Hamilton體系下海底懸跨管道動(dòng)力特性分析

劉龍，董達(dá)善，張振

(上海海事大學(xué)物流工程學(xué)院，上海 201306)

0 引言

海底輸油氣管道是海上油氣田開發(fā)生產(chǎn)系統(tǒng)的主要組成部分，是連續(xù)地輸送大量油氣最快捷、最安全和經(jīng)濟(jì)可靠的運(yùn)輸方式.［1]受到海底地形地貌、波浪、海流沖刷等影響，海底管道難免出現(xiàn)懸跨，懸跨管道可長達(dá)幾十米，位于深十幾米的海水中.管道懸跨會(huì)影響管道的穩(wěn)定性，易引發(fā)渦激共振導(dǎo)致管道疲勞破壞，縮短管線壽命甚至釀成工程事故，造成嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失和惡劣的社會(huì)影響.例如，2000年10月，東海平湖油氣田輸油管線，因臺(tái)風(fēng)和海床沖刷出現(xiàn)多處較長距離的懸跨段，有兩處發(fā)生管道疲勞斷裂，原油生產(chǎn)被迫中斷110 d.所以，對懸跨管道進(jìn)行研究具有重要的理論和工程實(shí)際意義.

LARSEN等［2]在懸跨支撐處采用非線性方法處理邊界條件，進(jìn)行海底懸跨管道渦激振動(dòng)的非線性時(shí)域分析.CHOI［3]根據(jù)能量平衡理論求解懸跨的固有頻率，提出改進(jìn)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則計(jì)算極限管道懸跨長度.MADGA［4]利用二維平面應(yīng)變有限元模型研究砂質(zhì)海床上埋置管道的波浪升力，考慮不同土體飽和度對管道升力的影響.楊新華等［5]采用Hermit插值函數(shù)對管道動(dòng)力特性方程進(jìn)行離散，并以約化速度作為控制條件，確定管道允許懸空長度.包日東等［6]用微分求積法分析不同支承條件下輸流管道的允許懸跨長度.李昕等［7]利用水下振動(dòng)臺(tái)進(jìn)行海底懸跨管道動(dòng)力模型試驗(yàn)，分析管道懸跨長度、懸跨高度、支撐情況和管內(nèi)運(yùn)輸不同物質(zhì)等因素對海底懸跨管道動(dòng)力響應(yīng)的影響.黃維平等［8]對輸送液體的模型管道進(jìn)行渦激振動(dòng)試驗(yàn)研究.李曉猛等［9]、鄭蘇等［10]用實(shí)驗(yàn)方法模擬圓截面桿件的風(fēng)致振動(dòng)及控制渦激共振的干擾措施.郝志永等［11]用粒子圖像測速系統(tǒng)分析和探討不同列板條紋高度對柱狀結(jié)構(gòu)尾渦形態(tài)變化的影響.

目前大多數(shù)研究基于理想簡化模型，對內(nèi)外流同時(shí)作用、材料黏彈性等復(fù)雜載荷耦合作用下海底懸跨管道動(dòng)態(tài)特性和疲勞破壞機(jī)理的研究還比較少.同時(shí)，在方程求解方面，一般采用消元法將方程轉(zhuǎn)換為高階微分形式，或采用Galerkin法將方程轉(zhuǎn)換為二階微分方程，然后運(yùn)用Runge-Kutta法、有限差分法等求解，但這些方法對時(shí)間步長都比較敏感，特別是長時(shí)間動(dòng)力響應(yīng)的精度很難得到保證.因此，有必要探索高效而穩(wěn)定的數(shù)值算法，以更有效地分析海底管道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性.

另外一種思路是將運(yùn)動(dòng)方程由Lagrange體系轉(zhuǎn)換到Hamilton體系，在原變量和其對偶變量組成的辛空間中展開求解.例如，STANGL等［12]應(yīng)用辛變換方法和平均法研究兩端支承管道的次諧波共振和組合共振的幅頻特性曲線.鐘萬勰［13]提出精細(xì)時(shí)程積分法計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)，其數(shù)值結(jié)果可以理解為計(jì)算機(jī)精確解.該方法已經(jīng)在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析、優(yōu)化控制、偏微分方程求解領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，具有較好的應(yīng)用前景.

