基于L1范數(shù)變分模型的高密度椒鹽噪聲濾波

王益艷

(四川文理學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院，四川達(dá)州635000)

基于L1范數(shù)變分模型的高密度椒鹽噪聲濾波

王益艷

(四川文理學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院，四川達(dá)州635000)

針對(duì)現(xiàn)有圖像濾波算法在去除高密度椒鹽噪聲方面的不足，提出了一種基于L1范數(shù)變分模型的去噪算法.該算法首先根據(jù)椒鹽噪聲的特點(diǎn)和像素的局部灰度特征分離出噪聲點(diǎn)和信號(hào)點(diǎn)，在濾波過程中，對(duì)信號(hào)點(diǎn)不予處理，而對(duì)噪聲點(diǎn)采用基于L1范數(shù)的變分模型進(jìn)行恢復(fù).由于椒鹽噪聲的灰度值與原始像素?zé)o關(guān)，因此，去噪時(shí)只利用噪聲點(diǎn)鄰域內(nèi)信號(hào)點(diǎn)本身的灰度信息，并將已處理過的噪聲點(diǎn)當(dāng)作新的信號(hào)點(diǎn)，以避免對(duì)下一像素濾波時(shí)的影響.最后通過仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，在高密度噪聲條件下(>50%)，該算法的噪聲去除能力和細(xì)節(jié)保護(hù)能力均可獲得令人滿意的結(jié)果.

圖像去噪；椒鹽噪聲；噪聲檢測；L1范數(shù)；變分模型

0 引言

圖像去噪一直是圖像處理領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究課題，其挑戰(zhàn)在于去除噪聲的同時(shí)要求有效保護(hù)圖像的邊緣細(xì)節(jié).椒鹽噪聲是最常見的一種噪聲，它通常表現(xiàn)為圖像鄰域的灰度極值，且噪聲像素的灰度值與相鄰的未污染像素的灰度值無關(guān).對(duì)椒鹽噪聲的去除常采用中值濾波方法，但傳統(tǒng)中值濾波受濾波窗口的影響，在細(xì)節(jié)保護(hù)與噪聲去除方面無法同時(shí)兼顧，當(dāng)噪聲密度大于50%，噪聲會(huì)濾除不干凈.[1]后來，人們提出了一些新的改進(jìn)算法，如Hwang 等人提出了自適應(yīng)中值濾波器，[2]Wang等人提出了遞歸開關(guān)中值濾波算法，[3]Eng等人提出了自適應(yīng)軟開關(guān)中值濾波算法，[4]國內(nèi)刑藏菊等人提出了基于極值中值的濾波算法.[5]上述方法的主要思想是先通過檢測方法對(duì)噪聲點(diǎn)標(biāo)記，然后只對(duì)標(biāo)記的噪聲點(diǎn)進(jìn)行去噪處理.由于該類方法對(duì)非噪聲點(diǎn)信息予以了保留，其濾波性能得到大大改善.但在高密度(>50%)噪聲情況下，中值濾波算法所依賴的原始信息受到了極大的干擾和破壞，導(dǎo)致濾波后圖像比較模糊.近年來，部分學(xué)者借鑒變分偏微分方法在去噪后對(duì)圖像細(xì)節(jié)保持較好優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，提出了各種針對(duì)椒鹽噪聲的變分正則迭代濾波算法，[6-8]但這些方法在對(duì)代價(jià)函數(shù)最小化的過程中需要求解非線性方程，計(jì)算量通常都比較大，同時(shí)，在去噪時(shí)讓噪聲點(diǎn)參與了濾波，這對(duì)于大量噪聲點(diǎn)匯集在一起的區(qū)域范圍濾除效果不好.[8]基于此，本文提出了一種基于L1范數(shù)變分模型的改進(jìn)算法.首先采用自適應(yīng)中值方法對(duì)噪聲進(jìn)行第一次檢測，確定候選噪聲點(diǎn)，然后再根據(jù)估計(jì)的噪聲大小，看是否需要利用像素的局部鄰域信息對(duì)噪聲點(diǎn)進(jìn)行二次判斷，以提高噪聲檢測精度.在濾波過程中，采用基于L1范數(shù)變分模型對(duì)噪聲點(diǎn)進(jìn)行恢復(fù)，而對(duì)信號(hào)點(diǎn)予以保留.同時(shí)，對(duì)變分模型中的數(shù)據(jù)保真項(xiàng)進(jìn)行了改進(jìn)，去噪時(shí)不再重復(fù)使用噪聲點(diǎn)的灰度信息，并將已處理過的噪聲點(diǎn)當(dāng)作新的信號(hào)點(diǎn)，以避免對(duì)下一像素濾波產(chǎn)生影響.最后通過大量仿真實(shí)驗(yàn)證明了本文算法的有效性，實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果表明，在噪聲密度較高的情況下，其性能指標(biāo)優(yōu)于其它幾種改進(jìn)的中值濾波算法.

