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    等價(jià)無(wú)窮小替換定理本質(zhì)及推廣

    2014-07-21 13:55:26竇慧
    教育教學(xué)論壇 2014年30期
    關(guān)鍵詞:冪函數(shù)等價(jià)

    摘要:通過(guò)等價(jià)無(wú)窮小的認(rèn)知、分析,指出了等價(jià)無(wú)窮小替換定理的本質(zhì)是將無(wú)窮小的基本初等函數(shù)替換為無(wú)窮小的冪函數(shù),將等價(jià)無(wú)窮小替換定理由乘積推廣到了和差運(yùn)算,建立了新的定理。

    關(guān)鍵詞:基本初等無(wú)窮??;等價(jià);初等無(wú)窮?。粌绾瘮?shù)

    中圖分類號(hào):G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):1674-9324(2014)30-0106-03

    文[1~7]給出了無(wú)窮小的定義、無(wú)窮小的階以及等價(jià)無(wú)窮小替換定理的各種不同變形,討論了等價(jià)無(wú)窮替換定理的各種應(yīng)用。本文說(shuō)明了等價(jià)無(wú)窮小替換定理的本質(zhì)——用冪函數(shù)等價(jià)替換初等無(wú)窮小,并在此基礎(chǔ)上將等價(jià)無(wú)窮小替換定理的應(yīng)用范圍由乘法運(yùn)算推廣到和差運(yùn)算。

    一、初等無(wú)窮小的定義和性質(zhì)

    眾所周知,當(dāng)x→0時(shí)sinx,arcsinx,tanx,arctanx,1-cosx,■-1,ex-1,ln(1+x)均為無(wú)窮小,而且與λxm(λ,m∈R且λ≠0,m>0)等價(jià)。為了描述方便,作如下定義:

    定義 稱時(shí)sinx,arcsinx,tanx,arctanx,1-cosx,■-1,ex-1,ln(1+x)為當(dāng)x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小。

    性質(zhì)1 x→0時(shí)的基本無(wú)窮小均與λxm(λ,m∈R且λ≠0,m>0)等價(jià)。

    性質(zhì)2 基本初等無(wú)窮小復(fù)合運(yùn)算后所得的初等無(wú)窮小λxm(λ,m∈R且λ≠0,m>0)等價(jià)。

    證設(shè)α(x)、f(x)均為x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小,且α(x)~λ1x■,f(x)~λ2x■(λ1·λ2≠0,m1>0,m2>0),則

    ■■=■■·■=1

    即f(α(x))也為x→0時(shí)的初等無(wú)窮小,且f(α(x))~λ■λ■■x■,令λ=λ■λ■■,μ=m1m2,則f(α(x))~λxm(λ,m∈R且λ≠0,m>0)。即基本初等初等無(wú)窮小復(fù)合運(yùn)算后所得的初等無(wú)窮小也與λxm(λ,m∈R且λ≠0,m>0)等價(jià)。

    性質(zhì)3 設(shè)α,β為x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小,且α~λ1x■,β~μ1x■(λ1·μ1≠0,m1>0,n1>0).則(1)m1>n1時(shí),α±β~±μ1x■;(2)m1

    (3)m1=n1,且λ1+μ1≠0時(shí),α+β~(λ1+μ1)x■;

    (4)m1=n1,且λ1-μ1≠0時(shí),α+β~(λ1+μ1)x■。

    證 (1)■■=■■=■■=■■±1=±1;

    (2)■■=■■±■■=1■■=1;

    (3)■■=■■+■■=

    ■■+■■=1;

    (4)■■=■■-■■=

    ■■-■■=1

    性質(zhì)4 設(shè)α,β為x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小,且α~λ1x■,β~μ1x■(λ1·μ1≠0,m1>0,n1>0).則αβ~λ1 μ1x■。

    利用等價(jià)的傳遞性和羅比達(dá)法則等運(yùn)算可以得到連續(xù)可導(dǎo)的無(wú)窮小都能找到與之等價(jià)的冪函數(shù)λxm(λ,m∈R且λ≠0,m>0)。

