非線性分數(shù)階微分方程邊值問題正解的存在唯一性

古傳運，胡 攀

(四川文理學院數(shù)學與財經(jīng)學院，四川達州635000)

非線性分數(shù)階微分方程邊值問題正解的存在唯一性

古傳運，胡 攀

(四川文理學院數(shù)學與財經(jīng)學院，四川達州635000)

利用帶有擾動的混合單調(diào)算子不動點定理,研究了非線性分數(shù)階微分方程邊值問題正解的存在唯一性. 主要結(jié)論不僅保證了正解的存在唯一性, 而且能夠構(gòu)造一迭代序列去逼近此解.

分數(shù)階微分方程; 邊值問題; 正解; 存在唯一性;混合單調(diào)算子;不動點定理

0 引言

分數(shù)階微分方程廣泛應用于現(xiàn)實生活的諸多領(lǐng)域,例如物理, 力學,化學,工程, 生物科學和經(jīng)濟學等.[1-5]近年來,眾多專家學者利用Leray-Schauder理論和錐上的不動點定理等理論,深入研究了帶有各種邊值問題的非線性分數(shù)階微分方程正解的存在性和多重性,并取得了重要的研究成果.[6-10]

文獻[11]利用錐上的不動點定理研究了非線性分數(shù)階微分方程邊值問題:

(*)

本文主要的工作是改進和推廣文獻[11]的主要結(jié)論. 利用新的帶有擾動的混合單調(diào)算子不動點定理,得到了問題(*) 正解的存在唯一性.同時, 能夠構(gòu)造一迭代序列去逼近此唯一解.

1 預備知識

定義 1.1[3]對于定義在[0,)上的函數(shù)f(x),表達式

稱為標準的α>0階Riemann-Liouville分數(shù)階積分,等式的右端在[0,)有定義,其中Γ(α)表示Gamma函數(shù).

定義 1.2[3]對于定義在[0,)上的函數(shù)f(x),表達式

稱為標準的α>0階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù),等式的右端在[0,)有定義,其中n=[α]+1,[α]表示數(shù)α的整數(shù)部分.

引理1.1[11]給定y∈C[0,1]且1<α≤2.分數(shù)階微分方程

(1.1)

的唯一解是

其中

G(t,s)=

(1.2)

這里稱G(t,s)是分數(shù)階微分方程邊值問題(1.1)的Green函數(shù).

引理1.2[7]引理1.1中的Green 函數(shù)G(t,s)具有如下性質(zhì):

(1)G(t,s)在[0,1]×[0,1]上是連續(xù)函數(shù)且G(t,s)≥0,?(t,s)∈[0,1]×[0,1];

(1.3)

接下來,我們再給出一些下文所要用到的序Banach空間中的一些基本概念和不動點定理,詳細討論可見[12]及其參考文獻.

假設(E,||·||)是實Banach 空間,P為E中的非空閉凸子集,θ為E中的零元素.如果P滿足

(i)x∈P,λ≥0?λx∈P;

( ii)x∈P,-x∈P?x=θ,

則稱P為E中的一個錐.由P引出E中的半序關(guān)系如下:x,y∈E,x≤y當且僅當y-x∈P.若x≤y且x≠y, 則記作x

記P0={x∈P|x為P的內(nèi)點}, 如果P0非空,則稱錐P為體錐. 若存在常數(shù)N>0,使得對任意x,y∈E,θ≤x≤y,都有||x||≤N||y||,則稱錐P是正規(guī)的, 其中N叫做錐P的正規(guī)常數(shù).易知,對任意正規(guī)錐,正規(guī)常數(shù)N≥1.若x≤y,就有Ax≤Ay,則稱一個算子A:E→E是遞增的.

任意x,y∈E,若存在λ>0和μ>0,使得λx≤y≤μx,則稱x～y.顯然 ～ 是一個等價關(guān)系. 給定w>θ(即w≥θ且w≠θ), 記Pw={x∈E|x～w},易知當?w∈P,有Pw?P且當w∈P0時,Pw=P0.

