離散Markovian跳變系統(tǒng)模態(tài)依賴非脆弱H∞控制

冉華軍 肖 鵬

（三峽大學(xué) 電氣與新能源學(xué)院，湖北 宜昌 443002）

H∞控制是一種優(yōu)化控制，是以控制系統(tǒng)內(nèi)部某些信號之間傳遞函數(shù)矩陣的H∞范數(shù)作為優(yōu)化性能設(shè)計(jì)指標(biāo)的優(yōu)化控制，反饋控制器不僅要保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，并且還要使得閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)小于某一預(yù)先設(shè)定的正值.Keel等在文獻(xiàn)［1］中根據(jù)實(shí)例指出，傳統(tǒng)的最優(yōu)和魯棒控制器設(shè)計(jì)由于忽略了控制器參數(shù)的微小攝動往往會導(dǎo)致原來穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)失去穩(wěn)定或穩(wěn)定性能下降.Dorato對此進(jìn)行了進(jìn)一步研究，得出控制器的脆弱性問題是關(guān)系到反饋控制系統(tǒng)性能的基本問題的結(jié)論［2］.文獻(xiàn)［3］針對無法獲取跳變參數(shù)的情形，研究了離散Markovian跳變系統(tǒng)模態(tài)不依賴非脆弱H∞控制問題.然而，如果跳變系統(tǒng)的當(dāng)前所處模態(tài)實(shí)時在線可測，則設(shè)計(jì)控制器時可以充分利用系統(tǒng)的模態(tài)跳變信息.本文針對可獲得跳變參數(shù)的情況，研究離散Markovian跳變系統(tǒng)模態(tài)依賴非脆弱H∞反饋控制問題.

1 問題描述

所研究的離散Markovian跳變系統(tǒng)可描述為［3］：

式中，｛rk；k＝0，1，…，∞｝為在有限集合S＝｛1，…，s｝內(nèi)取值的離散平穩(wěn) Markovian鏈，S包含系統(tǒng)（1）的所有可能跳變模態(tài).假設(shè)可直接測量系統(tǒng)狀態(tài)，且實(shí)時可測系統(tǒng)所處模態(tài).對系統(tǒng)（1）設(shè)計(jì)如下模態(tài)依賴反饋控制器：

其中Ki為待定控制器增益.

考慮控制器實(shí)現(xiàn)時或?qū)嶋H運(yùn)行中其增益存在不確定攝動Δi，則實(shí)際控制器為：

將式（3）代入式（1）得到：

假定待設(shè)計(jì)控制器（3）的增益存在乘性范數(shù)有界不確定攝動，即

其中Emi，Hmi為適維實(shí)常矩陣，F(xiàn)mi（k）為時變不確定矩陣并滿足：

其中ρi為已知正標(biāo)量.

將（5）和（6）代入（4），得實(shí)際閉環(huán)系統(tǒng)（7）：

模態(tài)依賴非脆弱狀態(tài)反饋H∞控制問題可歸結(jié)為：給定常數(shù)γ＞0，設(shè)計(jì)模態(tài)依賴非脆弱反饋控制器（3），使得閉環(huán)系統(tǒng)（4）對控制器增益攝動均滿足：外擾wk＝0時，閉環(huán)系統(tǒng)（4）內(nèi)部均方穩(wěn)定；零初態(tài)時，閉環(huán)系統(tǒng)（4）達(dá)到γ水平H∞性能，即：‖zk‖＜γ2·‖wk‖.

2 非脆弱H∞控制器設(shè)計(jì)

由文獻(xiàn)［4］中引理，閉環(huán)系統(tǒng)（7）內(nèi)部隨機(jī)均方穩(wěn)定且具有γ水平H∞性能的充要條件是，存在適維矩陣Pi＞0，i＝1，…，s，使下列矩陣不等式組成立：

由Schur補(bǔ)引理［5］，式（8）等價(jià)于下式：

經(jīng)簡單計(jì)算和整理且令

則式（9）等價(jià)于：

再由Schur補(bǔ)引理，式（11）等價(jià)于：

經(jīng)整理計(jì)算，式（11）等價(jià)于：

進(jìn)一步，用矩陣diag｛，I｝及其轉(zhuǎn)置陣對式（12）進(jìn)行合同變換，式（12）便等價(jià)于

即

：將式（7）代入（14），并令Wi＝X－1i，Yi＝KiWi，得

其中：

容易看出，式（15）等價(jià)于：

進(jìn)一步，式（17）又可等價(jià)于：

再由Schur補(bǔ)引理，式（18）等價(jià)于下式：

根據(jù)矩陣運(yùn)算法則將不確定項(xiàng)拆分，式（19）又可等價(jià)地寫為：

由文獻(xiàn)［6－7］中引理，式（20）等價(jià)于：

由以上分析，可得如下定理：

定理 當(dāng)且僅當(dāng)存在適維矩陣Wi＞0，Yi及正標(biāo)量εi，i＝1，2，…，s，使矩陣不等式組（21）成立時，離散Markovian跳變系統(tǒng)（1）存在模態(tài)依賴非脆弱狀態(tài)反饋H∞控制器（3），使閉環(huán)系統(tǒng)（7）對所有滿足式（5）、（6）的乘性范數(shù)有界不確定容許控制器增益攝動都保持內(nèi)部隨機(jī)均方穩(wěn)定且具有給定的H∞性能γ，控制器參數(shù)為

注釋 基于式（22），令ρ＝γ2，通過建立和求解優(yōu)化問題：

根據(jù)定理1，若該優(yōu)化問題的解存在，則利用最優(yōu)解可得系統(tǒng)（1）的模態(tài)依賴非脆弱最優(yōu)H∞控制器，相應(yīng)的最優(yōu)H∞性能水平為.