    如:x→0時(shí),lncosx=ln[(cosx-1)+1]~cosx-1~-■x2;

    esinx-etanx=etanx(esinx-tanx-1)~etanx(sinx-tanx)~etanxtanx(1-cosx)~-■x3

    二、等價(jià)無(wú)窮小替換定理的推廣

    等價(jià)無(wú)窮小替換定理[8]在自變量的同一變化過(guò)程中,設(shè)α~α1,β~β1,且lim■存在,則lim■=lim■。

    等價(jià)無(wú)窮小替換定理的本質(zhì)是在求極限時(shí)用冪函數(shù)替換各種初等無(wú)窮小。

    等價(jià)無(wú)窮小替換定理是計(jì)算極限的一個(gè)重要而有力的工具。在極限運(yùn)算中,等價(jià)無(wú)窮小替換定理能降低題目難度,減少運(yùn)算步驟,使得求極限問(wèn)題變得生動(dòng)有趣。但是該定理要求整體替換,即只能替換乘積因子。在和差運(yùn)算中,并非所有的極限都不能使用等價(jià)無(wú)窮小替換定理,有的可以,有的不可以。在什么情況下,和差運(yùn)算中能夠使用等價(jià)無(wú)窮小替換定理的研究很有必要。

    定理 設(shè)x→0時(shí)α,β,γ是無(wú)窮小,且α~λxm,β~μxn■,γ~sxt(λ·μ·s≠0,m>0,n>0,t>0)。

    (1)若m>n,則■■=0,n>t■,n=t∞,n

    (2)若mt■,m=t∞,m

    (3)若m=n,且λ+μ≠0則■■=0,m>t■,m=t∞,m

    (4)若m=n,且λ-μ≠0則■■=0,m>t■,m=t∞,m

    證 (1)若m>n,則■■=■■=■■=0,n>t■,n=t∞,n

    (2)若mt■,m=t∞,m

    (3)若m=n,且λ+μ≠0,則■■=■■=0,m>t■,m=t∞,m

    (4)若m=n,且λ-μ≠0,則■■=■■=0,m>t■,m=t∞,m

    該定理不僅給出了等價(jià)無(wú)窮小替換和差因子的使用條件,同時(shí)給出了結(jié)論。運(yùn)用該定理時(shí),首先要觀察題目的結(jié)構(gòu),其次尋找函數(shù)中的與各因子等價(jià)的冪函數(shù)λxm,λxn,sxt,然后比較冪指數(shù)m,n,t,再利用定理進(jìn)行運(yùn)算。比較冪指數(shù)m,n,t時(shí),先比較m,n求得min{m,n},再比較min{m,n}與t的大小。

    例1 求■■。

    解 x→0時(shí)4sinx2~4x2,x3~x3,所以由引理的結(jié)論(1)得4sinx2+x3~4x2。又1-cosx~-■x2,因此由定理可得

    ■■=■■=■。

    例2 求■■。

    解 x→0時(shí)ln(1+2x)~2x,sinx~x,所以由引理的結(jié)論(3)得ln(1+2x)+sinx~3x。又tanx~x,因此由定理可得

    ■■=■■=3

    例3 求■■。

    解 x→0時(shí)■~■x,■~■x2,所以由引理的結(jié)論(4)得■-■~■x-(-■x)=x。又ex-1~x,因此由定理可得■■=■■=1。

    例4 求■■。

    解 x→0時(shí)■~■x4,■-1~■x4,所以由引理的結(jié)論(3)得■+■-1~■x4+■x4=x4。cosx-e■=(cosx-1)-(e■-1),而cosx-1~-■x2,e■-1~x2,所以由引理的結(jié)論(4)得(cosx-1)-(e■-1)~-■x2。又arctanx~x,因此

    ■■=■■=0。

    上述例題運(yùn)用定理均簡(jiǎn)化了計(jì)算,但運(yùn)用定理時(shí)一定要注意定理的條件是否滿足,若果不滿足定理的條件,就不能使用。如■■就不能使用定理,因?yàn)閟in2x~2x,tan2x~2x,2-2=0不滿足定理的條件。

    參考文獻(xiàn):

    [1]呂端良,王云麗.關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小應(yīng)用的探討[J].科技信息,2013,(6).