定義 1.3[12]A:P×P→P稱為混合單調(diào)算子,如果A(x,y)關(guān)于x是單調(diào)遞增的和關(guān)于y是單調(diào)遞減的,即ui,vi(i=1,2)∈P,u1≤u2,v1≥v2有A(u1,v1)≤A(u2,v2).如果A(x,x)=x,稱x∈P是A的不動點.

定義 1.4[12]設β是一個實數(shù)且0≤β<1.A:P→P稱為β-凹算子,如果A滿足

A(tx)≥tβA(x),?t∈(0,1),x∈P.

(1.4)

引理 1.3[12]設w>θ,β∈(0,1).A:P×P→P是一個混合單調(diào)算子且滿足

A(tx,t-1y)≥tA(x,y),?t∈(0,1),x,y∈P

(1.5)

和B:P→P是一個遞增的β-凹算子. 假設

(i) 存在w0∈Pw使得A(w0,w0)∈Pw和Bw0∈Pw;

(ii) 存在一個常數(shù)δ0>0使得A(x,y)≤δ0Bx,?x,y∈P.

則有:

(1)A:Pw×Pw→Pw,B:Pw×Pw→Pw;

(2) 存在u0,v0∈Pw和r∈(0,1)使得

rv0≤u0

(3)算子方程A(x,x)+Bx=x在Pw中存在唯一解x*;

(4)對任意初值x0,y0∈Pw,構(gòu)造一迭代序列

xn=A(xn-1,yn-1)+Bxn-1,yn=A(yn-1,xn-1)+Byn-1,n=1,2,...,

則當n→時有xn→x*和yn→x*.

注 1.1[12]當A是零算子時, 引理 1.3 也是成立的.

2 主要結(jié)果

我們利用引理1.3 研究非線性分數(shù)階微分方程邊值問題(*), 并得到關(guān)于其正解存在唯一性的新結(jié)果.

在本文中, 我們所討論的空間是Banach空間C[0,1],且賦有標準范數(shù)‖x‖=sup{|x(t)|∶t∈[0,1]}.注意到這個空間可以賦予偏序,定義為

?x,y∈C[0,1],x≤y??t∈[0,1],x(t)≤y(t).

令P={x∈C[0,1]|x(t)≥0,t∈[0,1]},顯然P是Banach空間C[0,1]中的正規(guī)錐且正規(guī)常數(shù)是1.

定理2.1 假設

(H1)f:[0,1]×[0,)×[0,)→[0,)是連續(xù)函數(shù)且g:[0,1]×[0,)→[0,)也是連續(xù)函數(shù);

(H2)當固定t∈[0,1]與v∈[0,+)時,f(t,u,v)關(guān)于u∈[0,+)是單調(diào)遞增的和當固定t∈[0,1]與u∈[0,+)時,f(t,u,v)關(guān)于v∈[0,+)是單調(diào)遞減的;同時當固定t∈[0,1]時,g(t,u)關(guān)于u∈[0,+)是單調(diào)遞增的;

(H3)f(t,λu,λ-1v)≥λf(t,u,v),

?t∈[0,1],λ∈(0,1),u,v∈[0,)

和存在一個常數(shù)β∈(0,1)使得

g(t,μu)≥μβg(t,u),?t∈[0,1],μ∈(0,1),u∈[0,);

(H4)f(t,0,1)?0,?t∈[0,1]且存在一個常數(shù)δ0>0使得

f(t,u,v)≤δ0g(t,u),t∈[0,1],u,v≥0.

則有:

(1)存在u0,v0∈Pw和r∈(0,1)使得rv0≤u0

其中w(t)=tα-1(1-t),t∈[0,1]和G(t,s)即為式(1.2).

(2)非線性分數(shù)階微分方程邊值問題(*)在Pw中存在唯一正解u*.

(3)對任意初值x0,y0∈Pw,構(gòu)造一迭代序列

從而當n→時有xn(t)→u*(t)和yn(t)→u*(t).

證明:由引理1.1, 問題(*)與下列的一個積分方程等價:

其中G(t,s)有式(1.2)給出.

定義兩個算子A:P×P→E和B:P→E為

容易證明u是問題(*)的解當且僅當u=A(u,u)+Bu.