本文在Hamilton體系下建立海底懸跨管道的對偶正則方程，運(yùn)用精細(xì)積分法分析復(fù)雜載荷作用下海底懸跨管道的動(dòng)態(tài)特性，從而為海底管道的穩(wěn)定性評估和疲勞壽命預(yù)測奠定基礎(chǔ).

1 海底懸跨管道運(yùn)動(dòng)方程

1.1 一般動(dòng)力學(xué)方程

建立如圖1所示模型，管道軸線為x軸，y軸與重力方向相反.根據(jù)海底管道特點(diǎn)，假設(shè)懸跨段兩端為簡支支承.

圖1 管道懸跨段模型

假設(shè)m1和m2分別為單位長度管道及其內(nèi)流體質(zhì)量.懸跨管道截面為規(guī)則圓形，外徑為D，橫截面積為S，其懸空長度為L，內(nèi)流壓強(qiáng)為P，軸向力為T.假設(shè):(1)管內(nèi)流體以恒定流速V流動(dòng);(2)海流為穩(wěn)定流，流速為U;(3)不計(jì)管道的順向和橫向振動(dòng)的耦合作用.

在管道x處取微元dx，將流體微元與管道微元分離進(jìn)行分析，得到

式中:M為彎矩;cw為流體阻尼;Fw為管外流體在單位長度管道上的作用力，主要包括渦激升力和海流拖曳力.渦激升力計(jì)算公式為

式中:CL為升力因數(shù);ρw為管外流體密度;ωs=為漩渦發(fā)放圓頻率，Sr為斯特勞哈爾數(shù).海流拖曳力計(jì)算公式為

式中:CD為拖曳力因數(shù);ω′s=2ωs為順向力作用頻率.假設(shè)管道材料為線彈性材料，本文考慮Kelvin-Voigt黏彈性材料模型，該模型由彈簧與阻尼器并聯(lián)而成.彎矩可表示為式中:E和η分別為材料彈性模量和黏彈性系數(shù);I為管道橫截面的慣性矩.

將式(4)代入式(1)中，可得到考慮材料黏彈性的懸跨管道運(yùn)動(dòng)微分方程:

對上述變量進(jìn)行無量綱化處理:

將式(6)代入式(5)，得到下列方程:

式(7)即為考慮內(nèi)外流、流體壓力、軸向力和材料黏彈性的管道的一般運(yùn)動(dòng)方程，下面將其轉(zhuǎn)化為Hamilton體系下的運(yùn)動(dòng)方程.

1.2 運(yùn)動(dòng)方程辛表述

首先運(yùn)用Galerkin方法對式(7)進(jìn)行離散化處理，然后將方程降階，轉(zhuǎn)化為一階常微分方程組求解.

假設(shè)該方程的解為

式中:qj(τ)為廣義坐標(biāo);φj(ξ)為滿足邊界條件的振型函數(shù).以往研究表明，僅考慮兩階模態(tài)即可保證計(jì)算結(jié)果有足夠的精度，故取n=2展開模態(tài)計(jì)算，運(yùn)動(dòng)方程即轉(zhuǎn)化為兩階微分方程.定義以下參數(shù):

將式(8)與(9)結(jié)合后代入式(7)，在方程兩邊同乘以 φi，并在［0，1]上積分，利用特征方程的正交性質(zhì)化簡后，得到

式中:Λ 為特征值矩陣;B，C，N，R 分別為 bij，cij，ni，rij的矩陣.

引入狀態(tài)向量V=(q p)T，則式(10)可以化為Hamilton體系下的狀態(tài)向量的微分方程組:

可以看出，懸跨管道方程是典型的非線性動(dòng)力學(xué)問題.下面利用基于線性插值的精細(xì)積分法求解.

2 精細(xì)積分法

首先根據(jù)精細(xì)積分法求解齊次方程V·(t)=HV.因?yàn)?A是定常矩陣，其通解可寫成 V=exp(Ht)·v0，v0為初始值.

