零距離對(duì)接,話說導(dǎo)數(shù)考點(diǎn)

曹迎滔

摘 要：導(dǎo)數(shù)是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接點(diǎn)，是對(duì)函數(shù)圖像和性質(zhì)的總結(jié)和拓展，是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及討論函數(shù)圖像變化趨勢(shì)的重要工具，利用導(dǎo)數(shù)可以解決現(xiàn)實(shí)生活中的最優(yōu)化問題。由于其應(yīng)用廣泛性，已成為高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；數(shù)學(xué)

一、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決曲線的切線問題

例1 曲線y=x3-x+3在點(diǎn)（1，3）處的切線方程為_____________。

分析：首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式寫出切線的方程。

解：因?yàn)閥′=3x2-1，令x=1得切線斜率2，所以切線方程為y-3=2（x-1），即2x-y+1=0。

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線問題，關(guān)鍵是正確求出已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。

二、利用定積分求曲邊梯形的面積

例2 設(shè)a＞0，若曲線y=與直線x=a，y=0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a=______。

分析：首先利用定積分的幾何意義求出曲邊梯形的面積，然后利用微積分基本定理求解得出a的值。

解：由已知得s= dx=xa0=a=a2，所以a=，所以a=。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由定積分求解曲線圍成封閉圖形的面積以及利用微積分基本定理進(jìn)行計(jì)算的能力，考查了同學(xué)們用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力

三、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題

例3 函數(shù)y=x2-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為

（）。

A.（-1，1 ］ B.（0，1］ C.［1，+∞） D.（0，+∞）

分析：對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)，首先應(yīng)確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)f′（x），通過判斷函數(shù)定義域內(nèi)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)所劃分的區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號(hào)，來確定函數(shù)

f（x）在該區(qū)間上的單調(diào)性。

解：令y′=x-=≤0，解得-1＜x＜1，又因?yàn)槎x域?yàn)椋?，+∞），所以0＜x＜1，故選B。

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，就是判斷導(dǎo)數(shù)在給定區(qū)間上的符號(hào)問題。若導(dǎo)數(shù)的值為正，原函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的值為負(fù)則是減函數(shù)。

四、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值與最值問題

例4 設(shè)函數(shù)f（x）=xex，則（）。

A.x=1為f（x）的極大值點(diǎn)

B.x=1為f（x）的極小值點(diǎn)

C.x=-1為f（x）的極大值點(diǎn)

D.x=-1為f（x）的極小值點(diǎn)

分析：首先令f′（x）=0得出f（x）的極值點(diǎn)，然后利用極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)的極值。

解：令f′（x）=ex+xex=0，則x=-1，

當(dāng)x＜-1時(shí)f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞-1時(shí)f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增。

所以x=-1為f（x）極小值點(diǎn)，故選D。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查了同學(xué)們的運(yùn)算、分析和解決問題的能力。函數(shù)極值的求解，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)為零解方程并列表格，分析每個(gè)實(shí)根兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)和原函數(shù)的單調(diào)性，可以明確地判斷函數(shù)的極值點(diǎn)，這是通性通法，應(yīng)熟練掌握。

五、求參數(shù)的值或取值范圍

例5 已知函數(shù)f（x）=eax-x，其中a≠0。若對(duì)一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合。

分析：利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的最小值問題，然后通過構(gòu)造函數(shù)g（t）=t-tlnt，利用其最值求a的值。

解：若a＜0，則對(duì)一切x＞0，f（x）=eax-x＜1，

這與題設(shè)矛盾，又a≠0，故a＞0。

而f′（x）=aeax-1，令f′（x）=0，得x= ln。

當(dāng)x＜ln時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞ ln 時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=ln時(shí)，f（x）取最小值f（ln）= -ln。

于是對(duì)一切x∈R，f（x）≥1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)

- ln≥1①

令g（t）=t-tlnt，則g′（t）=-lnt。

當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g′（t）＞0，g（t）單調(diào)遞增；當(dāng)t＞1時(shí)，

g′（t）＜0，g（t）單調(diào)遞減。

故當(dāng)t=1時(shí)，g（t）取最大值g（1）=1。因此，當(dāng)且僅當(dāng)=1即a=1時(shí)，①式成立。

綜上所述，a的取值集合為｛1｝。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立問題，考查了同學(xué)們等價(jià)轉(zhuǎn)化思想以及分析問題、綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力。

六、考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的交匯性

例6 函數(shù)f（x）=2x+x3-2在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）。

A.0B.1C.2D.3

分析：首先利用f（0）·f（1）＜0來判定函數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)是否存在零點(diǎn)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

解：因?yàn)閒（0）=1-2=-1＜0。f（1）=2+1-2=1＞0，所以f（0）·f（1）＜0，所以f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)；

又因?yàn)閒′（x）=2xln2+3x2≥0，所以函數(shù)f（x）=2x+x3-2在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)，選B。

點(diǎn)評(píng)：本題在函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的單調(diào)性的交匯處命題，考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的靈活運(yùn)用的能力。

