等價(jià)無(wú)窮小替換定理本質(zhì)及推廣

摘要：通過(guò)等價(jià)無(wú)窮小的認(rèn)知、分析，指出了等價(jià)無(wú)窮小替換定理的本質(zhì)是將無(wú)窮小的基本初等函數(shù)替換為無(wú)窮小的冪函數(shù)，將等價(jià)無(wú)窮小替換定理由乘積推廣到了和差運(yùn)算，建立了新的定理。

關(guān)鍵詞：基本初等無(wú)窮??；等價(jià)；初等無(wú)窮?。粌绾瘮?shù)

中圖分類號(hào)：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）30-0106-03

文[1～7]給出了無(wú)窮小的定義、無(wú)窮小的階以及等價(jià)無(wú)窮小替換定理的各種不同變形，討論了等價(jià)無(wú)窮替換定理的各種應(yīng)用。本文說(shuō)明了等價(jià)無(wú)窮小替換定理的本質(zhì)——用冪函數(shù)等價(jià)替換初等無(wú)窮小，并在此基礎(chǔ)上將等價(jià)無(wú)窮小替換定理的應(yīng)用范圍由乘法運(yùn)算推廣到和差運(yùn)算。

一、初等無(wú)窮小的定義和性質(zhì)

眾所周知，當(dāng)x→0時(shí)sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）均為無(wú)窮小，而且與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價(jià)。為了描述方便，作如下定義：

定義 稱時(shí)sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）為當(dāng)x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小。

性質(zhì)1 x→0時(shí)的基本無(wú)窮小均與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價(jià)。

性質(zhì)2 基本初等無(wú)窮小復(fù)合運(yùn)算后所得的初等無(wú)窮小λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價(jià)。

證設(shè)α（x）、f（x）均為x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小，且α（x）～λ1x■，f（x）～λ2x■（λ1·λ2≠0，m1>0，m2>0），則

■■=■■·■=1

即f（α（x））也為x→0時(shí)的初等無(wú)窮小，且f（α（x））～λ■λ■■x■，令λ=λ■λ■■，μ=m1m2，則f（α（x））～λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。即基本初等初等無(wú)窮小復(fù)合運(yùn)算后所得的初等無(wú)窮小也與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價(jià)。

性質(zhì)3 設(shè)α，β為x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.則（1）m1>n1時(shí)，α±β～±μ1x■；（2）m1

（3）m1=n1，且λ1+μ1≠0時(shí)，α+β～（λ1+μ1）x■；

（4）m1=n1，且λ1-μ1≠0時(shí)，α+β～（λ1+μ1）x■。

證 （1）■■=■■=■■=■■±1=±1；

（2）■■=■■±■■=1■■=1；

（3）■■=■■+■■=

■■+■■=1；

（4）■■=■■-■■=

■■-■■=1

性質(zhì)4 設(shè)α，β為x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.則αβ～λ1 μ1x■。

利用等價(jià)的傳遞性和羅比達(dá)法則等運(yùn)算可以得到連續(xù)可導(dǎo)的無(wú)窮小都能找到與之等價(jià)的冪函數(shù)λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。

如：x→0時(shí)，lncosx=ln[（cosx-1）+1]～cosx-1～-■x2；

esinx-etanx=etanx（esinx-tanx-1）～etanx（sinx-tanx）～etanxtanx（1-cosx）～-■x3

二、等價(jià)無(wú)窮小替換定理的推廣

等價(jià)無(wú)窮小替換定理[8]在自變量的同一變化過(guò)程中，設(shè)α～α1，β～β1，且lim■存在，則lim■=lim■。

等價(jià)無(wú)窮小替換定理的本質(zhì)是在求極限時(shí)用冪函數(shù)替換各種初等無(wú)窮小。

等價(jià)無(wú)窮小替換定理是計(jì)算極限的一個(gè)重要而有力的工具。在極限運(yùn)算中，等價(jià)無(wú)窮小替換定理能降低題目難度，減少運(yùn)算步驟，使得求極限問(wèn)題變得生動(dòng)有趣。但是該定理要求整體替換，即只能替換乘積因子。在和差運(yùn)算中，并非所有的極限都不能使用等價(jià)無(wú)窮小替換定理，有的可以，有的不可以。在什么情況下，和差運(yùn)算中能夠使用等價(jià)無(wú)窮小替換定理的研究很有必要。