精細(xì)積分法有2個(gè)要點(diǎn):2N類算法和計(jì)算增量.

設(shè)數(shù)值積分的時(shí)間步長為μ.指數(shù)矩陣函數(shù)的加法定理由下面的恒等式給出:

可取m=2N，若N=20，m=1 048 576.由于 μ 本身是不大的時(shí)間區(qū)段，則τ=μ/m是非常小的一個(gè)時(shí)間區(qū)段.因此，這個(gè)極小的時(shí)間區(qū)段按泰勒級數(shù)展開后也有較高精度.這是要點(diǎn)1.

因τ很小，exp(Hτ)冪級數(shù)展開5項(xiàng)已足夠.此時(shí)指數(shù)矩陣T(τ)與單位陣In相差不大，故寫為

在計(jì)算中至關(guān)重要的一點(diǎn)是:指數(shù)矩陣的存儲(chǔ)只能是上式中的增量Ta.因?yàn)門a很小，當(dāng)它與單位陣In相加時(shí)，就會(huì)成為其尾數(shù)，在計(jì)算機(jī)的舍入操作中，其精度將喪失殆盡.這是要點(diǎn)2.

根據(jù)以上計(jì)算步驟編程，即可實(shí)現(xiàn)較高的計(jì)算精度.

將時(shí)間分解為較小的步長，在(tk，tk+1)內(nèi)的響應(yīng)可以寫為

現(xiàn)在的問題集中于如何處理與時(shí)間、未知向量相關(guān)的F(τ).本文采用高斯公式，即將代入積分項(xiàng)表達(dá)式，有

上式中取n=3時(shí)為三節(jié)點(diǎn)高斯公式，代數(shù)精度為5.此時(shí)式中參數(shù)為:.這樣，就得到由當(dāng)前時(shí)刻tk的解求下一時(shí)刻tk+1的解的遞推公式，從而將精細(xì)積分法進(jìn)一步推廣到非線性動(dòng)力學(xué)問題.

3 懸跨管道動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

影響海底懸跨管道動(dòng)力特性的因素較多，本文首先計(jì)算橫向、順向渦激共振時(shí)程響應(yīng)，并考察海流流速、內(nèi)流流速、內(nèi)流壓強(qiáng)、軸向力、黏彈性系數(shù)對管道振幅的影響.

選擇以下管道及流體參數(shù)進(jìn)行計(jì)算.管內(nèi)流體密度為 908.2 kg/m3，管道材料密度7 850 kg/m3，管道材料彈性模量為2.1×1011Pa.管外流體密度為1 025 kg/m3，管道外徑 0.426 m，管壁厚 0.014 m，管道跨長 70 m.升力因數(shù) 3.0，拖曳力因數(shù) 1.2，慣性力系數(shù)2.0，斯特勞哈爾數(shù) 0.2.此時(shí)，不考慮阻尼、軸力、壓強(qiáng)等因素，管道第一階固有頻率為0.74 rad/s.

3.1 海流作用下管道振動(dòng)響應(yīng)

為計(jì)算管道橫向共振時(shí)的響應(yīng)問題，令漩渦發(fā)放頻率等于管道固有頻率，計(jì)算得此時(shí)海流流速為0.266 m/s.計(jì)算管道的時(shí)程響應(yīng)，得出管道中點(diǎn)的時(shí)程位移響應(yīng)見圖2.同理，計(jì)算海流作用下管道順向共振時(shí)程位移響應(yīng)，見圖3.

圖2 管道橫向共振時(shí)程響應(yīng)

圖3 管道順向共振時(shí)程響應(yīng)

將計(jì)算結(jié)果與橫向振動(dòng)的時(shí)程響應(yīng)比較可以看出，在渦激振動(dòng)中管道順向振動(dòng)頻率是橫向振動(dòng)頻率的兩倍，但是在200 s時(shí)橫向共振幅值約為0.3 m，而順向共振幅值約為0.056 m，不到前者的20%，所以在海流作用下的海底管道動(dòng)力計(jì)算中通常只考慮管道橫向振動(dòng).