    [2]吳漢華.關(guān)于無(wú)窮小的等價(jià)替換及其推廣[J].閩西職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2005,(6).

    [3]陳新明.用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限中的一些問(wèn)題[J].高等數(shù)學(xué)研究,2008,(5).

    [4]李秋英,申亞麗.關(guān)于無(wú)窮?。ù螅W(xué)習(xí)中的幾點(diǎn)注記[J].運(yùn)城學(xué)院學(xué)報(bào),2013,(2).

    [5]韋玉程.無(wú)窮小的再認(rèn)識(shí)[J].河池學(xué)院學(xué)報(bào),2013,(2).

    [6]王強(qiáng).無(wú)窮小量的階[J].湘南學(xué)院學(xué)報(bào),2013,(2).

    [7]劉明鼎.等價(jià)無(wú)窮小在含積分上限函數(shù)中的應(yīng)用[J].牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào),2013,(2).

    [8]同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)第六版[M].北京:高等教育出版社,2011.

    項(xiàng)目基金:本論文得到山東省高等學(xué)校青年骨干教師國(guó)內(nèi)訪問(wèn)學(xué)者項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)資助。濱州學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目——BYJYYB201121;濱州學(xué)院優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊(duì)——BZXYJXTD201302。

    作者簡(jiǎn)介:竇慧(1974—),女,山東惠民人,碩士,講師,研究方向:高等數(shù)學(xué)研究和微分方程。

    摘要:通過(guò)等價(jià)無(wú)窮小的認(rèn)知、分析,指出了等價(jià)無(wú)窮小替換定理的本質(zhì)是將無(wú)窮小的基本初等函數(shù)替換為無(wú)窮小的冪函數(shù),將等價(jià)無(wú)窮小替換定理由乘積推廣到了和差運(yùn)算,建立了新的定理。

    關(guān)鍵詞:基本初等無(wú)窮??;等價(jià);初等無(wú)窮小;冪函數(shù)

    中圖分類號(hào):G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):1674-9324(2014)30-0106-03

    文[1~7]給出了無(wú)窮小的定義、無(wú)窮小的階以及等價(jià)無(wú)窮小替換定理的各種不同變形,討論了等價(jià)無(wú)窮替換定理的各種應(yīng)用。本文說(shuō)明了等價(jià)無(wú)窮小替換定理的本質(zhì)——用冪函數(shù)等價(jià)替換初等無(wú)窮小,并在此基礎(chǔ)上將等價(jià)無(wú)窮小替換定理的應(yīng)用范圍由乘法運(yùn)算推廣到和差運(yùn)算。

    一、初等無(wú)窮小的定義和性質(zhì)

    眾所周知,當(dāng)x→0時(shí)sinx,arcsinx,tanx,arctanx,1-cosx,■-1,ex-1,ln(1+x)均為無(wú)窮小,而且與λxm(λ,m∈R且λ≠0,m>0)等價(jià)。為了描述方便,作如下定義:

    定義 稱時(shí)sinx,arcsinx,tanx,arctanx,1-cosx,■-1,ex-1,ln(1+x)為當(dāng)x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小。

    性質(zhì)1 x→0時(shí)的基本無(wú)窮小均與λxm(λ,m∈R且λ≠0,m>0)等價(jià)。

    性質(zhì)2 基本初等無(wú)窮小復(fù)合運(yùn)算后所得的初等無(wú)窮小λxm(λ,m∈R且λ≠0,m>0)等價(jià)。

    證設(shè)α(x)、f(x)均為x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小,且α(x)~λ1x■,f(x)~λ2x■(λ1·λ2≠0,m1>0,m2>0),則

    ■■=■■·■=1

    即f(α(x))也為x→0時(shí)的初等無(wú)窮小,且f(α(x))~λ■λ■■x■,令λ=λ■λ■■,μ=m1m2,則f(α(x))~λxm(λ,m∈R且λ≠0,m>0)。即基本初等初等無(wú)窮小復(fù)合運(yùn)算后所得的初等無(wú)窮小也與λxm(λ,m∈R且λ≠0,m>0)等價(jià)。