由條件(H1)和引理1.2, 可知A:P×P→P和B:P→P. 下面,我們驗證算子A,B滿足引理1.3的所有條件.

首先, 我們證明算子A是一個混合單調(diào)算子. 事實上, 對于ui,vi(i=1,2)∈P,且

u1≥u2,v1≤v2有u1(t)≥u2(t),v1(t)≤v2(t),t∈[0,1].從條件(H2)和引理(1.2)可知,

即,A(u1,v1)≥A(u2,v2).類似可證,B是遞增的.

其次,我們證明算子A滿足條件(1.5). 對任意λ∈(0,1)和u,v∈P,由(H3)可知

即對于λ∈(0,1),u,v∈P,有A(λu,λ-1v)≥λA(u,v).所以算子A滿足條件(1.5). 同樣,對任意μ∈(0,1)和u∈P,由(H3)可知

即對于μ∈(0,1),u∈P,有B(μu)≥μβBu.所以算子B是一個β-凹算子.

再次,我們證明A(w,w)∈Pw和Bw∈Pw, 其中w(t)=tα-1(1-t),t∈[0,1].

由條件(H1), (H2)和引理1.2,對于t∈[0,1],則有

從條件(H2)和(H4),可知

因為f(t,0,1)?0,t∈[0,1], 所以

從而令

因此l1w(t)≤A(w(t),w(t))≤l2w(t),t∈[0,1]; 故我們有A(w,w)∈Pw.類似可證

易知Bw∈Pw.因此引理1.3的條件(i)滿足.

接下來我們證明引理1.3的條件(ii) 也滿足.

對于u,v∈P和?t∈[0,1],由條件(H4)知,

則可得A(u,v)≤δ0Bu,u,v∈P.

最后, 利用引理1.3可得:存在u0,v0∈Pw和r∈(0,1)使得

rv0≤u0

算子方程A(u,u)+Bu=u在Pw中存在唯一解u*;對任意初值x0,y0∈Pw,構(gòu)造一迭代序列

xn=A(xn-1,yn-1)+Bxn-1,yn=A(yn-1,xn-1)+Byn-1,n=1,2,...,

則當n→時有xn→u*和yn→u*.即,存在u0,v0∈Pw和r∈(0,1)使得rvo≤u0

其中w(t)=tα-1(1-t),t∈[0,1]和G(t,s)即為式(1.2);非線性分數(shù)階微分方程邊值問題(*)在Pw中存在唯一正解u*;對任意初值x0,y0∈Pw,構(gòu)造一迭代序列

從而當n→時有xn(t)→u*(t)和yn(t)→u*(t).

推論2.1 當f(t,u,v)≡0, 假設函數(shù)g滿足定理2.1的條件且g(t,0)?0,t∈[0,1],則有

(I)存在u0,v0∈Pw和r∈(0,1)使得rv0≤u0

(II)非線性分數(shù)階微分方程邊值問題

在Pw中存在唯一正解u*;

(III)對任意初值x0,y0∈Pw,構(gòu)造一迭代序列

從而當n→時有xn(t)→u*(t)和yn(t)→u*(t).

注 2.1 由注1.1和定理2.1可知, 推論 2.1易證.

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[責任編輯 鄧 杰]

The Existence and Uniqueness of Positive Solution for Nonlinear Fractional Differential Equation Boundary Value Problem

GU Chuan-yun, HU Pan

(Mathematics and Finance-Economics Department of Sichuan University of Arts and Science, Dazhou Sichuan 635000, China)

In this paper, by using of new fixed point theorem for mixed monotone operator with perturbation, the existence and uniqueness of positive solution for nonlinear fractional differential equation boundary value problem is concerned. Our results can not only guarantee the existence and uniqueness of positive solution, but also be applied to construct an iterative scheme for approximating the solution.

fractional differential equation; boundary value problem; positive solution; existence and uniqueness; mixed monotone operator; fixed point theorem

2013-10-09

四川省教育廳一般項目(14ZB0309)；四川文理學院校級重點科研項目(2012Z004Z)

古傳運(1982—),男,河南周口人.助教,碩士,主要從事非線性泛涵分析及其應用研究.

O241.82

A

1674-5248(2014)02-0011-05