定理 設(shè)x→0時(shí)α，β，γ是無(wú)窮小，且α～λxm，β～μxn■，γ～sxt（λ·μ·s≠0，m>0，n>0，t>0）。

（1）若m>n，則■■=0，n>t■，n=t∞，n

（2）若mt■，m=t∞，m

（3）若m=n，且λ+μ≠0則■■=0，m>t■，m=t∞，m

（4）若m=n，且λ-μ≠0則■■=0，m>t■，m=t∞，m

證 （1）若m>n，則■■=■■=■■=0，n>t■，n=t∞，n

（2）若mt■，m=t∞，m

（3）若m=n，且λ+μ≠0，則■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m

（4）若m=n，且λ-μ≠0，則■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m

該定理不僅給出了等價(jià)無(wú)窮小替換和差因子的使用條件，同時(shí)給出了結(jié)論。運(yùn)用該定理時(shí)，首先要觀察題目的結(jié)構(gòu)，其次尋找函數(shù)中的與各因子等價(jià)的冪函數(shù)λxm，λxn，sxt，然后比較冪指數(shù)m，n，t，再利用定理進(jìn)行運(yùn)算。比較冪指數(shù)m，n，t時(shí)，先比較m，n求得min{m，n}，再比較min{m，n}與t的大小。

例1 求■■。

解 x→0時(shí)4sinx2～4x2，x3～x3，所以由引理的結(jié)論（1）得4sinx2+x3～4x2。又1-cosx～-■x2，因此由定理可得

■■=■■=■。

例2 求■■。

解 x→0時(shí)ln（1+2x）～2x，sinx～x，所以由引理的結(jié)論（3）得ln（1+2x）+sinx～3x。又tanx～x，因此由定理可得

■■=■■=3

例3 求■■。

解 x→0時(shí)■～■x，■～■x2，所以由引理的結(jié)論（4）得■-■～■x-（-■x）=x。又ex-1～x，因此由定理可得■■=■■=1。

例4 求■■。

解 x→0時(shí)■～■x4，■-1～■x4，所以由引理的結(jié)論（3）得■+■-1～■x4+■x4=x4。cosx-e■=（cosx-1）-（e■-1），而cosx-1～-■x2，e■-1～x2，所以由引理的結(jié)論（4）得（cosx-1）-（e■-1）～-■x2。又arctanx～x，因此

■■=■■=0。

上述例題運(yùn)用定理均簡(jiǎn)化了計(jì)算，但運(yùn)用定理時(shí)一定要注意定理的條件是否滿足，若果不滿足定理的條件，就不能使用。如■■就不能使用定理，因?yàn)閟in2x～2x，tan2x～2x，2-2=0不滿足定理的條件。

參考文獻(xiàn)：

[1]呂端良，王云麗.關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小應(yīng)用的探討[J].科技信息，2013，（6）.

[2]吳漢華.關(guān)于無(wú)窮小的等價(jià)替換及其推廣[J].閩西職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，（6）.

[3]陳新明.用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限中的一些問(wèn)題[J].高等數(shù)學(xué)研究，2008，（5）.

[4]李秋英，申亞麗.關(guān)于無(wú)窮?。ù螅W(xué)習(xí)中的幾點(diǎn)注記[J].運(yùn)城學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，（2）.

[5]韋玉程.無(wú)窮小的再認(rèn)識(shí)[J].河池學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，（2）.

[6]王強(qiáng).無(wú)窮小量的階[J].湘南學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，（2）.

[7]劉明鼎.等價(jià)無(wú)窮小在含積分上限函數(shù)中的應(yīng)用[J].牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，（2）.

[8]同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)第六版[M].北京：高等教育出版社，2011.

