數(shù)較高，在教學(xué)過程中許多教師盡量簡化泰勒公式的教學(xué)，或者是僅僅側(cè)重于公式的形成過程，不強(qiáng)調(diào)公式的用途；學(xué)生在處理題目時(shí)也盡量避開泰勒公式.這種教學(xué)方法的結(jié)果就是對(duì)泰勒公式不熟悉，僅僅知道有該公式，但不知道公式是怎樣的，也不知道怎么運(yùn)用泰勒公式。該解法啟示我們要注重基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，教師尤其是不能對(duì)知識(shí)點(diǎn)有好惡之分，任何一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都要做到精講、精解。對(duì)于較難的知識(shí)點(diǎn)，教師更要深入淺出、出神入化的把他轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的形式，譬如可以采用圖表法、探究性學(xué)習(xí)、討論等教學(xué)方法講解新知識(shí)，以降低學(xué)生的恐懼感，增強(qiáng)學(xué)生的求知欲，喚起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)教學(xué)效果，絕對(duì)不能“冷處理”；為了鞏固知識(shí)點(diǎn)，教師還應(yīng)該特別留意相應(yīng)課后題的處理，要不間斷的引導(dǎo)學(xué)生去做各種各樣的練習(xí)題，形成一種處理難點(diǎn)問題的習(xí)慣。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中更要知難而上，不放過任何一個(gè)無論多難的知識(shí)點(diǎn).

（二）解法2的啟示

解法2用了一點(diǎn)技巧——湊無窮小,當(dāng)然緊扣題目特點(diǎn)要湊出1-cosx，1-cos2x，1-cos3x無窮小,然后利用等價(jià)，結(jié)果也比較明顯.

可是這種方法要求較高，要善于觀察并有活躍的思維，這要求我們不僅要注重基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，更要注重解題方法的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)思維的形成，學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要注重善思、善變，一題多解、一題多變和多題一解，從而培養(yǎng)靈動(dòng)的數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)素質(zhì).

無窮小的有關(guān)定義和性質(zhì)是各級(jí)各類高等數(shù)學(xué)考試中出現(xiàn)頻率很高的一個(gè)考點(diǎn)，熟練掌握無窮小有助于處理和解決許多題目。現(xiàn)將有關(guān)知識(shí)點(diǎn)梳理一下：

1.當(dāng)x→0時(shí)sinx，arcsinx，tanx，arctax，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）均為無窮小，而且與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m＞0）等價(jià)（本題用到1-cosx~■，1-cos2x~2x2，1-cos3x~■）；

2.無窮小與有界函數(shù)的乘積還是無窮小；

3.有限個(gè)無窮小的和還是無窮小。

（三）解法3的啟示

解法3運(yùn)用三角函數(shù)的積化和差公式cosα·cosβ=■［cos（α-β）+cos（α+β）］，并結(jié)合三角函數(shù)的等價(jià)，解題過程也不復(fù)雜.

這種解法要求解題人熟練掌握初等數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)的積化和差公式，而日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn)許多大學(xué)一年級(jí)的學(xué)生對(duì)該公式了解但不熟悉，試題解答中運(yùn)用該公式的學(xué)生寥寥無幾.高中階段對(duì)三角函數(shù)要求不高，但是高等數(shù)學(xué)對(duì)三角函數(shù)要求非常高，三角函數(shù)的定義、性質(zhì)、公式、導(dǎo)數(shù)、積分均為高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，這就要求教師要注重高中知識(shí)和大學(xué)知識(shí)的銜接，在教學(xué)過程中指導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)上這一內(nèi)容. 下面給出三角函數(shù)的部分公式：

sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ

sin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβ

cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sinα·sinβ=■［cos（α-β）-cos（α+β）］

cosα·cosβ=■［cos（α+β）+cos（α-β）］

sinα·cosβ=■［sin（α-β）+sin（α+β）］

［參考文獻(xiàn)］

［1］ 張?zhí)斓?，李仁所，李?考研數(shù)學(xué)試題精選精解600題［M］ .濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2013,3.

［責(zé)任編輯：林志恒］