3 數(shù)值算例

已知一個具體的三模態(tài)離散Markovian跳變系統(tǒng)：

轉(zhuǎn)移概率矩陣：

根據(jù)定理1、注釋1所描述的方法，在Matlab7.0平臺上基于LMI工具箱編寫針對γ尋優(yōu)的求解程序，運(yùn)行結(jié)果為：γopt1＝1.727 9.

控制器增益為：

按常規(guī)H∞控制理論設(shè)計(jì)控制器時，預(yù)先未考慮控制器可能出現(xiàn)的攝動.為了凸顯本文所提方法的有效性，直接給出按常規(guī)H∞控制理論對本算例的設(shè)計(jì)結(jié)果以方便比較：最優(yōu)H∞性能水平γopt2＝1.719 5；

控制器增益：

若所設(shè)計(jì)控制器增益在實(shí)現(xiàn)時發(fā)生了乘性范數(shù)有界攝動Fm1＝0.031，F(xiàn)m2＝－0.031，F(xiàn)m3＝0.031，容易驗(yàn)證該攝動滿足：

則實(shí)際控制器增益為：

可編寫程序求出實(shí)際控制器使系統(tǒng)所能達(dá)到的最優(yōu)H∞性能水平：γopt3＝1.735 7.

算例結(jié)果表明，γopt3＞γopt2，γopt3＞γopt1，若控制器增益發(fā)生允許范圍內(nèi)的乘性范數(shù)有界攝動，按常規(guī)控制理論設(shè)計(jì)的魯棒控制器使系統(tǒng)所能達(dá)到的實(shí)際最優(yōu)H∞性能水平下降，而按本文設(shè)計(jì)的非脆弱控制器始終能使系統(tǒng)保持在期望的最優(yōu)H∞性能水平.

假定系統(tǒng)初態(tài)x（0）＝［1.3 2 －0.8］，初始模態(tài)r0＝1，w（k）＝0.圖1為仿真時三態(tài)離散 Markovian鏈；圖2為非脆弱控制器沒有發(fā)生攝動時狀態(tài)響應(yīng)曲線；圖3為非脆弱控制器發(fā)生攝動Fm1＝0.03，F(xiàn)m2＝－0.03，F(xiàn)m3＝0.03時的響應(yīng)曲線.

圖1 三態(tài)離散Markovian鏈

圖2和圖3表明，按本文定理1設(shè)計(jì)的控制器在允許范圍內(nèi)其增益無論攝動與否，閉環(huán)系統(tǒng)均穩(wěn)定.多次改變初態(tài)值進(jìn)行仿真，均可得一致結(jié)論.

圖2 控制器增益未攝動時狀態(tài)響應(yīng)

圖3 控制器增益攝動時狀態(tài)響應(yīng)

假定零初始狀態(tài)，初始模態(tài)r0＝1，圖4為系統(tǒng)所受擾動；圖5為三模態(tài)離散Markovian鏈；圖6為控制器增益未攝動時輸出響應(yīng)；圖7為控制器增益發(fā)生攝動Fm1＝0.03，F(xiàn)m2＝－0.03，F(xiàn)m3＝0.03時非脆弱控制輸出響應(yīng).

利用norm指令可求得

多次改變擾動信號進(jìn)行仿真，均可得一致結(jié)果.這表明按本文定理設(shè)計(jì)的非脆弱控制器在允許范圍內(nèi)其增益無論攝動與否，系統(tǒng)H∞性能保持在期望水平.

圖4 擾動信號

圖5 三態(tài)離散Markovian鏈

圖6 控制器增益未攝動時輸出響應(yīng)

圖7 控制器增益攝動時輸出響應(yīng)

4 結(jié) 論

本文考慮控制器增益發(fā)生乘性范數(shù)有界攝動的情形，針對一類跳變參數(shù)可獲取的線性離散 Markovian跳變系統(tǒng)，運(yùn)用LMI方法推導(dǎo)出存在使其隨機(jī)均方穩(wěn)定且具有H∞性能水平γ的非脆弱H∞反饋控制器的充要條件，并給出了確定控制器增益的顯性計(jì)算式；最后將本文的理論方法應(yīng)用于一個具體算例，通過觀測分析仿真得到的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)曲線，并與不考慮控制器增益攝動的常規(guī)H∞反饋控制器設(shè)計(jì)方法的結(jié)果相比較，展示了本文方法的可行性和有效性.

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