（作者單位：河南省洛陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)）

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摘 要：導(dǎo)數(shù)是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接點(diǎn)，是對(duì)函數(shù)圖像和性質(zhì)的總結(jié)和拓展，是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及討論函數(shù)圖像變化趨勢(shì)的重要工具，利用導(dǎo)數(shù)可以解決現(xiàn)實(shí)生活中的最優(yōu)化問題。由于其應(yīng)用廣泛性，已成為高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；數(shù)學(xué)

一、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決曲線的切線問題

例1 曲線y=x3-x+3在點(diǎn)（1，3）處的切線方程為_____________。

分析：首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式寫出切線的方程。

解：因?yàn)閥′=3x2-1，令x=1得切線斜率2，所以切線方程為y-3=2（x-1），即2x-y+1=0。

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線問題，關(guān)鍵是正確求出已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。

二、利用定積分求曲邊梯形的面積

例2 設(shè)a＞0，若曲線y=與直線x=a，y=0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a=______。

分析：首先利用定積分的幾何意義求出曲邊梯形的面積，然后利用微積分基本定理求解得出a的值。

解：由已知得s= dx=xa0=a=a2，所以a=，所以a=。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由定積分求解曲線圍成封閉圖形的面積以及利用微積分基本定理進(jìn)行計(jì)算的能力，考查了同學(xué)們用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力

三、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題

例3 函數(shù)y=x2-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為

（）。

A.（-1，1 ］ B.（0，1］ C.［1，+∞） D.（0，+∞）

分析：對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)，首先應(yīng)確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)f′（x），通過判斷函數(shù)定義域內(nèi)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)所劃分的區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號(hào)，來確定函數(shù)

f（x）在該區(qū)間上的單調(diào)性。

解：令y′=x-=≤0，解得-1＜x＜1，又因?yàn)槎x域?yàn)椋?，+∞），所以0＜x＜1，故選B。

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，就是判斷導(dǎo)數(shù)在給定區(qū)間上的符號(hào)問題。若導(dǎo)數(shù)的值為正，原函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的值為負(fù)則是減函數(shù)。

四、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值與最值問題

例4 設(shè)函數(shù)f（x）=xex，則（）。

A.x=1為f（x）的極大值點(diǎn)

B.x=1為f（x）的極小值點(diǎn)

C.x=-1為f（x）的極大值點(diǎn)

D.x=-1為f（x）的極小值點(diǎn)

分析：首先令f′（x）=0得出f（x）的極值點(diǎn)，然后利用極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)的極值。

解：令f′（x）=ex+xex=0，則x=-1，

當(dāng)x＜-1時(shí)f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞-1時(shí)f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增。

所以x=-1為f（x）極小值點(diǎn)，故選D。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查了同學(xué)們的運(yùn)算、分析和解決問題的能力。函數(shù)極值的求解，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)為零解方程并列表格，分析每個(gè)實(shí)根兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)和原函數(shù)的單調(diào)性，可以明確地判斷函數(shù)的極值點(diǎn)，這是通性通法，應(yīng)熟練掌握。

五、求參數(shù)的值或取值范圍

例5 已知函數(shù)f（x）=eax-x，其中a≠0。若對(duì)一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合。

分析：利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的最小值問題，然后通過構(gòu)造函數(shù)g（t）=t-tlnt，利用其最值求a的值。

解：若a＜0，則對(duì)一切x＞0，f（x）=eax-x＜1，

這與題設(shè)矛盾，又a≠0，故a＞0。

而f′（x）=aeax-1，令f′（x）=0，得x= ln。

當(dāng)x＜ln時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞ ln 時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=ln時(shí)，f（x）取最小值f（ln）= -ln。

于是對(duì)一切x∈R，f（x）≥1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)

- ln≥1①

令g（t）=t-tlnt，則g′（t）=-lnt。

當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g′（t）＞0，g（t）單調(diào)遞增；當(dāng)t＞1時(shí)，

g′（t）＜0，g（t）單調(diào)遞減。

故當(dāng)t=1時(shí)，g（t）取最大值g（1）=1。因此，當(dāng)且僅當(dāng)=1即a=1時(shí)，①式成立。

綜上所述，a的取值集合為｛1｝。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立問題，考查了同學(xué)們等價(jià)轉(zhuǎn)化思想以及分析問題、綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力。

六、考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的交匯性

例6 函數(shù)f（x）=2x+x3-2在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）。

A.0B.1C.2D.3

分析：首先利用f（0）·f（1）＜0來判定函數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)是否存在零點(diǎn)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

解：因?yàn)閒（0）=1-2=-1＜0。f（1）=2+1-2=1＞0，所以f（0）·f（1）＜0，所以f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)；

又因?yàn)閒′（x）=2xln2+3x2≥0，所以函數(shù)f（x）=2x+x3-2在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)，選B。

點(diǎn)評(píng)：本題在函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的單調(diào)性的交匯處命題，考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的靈活運(yùn)用的能力。