項(xiàng)目基金：本論文得到山東省高等學(xué)校青年骨干教師國(guó)內(nèi)訪問(wèn)學(xué)者項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)資助。濱州學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目——BYJYYB201121；濱州學(xué)院優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊(duì)——BZXYJXTD201302。

作者簡(jiǎn)介：竇慧（1974—），女，山東惠民人，碩士，講師，研究方向：高等數(shù)學(xué)研究和微分方程。

摘要：通過(guò)等價(jià)無(wú)窮小的認(rèn)知、分析，指出了等價(jià)無(wú)窮小替換定理的本質(zhì)是將無(wú)窮小的基本初等函數(shù)替換為無(wú)窮小的冪函數(shù)，將等價(jià)無(wú)窮小替換定理由乘積推廣到了和差運(yùn)算，建立了新的定理。

關(guān)鍵詞：基本初等無(wú)窮??；等價(jià)；初等無(wú)窮小；冪函數(shù)

中圖分類號(hào)：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）30-0106-03

文[1～7]給出了無(wú)窮小的定義、無(wú)窮小的階以及等價(jià)無(wú)窮小替換定理的各種不同變形，討論了等價(jià)無(wú)窮替換定理的各種應(yīng)用。本文說(shuō)明了等價(jià)無(wú)窮小替換定理的本質(zhì)——用冪函數(shù)等價(jià)替換初等無(wú)窮小，并在此基礎(chǔ)上將等價(jià)無(wú)窮小替換定理的應(yīng)用范圍由乘法運(yùn)算推廣到和差運(yùn)算。

一、初等無(wú)窮小的定義和性質(zhì)

眾所周知，當(dāng)x→0時(shí)sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）均為無(wú)窮小，而且與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價(jià)。為了描述方便，作如下定義：

定義 稱時(shí)sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）為當(dāng)x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小。

性質(zhì)1 x→0時(shí)的基本無(wú)窮小均與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價(jià)。

性質(zhì)2 基本初等無(wú)窮小復(fù)合運(yùn)算后所得的初等無(wú)窮小λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價(jià)。

證設(shè)α（x）、f（x）均為x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小，且α（x）～λ1x■，f（x）～λ2x■（λ1·λ2≠0，m1>0，m2>0），則

■■=■■·■=1

即f（α（x））也為x→0時(shí)的初等無(wú)窮小，且f（α（x））～λ■λ■■x■，令λ=λ■λ■■，μ=m1m2，則f（α（x））～λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。即基本初等初等無(wú)窮小復(fù)合運(yùn)算后所得的初等無(wú)窮小也與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價(jià)。

性質(zhì)3 設(shè)α，β為x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.則（1）m1>n1時(shí)，α±β～±μ1x■；（2）m1

（3）m1=n1，且λ1+μ1≠0時(shí)，α+β～（λ1+μ1）x■；

（4）m1=n1，且λ1-μ1≠0時(shí)，α+β～（λ1+μ1）x■。

證 （1）■■=■■=■■=■■±1=±1；

（2）■■=■■±■■=1■■=1；

（3）■■=■■+■■=

■■+■■=1；

（4）■■=■■-■■=

■■-■■=1

性質(zhì)4 設(shè)α，β為x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.則αβ～λ1 μ1x■。

利用等價(jià)的傳遞性和羅比達(dá)法則等運(yùn)算可以得到連續(xù)可導(dǎo)的無(wú)窮小都能找到與之等價(jià)的冪函數(shù)λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。

如：x→0時(shí)，lncosx=ln[（cosx-1）+1]～cosx-1～-■x2；

esinx-etanx=etanx（esinx-tanx-1）～etanx（sinx-tanx）～etanxtanx（1-cosx）～-■x3

二、等價(jià)無(wú)窮小替換定理的推廣

等價(jià)無(wú)窮小替換定理[8]在自變量的同一變化過(guò)程中，設(shè)α～α1，β～β1，且lim■存在，則lim■=lim■。

等價(jià)無(wú)窮小替換定理的本質(zhì)是在求極限時(shí)用冪函數(shù)替換各種初等無(wú)窮小。

等價(jià)無(wú)窮小替換定理是計(jì)算極限的一個(gè)重要而有力的工具。在極限運(yùn)算中，等價(jià)無(wú)窮小替換定理能降低題目難度，減少運(yùn)算步驟，使得求極限問(wèn)題變得生動(dòng)有趣。但是該定理要求整體替換，即只能替換乘積因子。在和差運(yùn)算中，并非所有的極限都不能使用等價(jià)無(wú)窮小替換定理，有的可以，有的不可以。在什么情況下，和差運(yùn)算中能夠使用等價(jià)無(wú)窮小替換定理的研究很有必要。