1 本文算法

1.1L1范數(shù)變分去噪模型

首先，給出椒鹽噪聲的理論模型，其表達(dá)式如下[1]：

(1)

上式中，xi,j為真實(shí)圖像，yi,j為加噪后的圖像，噪聲密度p∈[0,1].下圖1給出了一幅常值圖像添加噪聲后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，從其直方圖可以明顯看出，椒鹽噪聲表現(xiàn)出灰度極值性.

(a)常值圖像 (b)噪聲圖像 (c)圖(a)的直方圖 (d)圖(b)的直方圖

圖1 對(duì)常值圖像添加椒鹽噪聲(50%)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

近年來，基于變分偏微分方程方法在圖像處理領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.這類方法將去噪問題建模為對(duì)圖像的能量泛函最小化，其表達(dá)式如下：

(2)

(3)

1.2 噪聲檢測

設(shè)矩陣uM1M2表示大小為M1×M2的待檢測的噪聲灰度圖像，用A表示里面全部像素的集合，A={(i,j)|1iM1,1jM2;M1,M2∈Z+}.ΨM1M2為噪聲標(biāo)識(shí)矩陣，其元素用 “1”和“0”表示.

(1)第一次噪聲檢測：

(4)

按下式估計(jì)圖像的噪聲密度τ：

(5)

若τ超過某給定閾值τ0，則將候選噪聲點(diǎn)視為真正噪聲點(diǎn)；否則，對(duì)其進(jìn)行二次檢測.

(2)第二次噪聲檢測

對(duì)所有滿足Ψi,j=1的候選噪聲點(diǎn)，定義窗口w×w內(nèi)所有信號(hào)點(diǎn)的均值為：

(6)

其中，W表示窗口w×w內(nèi)所有信號(hào)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，u(i+r,j+r)表示窗口內(nèi)的信號(hào)點(diǎn).

(7)

本文對(duì)T采用窗口w×w內(nèi)所有信號(hào)點(diǎn)的均方差進(jìn)行定義：

(8)

1.3 噪聲恢復(fù)

噪聲檢測結(jié)束后，設(shè)噪聲點(diǎn)集合滿足如下定義：

(9)

未受污染的信號(hào)點(diǎn)像素集合為N0=AN.對(duì)信號(hào)點(diǎn)保留灰度值不變，而對(duì)噪聲點(diǎn)則采用式(3)的L1范數(shù)變分模型進(jìn)行恢復(fù).根據(jù)椒鹽噪聲的特點(diǎn)可知，[1]噪聲點(diǎn)的灰度值與相鄰的未污染像素的灰度值無關(guān)，為避免噪聲點(diǎn)對(duì)恢復(fù)結(jié)果的影響，本文對(duì)式(3)中的數(shù)據(jù)保真項(xiàng)作如下改進(jìn)：

(10)

上式中，λ0滿足：

(11)

對(duì)式(10)根據(jù)梯度下降原理和時(shí)間步進(jìn)法進(jìn)行數(shù)值化，其迭代形式為：

(12)

其中η為圖像的梯度方向，ξ為與η垂直的切線方向，uξξ和uηη分別表示u在ξ和η方向上的二階導(dǎo)數(shù)，δt為時(shí)間步長.由于在實(shí)際計(jì)算過程中，我們只需要對(duì)N中的像素點(diǎn)進(jìn)行操作，所以，式(12)可簡化為：

(13)

(14)

采取鏡像對(duì)稱的方法對(duì)邊界像素點(diǎn)進(jìn)行擴(kuò)展處理.具體實(shí)現(xiàn)過程如下：u0,j=u1,j，uK+1,j=uK,j，ui,0=ui,1，ui,L+1=ui,L.