（作者單位：河南省洛陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)）

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摘 要：導(dǎo)數(shù)是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接點(diǎn)，是對(duì)函數(shù)圖像和性質(zhì)的總結(jié)和拓展，是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及討論函數(shù)圖像變化趨勢(shì)的重要工具，利用導(dǎo)數(shù)可以解決現(xiàn)實(shí)生活中的最優(yōu)化問題。由于其應(yīng)用廣泛性，已成為高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；數(shù)學(xué)

一、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決曲線的切線問題

例1 曲線y=x3-x+3在點(diǎn)（1，3）處的切線方程為_____________。

分析：首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式寫出切線的方程。

解：因?yàn)閥′=3x2-1，令x=1得切線斜率2，所以切線方程為y-3=2（x-1），即2x-y+1=0。

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線問題，關(guān)鍵是正確求出已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。

二、利用定積分求曲邊梯形的面積

例2 設(shè)a＞0，若曲線y=與直線x=a，y=0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a=______。

分析：首先利用定積分的幾何意義求出曲邊梯形的面積，然后利用微積分基本定理求解得出a的值。

解：由已知得s= dx=xa0=a=a2，所以a=，所以a=。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由定積分求解曲線圍成封閉圖形的面積以及利用微積分基本定理進(jìn)行計(jì)算的能力，考查了同學(xué)們用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力

三、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題

例3 函數(shù)y=x2-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為

（）。

A.（-1，1 ］ B.（0，1］ C.［1，+∞） D.（0，+∞）

分析：對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)，首先應(yīng)確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)f′（x），通過判斷函數(shù)定義域內(nèi)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)所劃分的區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號(hào)，來確定函數(shù)

f（x）在該區(qū)間上的單調(diào)性。

解：令y′=x-=≤0，解得-1＜x＜1，又因?yàn)槎x域?yàn)椋?，+∞），所以0＜x＜1，故選B。

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，就是判斷導(dǎo)數(shù)在給定區(qū)間上的符號(hào)問題。若導(dǎo)數(shù)的值為正，原函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的值為負(fù)則是減函數(shù)。

四、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值與最值問題

例4 設(shè)函數(shù)f（x）=xex，則（）。

A.x=1為f（x）的極大值點(diǎn)

B.x=1為f（x）的極小值點(diǎn)

C.x=-1為f（x）的極大值點(diǎn)

D.x=-1為f（x）的極小值點(diǎn)

分析：首先令f′（x）=0得出f（x）的極值點(diǎn)，然后利用極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)的極值。

解：令f′（x）=ex+xex=0，則x=-1，

當(dāng)x＜-1時(shí)f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞-1時(shí)f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增。

所以x=-1為f（x）極小值點(diǎn)，故選D。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查了同學(xué)們的運(yùn)算、分析和解決問題的能力。函數(shù)極值的求解，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)為零解方程并列表格，分析每個(gè)實(shí)根兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)和原函數(shù)的單調(diào)性，可以明確地判斷函數(shù)的極值點(diǎn)，這是通性通法，應(yīng)熟練掌握。

五、求參數(shù)的值或取值范圍

例5 已知函數(shù)f（x）=eax-x，其中a≠0。若對(duì)一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合。

分析：利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的最小值問題，然后通過構(gòu)造函數(shù)g（t）=t-tlnt，利用其最值求a的值。

解：若a＜0，則對(duì)一切x＞0，f（x）=eax-x＜1，

這與題設(shè)矛盾，又a≠0，故a＞0。

而f′（x）=aeax-1，令f′（x）=0，得x= ln。

當(dāng)x＜ln時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞ ln 時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=ln時(shí)，f（x）取最小值f（ln）= -ln。

于是對(duì)一切x∈R，f（x）≥1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)

- ln≥1①

令g（t）=t-tlnt，則g′（t）=-lnt。

當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g′（t）＞0，g（t）單調(diào)遞增；當(dāng)t＞1時(shí)，

g′（t）＜0，g（t）單調(diào)遞減。

故當(dāng)t=1時(shí)，g（t）取最大值g（1）=1。因此，當(dāng)且僅當(dāng)=1即a=1時(shí)，①式成立。

綜上所述，a的取值集合為｛1｝。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立問題，考查了同學(xué)們等價(jià)轉(zhuǎn)化思想以及分析問題、綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力。

六、考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的交匯性

例6 函數(shù)f（x）=2x+x3-2在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）。

A.0B.1C.2D.3

分析：首先利用f（0）·f（1）＜0來判定函數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)是否存在零點(diǎn)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

解：因?yàn)閒（0）=1-2=-1＜0。f（1）=2+1-2=1＞0，所以f（0）·f（1）＜0，所以f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)；

又因?yàn)閒′（x）=2xln2+3x2≥0，所以函數(shù)f（x）=2x+x3-2在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)，選B。

點(diǎn)評(píng)：本題在函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的單調(diào)性的交匯處命題，考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的靈活運(yùn)用的能力。

（作者單位：河南省洛陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)）

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