定理 設(shè)x→0時(shí)α，β，γ是無(wú)窮小，且α～λxm，β～μxn■，γ～sxt（λ·μ·s≠0，m>0，n>0，t>0）。

（1）若m>n，則■■=0，n>t■，n=t∞，n

（2）若mt■，m=t∞，m

（3）若m=n，且λ+μ≠0則■■=0，m>t■，m=t∞，m

（4）若m=n，且λ-μ≠0則■■=0，m>t■，m=t∞，m

證 （1）若m>n，則■■=■■=■■=0，n>t■，n=t∞，n

（2）若mt■，m=t∞，m

（3）若m=n，且λ+μ≠0，則■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m

（4）若m=n，且λ-μ≠0，則■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m

該定理不僅給出了等價(jià)無(wú)窮小替換和差因子的使用條件，同時(shí)給出了結(jié)論。運(yùn)用該定理時(shí)，首先要觀察題目的結(jié)構(gòu)，其次尋找函數(shù)中的與各因子等價(jià)的冪函數(shù)λxm，λxn，sxt，然后比較冪指數(shù)m，n，t，再利用定理進(jìn)行運(yùn)算。比較冪指數(shù)m，n，t時(shí)，先比較m，n求得min{m，n}，再比較min{m，n}與t的大小。

例1 求■■。

解 x→0時(shí)4sinx2～4x2，x3～x3，所以由引理的結(jié)論（1）得4sinx2+x3～4x2。又1-cosx～-■x2，因此由定理可得

■■=■■=■。

例2 求■■。

解 x→0時(shí)ln（1+2x）～2x，sinx～x，所以由引理的結(jié)論（3）得ln（1+2x）+sinx～3x。又tanx～x，因此由定理可得

■■=■■=3

例3 求■■。

解 x→0時(shí)■～■x，■～■x2，所以由引理的結(jié)論（4）得■-■～■x-（-■x）=x。又ex-1～x，因此由定理可得■■=■■=1。

例4 求■■。

解 x→0時(shí)■～■x4，■-1～■x4，所以由引理的結(jié)論（3）得■+■-1～■x4+■x4=x4。cosx-e■=（cosx-1）-（e■-1），而cosx-1～-■x2，e■-1～x2，所以由引理的結(jié)論（4）得（cosx-1）-（e■-1）～-■x2。又arctanx～x，因此

■■=■■=0。

上述例題運(yùn)用定理均簡(jiǎn)化了計(jì)算，但運(yùn)用定理時(shí)一定要注意定理的條件是否滿足，若果不滿足定理的條件，就不能使用。如■■就不能使用定理，因?yàn)閟in2x～2x，tan2x～2x，2-2=0不滿足定理的條件。

參考文獻(xiàn)：

[1]呂端良，王云麗.關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小應(yīng)用的探討[J].科技信息，2013，（6）.

[2]吳漢華.關(guān)于無(wú)窮小的等價(jià)替換及其推廣[J].閩西職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，（6）.

[3]陳新明.用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限中的一些問(wèn)題[J].高等數(shù)學(xué)研究，2008，（5）.

[4]李秋英，申亞麗.關(guān)于無(wú)窮小（大）學(xué)習(xí)中的幾點(diǎn)注記[J].運(yùn)城學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，（2）.

[5]韋玉程.無(wú)窮小的再認(rèn)識(shí)[J].河池學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，（2）.

[6]王強(qiáng).無(wú)窮小量的階[J].湘南學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，（2）.