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

(15)

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，我們進(jìn)行了大量仿真實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)參數(shù)ζ取10-6，噪聲閾值τ0取0.4，時(shí)間步長δt取0.02，提升參數(shù)ε取0.001.對(duì)測試圖像“peppers”添加密度大小為70%的椒鹽噪聲，分別采用傳統(tǒng)中值濾波(TM)、AM[2]、PSM[3]、SM[4]、EM[5]和本文算法對(duì)其進(jìn)行處理，以峰值信噪比(PSNR)作為濾波性能的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示.圖3為不同噪聲條件下，各種濾波算法恢復(fù)的peppers圖像的PSNR值對(duì)比結(jié)果.

(a)原始圖像 (b)噪聲圖像 (c)TM算法 (d)AM算法[2]

(e)PSM算法[3](f)SM算法[4](g) EM算法[5](h)本文算法

圖2 在高密度噪聲(70%)條件下，各濾波算法恢復(fù)的peppers圖像效果比較

圖3 不同噪聲條件下，各濾波算法恢復(fù)的peppers圖像的PSNR值對(duì)比結(jié)果

從上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，本文算法不論濾波視覺效果還是評(píng)價(jià)指標(biāo)參數(shù)都明顯優(yōu)于其它幾種濾波算法.在圖像被高密度噪聲污染的情況下，該方法都能有效濾除噪聲，并較好保護(hù)圖像的細(xì)節(jié)，而其它幾種算法濾除噪聲不徹底.并且本文算法對(duì)應(yīng)的PSNR值在不同噪聲密度的情況下變化比較平穩(wěn)，因此，與其它算法相比，本文算法還具有對(duì)噪聲的魯棒性更強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn).

3 結(jié)束語

本文借鑒變分方法的思想，提出了一種針對(duì)椒鹽噪聲的L1范數(shù)變分濾波算法.該算法通過研究椒鹽噪聲的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種二次噪聲檢測方法，以提高噪聲檢測的準(zhǔn)確度.在噪聲恢復(fù)過程中，充分考慮了圖像整體和局部信息，對(duì)噪聲點(diǎn)采用了基于邊緣保持和正則化的L1范數(shù)變分方法進(jìn)行處理，而對(duì)信號(hào)點(diǎn)則保留其灰度值不變.同時(shí)去噪時(shí)只利用噪聲點(diǎn)鄰域內(nèi)信號(hào)點(diǎn)本身的灰度信息，并將已處理過的噪聲點(diǎn)當(dāng)作新的信號(hào)點(diǎn)，以避免對(duì)下一像素濾波產(chǎn)生影響；另一方面通過采用變分方法，在有效濾除噪聲的同時(shí)能更好的保護(hù)圖像細(xì)節(jié).實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在高密度噪聲條件下(>50%)，該算法的噪聲去除和細(xì)節(jié)保護(hù)能力均可獲得令人滿意的結(jié)果.與傳統(tǒng)中值濾波及其它改進(jìn)中值濾波算法相比，無論是主觀視覺效果還是峰值信噪比方面，該算法都明顯更優(yōu).

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[責(zé)任編輯 鄧 杰]

Image Filtering Algorithm for High Density Salt-and-Pepper Noise Based on L1 Norm Variational Model

WANG Yi-yan

(Physics and Electronic Engineering Department of Sichuan University of Arts and Science, Dazhou Sichuan 635000, China)

The major drawback of recent image filtering algorithms is lack of the ability of removing high density salt-and-pepper noise. To alleviate this limitation, a new denoising algorithm based on L1 norm variational model was proposed. Firstly, according to the characteristics of salt-and-pepper noise and local grayscale feature of pixels, this algorithm separates noise points and signal points. The signal points were not treated during the filtering process, while the noise points were recovered by theL1 norm variational model. We do not use the grayscale information of noise point itself to remove noise because the gray value of salt-and-pepper noise is not related to the original pixel. Meanwhile by transforming the noise points into signal points we could avoid the noise spreading in the neighborhood. The experimental results show that the proposed algorithm has the ability of removing noises and preserving the partial details of images in comparison with some recent methods when the noise density is very high (>50%).

image denoising; salt-and-pepper noise; noise detection; L1 norm; variational model

2013-11-13

王益艷(1982—)，男，湖北咸寧人.講師，碩士，主要從事信號(hào)與圖像處理研究.

O59

A

1674-5248(2014)02-0046-04