    性質(zhì)3 設(shè)α,β為x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小,且α~λ1x■,β~μ1x■(λ1·μ1≠0,m1>0,n1>0).則(1)m1>n1時(shí),α±β~±μ1x■;(2)m1

    (3)m1=n1,且λ1+μ1≠0時(shí),α+β~(λ1+μ1)x■;

    (4)m1=n1,且λ1-μ1≠0時(shí),α+β~(λ1+μ1)x■。

    證 (1)■■=■■=■■=■■±1=±1;

    (2)■■=■■±■■=1■■=1;

    (3)■■=■■+■■=

    ■■+■■=1;

    (4)■■=■■-■■=

    ■■-■■=1

    性質(zhì)4 設(shè)α,β為x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小,且α~λ1x■,β~μ1x■(λ1·μ1≠0,m1>0,n1>0).則αβ~λ1 μ1x■。

    利用等價(jià)的傳遞性和羅比達(dá)法則等運(yùn)算可以得到連續(xù)可導(dǎo)的無(wú)窮小都能找到與之等價(jià)的冪函數(shù)λxm(λ,m∈R且λ≠0,m>0)。

    如:x→0時(shí),lncosx=ln[(cosx-1)+1]~cosx-1~-■x2;

    esinx-etanx=etanx(esinx-tanx-1)~etanx(sinx-tanx)~etanxtanx(1-cosx)~-■x3

    二、等價(jià)無(wú)窮小替換定理的推廣

    等價(jià)無(wú)窮小替換定理[8]在自變量的同一變化過(guò)程中,設(shè)α~α1,β~β1,且lim■存在,則lim■=lim■。

    等價(jià)無(wú)窮小替換定理的本質(zhì)是在求極限時(shí)用冪函數(shù)替換各種初等無(wú)窮小。

    等價(jià)無(wú)窮小替換定理是計(jì)算極限的一個(gè)重要而有力的工具。在極限運(yùn)算中,等價(jià)無(wú)窮小替換定理能降低題目難度,減少運(yùn)算步驟,使得求極限問(wèn)題變得生動(dòng)有趣。但是該定理要求整體替換,即只能替換乘積因子。在和差運(yùn)算中,并非所有的極限都不能使用等價(jià)無(wú)窮小替換定理,有的可以,有的不可以。在什么情況下,和差運(yùn)算中能夠使用等價(jià)無(wú)窮小替換定理的研究很有必要。

    定理 設(shè)x→0時(shí)α,β,γ是無(wú)窮小,且α~λxm,β~μxn■,γ~sxt(λ·μ·s≠0,m>0,n>0,t>0)。

    (1)若m>n,則■■=0,n>t■,n=t∞,n

    (2)若mt■,m=t∞,m

    (3)若m=n,且λ+μ≠0則■■=0,m>t■,m=t∞,m

    (4)若m=n,且λ-μ≠0則■■=0,m>t■,m=t∞,m

    證 (1)若m>n,則■■=■■=■■=0,n>t■,n=t∞,n

    (2)若mt■,m=t∞,m

    (3)若m=n,且λ+μ≠0,則■■=■■=0,m>t■,m=t∞,m

    (4)若m=n,且λ-μ≠0,則■■=■■=0,m>t■,m=t∞,m

    該定理不僅給出了等價(jià)無(wú)窮小替換和差因子的使用條件,同時(shí)給出了結(jié)論。運(yùn)用該定理時(shí),首先要觀察題目的結(jié)構(gòu),其次尋找函數(shù)中的與各因子等價(jià)的冪函數(shù)λxm,λxn,sxt,然后比較冪指數(shù)m,n,t,再利用定理進(jìn)行運(yùn)算。比較冪指數(shù)m,n,t時(shí),先比較m,n求得min{m,n},再比較min{m,n}與t的大小。