[7]劉明鼎.等價(jià)無(wú)窮小在含積分上限函數(shù)中的應(yīng)用[J].牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，（2）.

[8]同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)第六版[M].北京：高等教育出版社，2011.

項(xiàng)目基金：本論文得到山東省高等學(xué)校青年骨干教師國(guó)內(nèi)訪問(wèn)學(xué)者項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)資助。濱州學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目——BYJYYB201121；濱州學(xué)院優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊(duì)——BZXYJXTD201302。

作者簡(jiǎn)介：竇慧（1974—），女，山東惠民人，碩士，講師，研究方向：高等數(shù)學(xué)研究和微分方程。

摘要：通過(guò)等價(jià)無(wú)窮小的認(rèn)知、分析，指出了等價(jià)無(wú)窮小替換定理的本質(zhì)是將無(wú)窮小的基本初等函數(shù)替換為無(wú)窮小的冪函數(shù)，將等價(jià)無(wú)窮小替換定理由乘積推廣到了和差運(yùn)算，建立了新的定理。

關(guān)鍵詞：基本初等無(wú)窮??；等價(jià)；初等無(wú)窮??；冪函數(shù)

中圖分類號(hào)：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）30-0106-03

文[1～7]給出了無(wú)窮小的定義、無(wú)窮小的階以及等價(jià)無(wú)窮小替換定理的各種不同變形，討論了等價(jià)無(wú)窮替換定理的各種應(yīng)用。本文說(shuō)明了等價(jià)無(wú)窮小替換定理的本質(zhì)——用冪函數(shù)等價(jià)替換初等無(wú)窮小，并在此基礎(chǔ)上將等價(jià)無(wú)窮小替換定理的應(yīng)用范圍由乘法運(yùn)算推廣到和差運(yùn)算。

一、初等無(wú)窮小的定義和性質(zhì)

眾所周知，當(dāng)x→0時(shí)sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）均為無(wú)窮小，而且與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價(jià)。為了描述方便，作如下定義：

定義 稱時(shí)sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）為當(dāng)x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小。

性質(zhì)1 x→0時(shí)的基本無(wú)窮小均與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價(jià)。

性質(zhì)2 基本初等無(wú)窮小復(fù)合運(yùn)算后所得的初等無(wú)窮小λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價(jià)。

證設(shè)α（x）、f（x）均為x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小，且α（x）～λ1x■，f（x）～λ2x■（λ1·λ2≠0，m1>0，m2>0），則

■■=■■·■=1

即f（α（x））也為x→0時(shí)的初等無(wú)窮小，且f（α（x））～λ■λ■■x■，令λ=λ■λ■■，μ=m1m2，則f（α（x））～λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。即基本初等初等無(wú)窮小復(fù)合運(yùn)算后所得的初等無(wú)窮小也與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等價(jià)。

性質(zhì)3 設(shè)α，β為x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.則（1）m1>n1時(shí)，α±β～±μ1x■；（2）m1

（3）m1=n1，且λ1+μ1≠0時(shí)，α+β～（λ1+μ1）x■；

（4）m1=n1，且λ1-μ1≠0時(shí)，α+β～（λ1+μ1）x■。

證 （1）■■=■■=■■=■■±1=±1；

（2）■■=■■±■■=1■■=1；

（3）■■=■■+■■=

■■+■■=1；

（4）■■=■■-■■=

■■-■■=1

性質(zhì)4 設(shè)α，β為x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1·μ1≠0，m1>0，n1>0）.則αβ～λ1 μ1x■。

利用等價(jià)的傳遞性和羅比達(dá)法則等運(yùn)算可以得到連續(xù)可導(dǎo)的無(wú)窮小都能找到與之等價(jià)的冪函數(shù)λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。