3.2 海流流速對管道振幅的影響

海流流速對管道振幅的影響表現(xiàn)在兩方面:一方面海流流速的增加使激勵(lì)力幅值增大，這使得管道振動(dòng)幅值增加;另一方面海流流速增加也使漩渦發(fā)放頻率增加，從而增大水動(dòng)力阻尼，使得管道振動(dòng)幅值減小.因此，海流流速對振動(dòng)幅值的影響相對復(fù)雜.圖4是海流流速從0到2.0 m/s變化過程中管道振幅的變化.

圖4 海流流速對管道振幅的影響

從圖4可以看出，海流流速的增加引起漩渦頻率提升而出現(xiàn)共振.共振時(shí)的海流流速為0.266 m/s，這與上節(jié)計(jì)算所得的共振時(shí)海流流速一致.當(dāng)海流流速大于0.5 m/s時(shí)，管道振幅穩(wěn)定在0.05 m附近，變化較小.

3.3 內(nèi)流流速對管道振幅影響

一般來說，內(nèi)流會(huì)降低管道的固有頻率.取內(nèi)流流速在0到20 m/s之間變化，并取海流流速分別為 0，0.05，0.10，0.15 和 0.20 m/s 進(jìn)行計(jì)算，得到懸跨段管道垂向振動(dòng)幅值隨內(nèi)流流速的變化，見圖5.從圖5可以看出:管道振幅隨內(nèi)流速度增加而增加，特別是在海流渦激發(fā)放頻率附近，增加更為明顯.

圖5 內(nèi)流流速對管道振幅的影響

3.4 內(nèi)流壓強(qiáng)對管道振幅的影響

選定壓強(qiáng)在0到1.5 MPa之間變化，并取海流流速分別為0，0.05，0.10，0.15 和0.20 m/s進(jìn)行計(jì)算，可以得到其對管道振幅的影響，見圖6.通過比較可以看出，當(dāng)外界流速?zèng)]有達(dá)到能引起懸跨段共振的流速時(shí)，管道振幅隨著內(nèi)流壓強(qiáng)的增加而增加.

圖6 內(nèi)流壓強(qiáng)對管道振幅的影響

3.5 軸向力對管道振幅的影響

以軸向拉力為正，在－150～150 kN之間改變管道軸向力，并取海流流速分別為0，0.05，0.10，0.15和0.20 m/s進(jìn)行計(jì)算，可以得到其對管道振幅的影響，見圖7.通過比較可以看出，軸向拉力對管道振幅的影響較小，同時(shí)隨著軸向壓力的增加，管道振幅逐漸變大.

圖7 軸向力對管道振幅的影響

3.6 材料黏彈性系數(shù)對管道振幅的影響

選擇黏彈性系數(shù)在0～0.010變化，并取海流流速分別為0，0.05，0.10，0.15 和 0.20 m/s進(jìn)行計(jì)算，可以得到其對管道振幅的影響，見圖8.通過比較可以看出，管道振幅隨著材料黏彈性系數(shù)的增加而減小，但是振幅很小，故材料黏彈性系數(shù)對振幅的影響不大.

圖8 材料黏彈性系數(shù)對管道振幅的影響

4 結(jié)束語

本文以海底懸跨管道為研究對象，在Hamilton體系下建立復(fù)雜載荷環(huán)境下懸跨管道動(dòng)力學(xué)方程，應(yīng)用精細(xì)積分法分析載荷參數(shù)對懸跨段動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響.計(jì)算結(jié)果表明渦激振動(dòng)中管道主振動(dòng)為橫向振動(dòng)，振動(dòng)響應(yīng)幅值隨內(nèi)流速度、內(nèi)流壓強(qiáng)和軸向壓力的增加而增大，而材料黏彈性系數(shù)對管道振幅的影響不大.

海底懸跨管道的計(jì)算是一個(gè)復(fù)雜的非線性問題，影響其動(dòng)力特性的因素較多，因此關(guān)于精確計(jì)算流固耦合作用下海底懸跨管道的動(dòng)力特性，對其進(jìn)行穩(wěn)定性分析和壽命預(yù)測，還需進(jìn)一步深入研究.

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