如：x→0時(shí)，lncosx=ln[（cosx-1）+1]～cosx-1～-■x2；

esinx-etanx=etanx（esinx-tanx-1）～etanx（sinx-tanx）～etanxtanx（1-cosx）～-■x3

二、等價(jià)無(wú)窮小替換定理的推廣

等價(jià)無(wú)窮小替換定理[8]在自變量的同一變化過(guò)程中，設(shè)α～α1，β～β1，且lim■存在，則lim■=lim■。

等價(jià)無(wú)窮小替換定理的本質(zhì)是在求極限時(shí)用冪函數(shù)替換各種初等無(wú)窮小。

等價(jià)無(wú)窮小替換定理是計(jì)算極限的一個(gè)重要而有力的工具。在極限運(yùn)算中，等價(jià)無(wú)窮小替換定理能降低題目難度，減少運(yùn)算步驟，使得求極限問(wèn)題變得生動(dòng)有趣。但是該定理要求整體替換，即只能替換乘積因子。在和差運(yùn)算中，并非所有的極限都不能使用等價(jià)無(wú)窮小替換定理，有的可以，有的不可以。在什么情況下，和差運(yùn)算中能夠使用等價(jià)無(wú)窮小替換定理的研究很有必要。

定理 設(shè)x→0時(shí)α，β，γ是無(wú)窮小，且α～λxm，β～μxn■，γ～sxt（λ·μ·s≠0，m>0，n>0，t>0）。

（1）若m>n，則■■=0，n>t■，n=t∞，n

（2）若mt■，m=t∞，m

（3）若m=n，且λ+μ≠0則■■=0，m>t■，m=t∞，m

（4）若m=n，且λ-μ≠0則■■=0，m>t■，m=t∞，m

證 （1）若m>n，則■■=■■=■■=0，n>t■，n=t∞，n

（2）若mt■，m=t∞，m

（3）若m=n，且λ+μ≠0，則■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m

（4）若m=n，且λ-μ≠0，則■■=■■=0，m>t■，m=t∞，m

該定理不僅給出了等價(jià)無(wú)窮小替換和差因子的使用條件，同時(shí)給出了結(jié)論。運(yùn)用該定理時(shí)，首先要觀察題目的結(jié)構(gòu)，其次尋找函數(shù)中的與各因子等價(jià)的冪函數(shù)λxm，λxn，sxt，然后比較冪指數(shù)m，n，t，再利用定理進(jìn)行運(yùn)算。比較冪指數(shù)m，n，t時(shí)，先比較m，n求得min{m，n}，再比較min{m，n}與t的大小。

例1 求■■。

解 x→0時(shí)4sinx2～4x2，x3～x3，所以由引理的結(jié)論（1）得4sinx2+x3～4x2。又1-cosx～-■x2，因此由定理可得

■■=■■=■。

例2 求■■。

解 x→0時(shí)ln（1+2x）～2x，sinx～x，所以由引理的結(jié)論（3）得ln（1+2x）+sinx～3x。又tanx～x，因此由定理可得

■■=■■=3

例3 求■■。

解 x→0時(shí)■～■x，■～■x2，所以由引理的結(jié)論（4）得■-■～■x-（-■x）=x。又ex-1～x，因此由定理可得■■=■■=1。

例4 求■■。

解 x→0時(shí)■～■x4，■-1～■x4，所以由引理的結(jié)論（3）得■+■-1～■x4+■x4=x4。cosx-e■=（cosx-1）-（e■-1），而cosx-1～-■x2，e■-1～x2，所以由引理的結(jié)論（4）得（cosx-1）-（e■-1）～-■x2。又arctanx～x，因此

■■=■■=0。

上述例題運(yùn)用定理均簡(jiǎn)化了計(jì)算，但運(yùn)用定理時(shí)一定要注意定理的條件是否滿足，若果不滿足定理的條件，就不能使用。如■■就不能使用定理，因?yàn)閟in2x～2x，tan2x～2x，2-2=0不滿足定理的條件。

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項(xiàng)目基金：本論文得到山東省高等學(xué)校青年骨干教師國(guó)內(nèi)訪問(wèn)學(xué)者項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)資助。濱州學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目——BYJYYB201121；濱州學(xué)院優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊(duì)——BZXYJXTD201302。

作者簡(jiǎn)介：竇慧（1974—），女，山東惠民人，碩士，講師，研究方向：高等數(shù)學(xué)研究和微分方程。