    例1 求■■。

    解 x→0時(shí)4sinx2~4x2,x3~x3,所以由引理的結(jié)論(1)得4sinx2+x3~4x2。又1-cosx~-■x2,因此由定理可得

    ■■=■■=■。

    例2 求■■。

    解 x→0時(shí)ln(1+2x)~2x,sinx~x,所以由引理的結(jié)論(3)得ln(1+2x)+sinx~3x。又tanx~x,因此由定理可得

    ■■=■■=3

    例3 求■■。

    解 x→0時(shí)■~■x,■~■x2,所以由引理的結(jié)論(4)得■-■~■x-(-■x)=x。又ex-1~x,因此由定理可得■■=■■=1。

    例4 求■■。

    解 x→0時(shí)■~■x4,■-1~■x4,所以由引理的結(jié)論(3)得■+■-1~■x4+■x4=x4。cosx-e■=(cosx-1)-(e■-1),而cosx-1~-■x2,e■-1~x2,所以由引理的結(jié)論(4)得(cosx-1)-(e■-1)~-■x2。又arctanx~x,因此

    ■■=■■=0。

    上述例題運(yùn)用定理均簡(jiǎn)化了計(jì)算,但運(yùn)用定理時(shí)一定要注意定理的條件是否滿足,若果不滿足定理的條件,就不能使用。如■■就不能使用定理,因?yàn)閟in2x~2x,tan2x~2x,2-2=0不滿足定理的條件。

    參考文獻(xiàn):

    [1]呂端良,王云麗.關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小應(yīng)用的探討[J].科技信息,2013,(6).

    [2]吳漢華.關(guān)于無(wú)窮小的等價(jià)替換及其推廣[J].閩西職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2005,(6).

    [3]陳新明.用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限中的一些問(wèn)題[J].高等數(shù)學(xué)研究,2008,(5).

    [4]李秋英,申亞麗.關(guān)于無(wú)窮小(大)學(xué)習(xí)中的幾點(diǎn)注記[J].運(yùn)城學(xué)院學(xué)報(bào),2013,(2).

    [5]韋玉程.無(wú)窮小的再認(rèn)識(shí)[J].河池學(xué)院學(xué)報(bào),2013,(2).

    [6]王強(qiáng).無(wú)窮小量的階[J].湘南學(xué)院學(xué)報(bào),2013,(2).

    [7]劉明鼎.等價(jià)無(wú)窮小在含積分上限函數(shù)中的應(yīng)用[J].牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào),2013,(2).

    [8]同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)第六版[M].北京:高等教育出版社,2011.

    項(xiàng)目基金:本論文得到山東省高等學(xué)校青年骨干教師國(guó)內(nèi)訪問(wèn)學(xué)者項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)資助。濱州學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目——BYJYYB201121;濱州學(xué)院優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊(duì)——BZXYJXTD201302。

    作者簡(jiǎn)介:竇慧(1974—),女,山東惠民人,碩士,講師,研究方向:高等數(shù)學(xué)研究和微分方程。

    摘要:通過(guò)等價(jià)無(wú)窮小的認(rèn)知、分析,指出了等價(jià)無(wú)窮小替換定理的本質(zhì)是將無(wú)窮小的基本初等函數(shù)替換為無(wú)窮小的冪函數(shù),將等價(jià)無(wú)窮小替換定理由乘積推廣到了和差運(yùn)算,建立了新的定理。

    關(guān)鍵詞:基本初等無(wú)窮??;等價(jià);初等無(wú)窮??;冪函數(shù)

    中圖分類號(hào):G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):1674-9324(2014)30-0106-03

    文[1~7]給出了無(wú)窮小的定義、無(wú)窮小的階以及等價(jià)無(wú)窮小替換定理的各種不同變形,討論了等價(jià)無(wú)窮替換定理的各種應(yīng)用。本文說(shuō)明了等價(jià)無(wú)窮小替換定理的本質(zhì)——用冪函數(shù)等價(jià)替換初等無(wú)窮小,并在此基礎(chǔ)上將等價(jià)無(wú)窮小替換定理的應(yīng)用范圍由乘法運(yùn)算推廣到和差運(yùn)算。

    一、初等無(wú)窮小的定義和性質(zhì)

    眾所周知,當(dāng)x→0時(shí)sinx,arcsinx,tanx,arctanx,1-cosx,■-1,ex-1,ln(1+x)均為無(wú)窮小,而且與λxm(λ,m∈R且λ≠0,m>0)等價(jià)。為了描述方便,作如下定義:

    定義 稱時(shí)sinx,arcsinx,tanx,arctanx,1-cosx,■-1,ex-1,ln(1+x)為當(dāng)x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小。

    性質(zhì)1 x→0時(shí)的基本無(wú)窮小均與λxm(λ,m∈R且λ≠0,m>0)等價(jià)。

    性質(zhì)2 基本初等無(wú)窮小復(fù)合運(yùn)算后所得的初等無(wú)窮小λxm(λ,m∈R且λ≠0,m>0)等價(jià)。

    證設(shè)α(x)、f(x)均為x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小,且α(x)~λ1x■,f(x)~λ2x■(λ1·λ2≠0,m1>0,m2>0),則

    ■■=■■·■=1

    即f(α(x))也為x→0時(shí)的初等無(wú)窮小,且f(α(x))~λ■λ■■x■,令λ=λ■λ■■,μ=m1m2,則f(α(x))~λxm(λ,m∈R且λ≠0,m>0)。即基本初等初等無(wú)窮小復(fù)合運(yùn)算后所得的初等無(wú)窮小也與λxm(λ,m∈R且λ≠0,m>0)等價(jià)。

    性質(zhì)3 設(shè)α,β為x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小,且α~λ1x■,β~μ1x■(λ1·μ1≠0,m1>0,n1>0).則(1)m1>n1時(shí),α±β~±μ1x■;(2)m1

    (3)m1=n1,且λ1+μ1≠0時(shí),α+β~(λ1+μ1)x■;

    (4)m1=n1,且λ1-μ1≠0時(shí),α+β~(λ1+μ1)x■。

    證 (1)■■=■■=■■=■■±1=±1;

    (2)■■=■■±■■=1■■=1;

    (3)■■=■■+■■=

    ■■+■■=1;

    (4)■■=■■-■■=

    ■■-■■=1

    性質(zhì)4 設(shè)α,β為x→0時(shí)的基本初等無(wú)窮小,且α~λ1x■,β~μ1x■(λ1·μ1≠0,m1>0,n1>0).則αβ~λ1 μ1x■。

    利用等價(jià)的傳遞性和羅比達(dá)法則等運(yùn)算可以得到連續(xù)可導(dǎo)的無(wú)窮小都能找到與之等價(jià)的冪函數(shù)λxm(λ,m∈R且λ≠0,m>0)。

    如:x→0時(shí),lncosx=ln[(cosx-1)+1]~cosx-1~-■x2;

    esinx-etanx=etanx(esinx-tanx-1)~etanx(sinx-tanx)~etanxtanx(1-cosx)~-■x3

    二、等價(jià)無(wú)窮小替換定理的推廣

    等價(jià)無(wú)窮小替換定理[8]在自變量的同一變化過(guò)程中,設(shè)α~α1,β~β1,且lim■存在,則lim■=lim■。

    等價(jià)無(wú)窮小替換定理的本質(zhì)是在求極限時(shí)用冪函數(shù)替換各種初等無(wú)窮小。

    等價(jià)無(wú)窮小替換定理是計(jì)算極限的一個(gè)重要而有力的工具。在極限運(yùn)算中,等價(jià)無(wú)窮小替換定理能降低題目難度,減少運(yùn)算步驟,使得求極限問(wèn)題變得生動(dòng)有趣。但是該定理要求整體替換,即只能替換乘積因子。在和差運(yùn)算中,并非所有的極限都不能使用等價(jià)無(wú)窮小替換定理,有的可以,有的不可以。在什么情況下,和差運(yùn)算中能夠使用等價(jià)無(wú)窮小替換定理的研究很有必要。

    定理 設(shè)x→0時(shí)α,β,γ是無(wú)窮小,且α~λxm,β~μxn■,γ~sxt(λ·μ·s≠0,m>0,n>0,t>0)。

    (1)若m>n,則■■=0,n>t■,n=t∞,n

    (2)若mt■,m=t∞,m

    (3)若m=n,且λ+μ≠0則■■=0,m>t■,m=t∞,m

    (4)若m=n,且λ-μ≠0則■■=0,m>t■,m=t∞,m

    證 (1)若m>n,則■■=■■=■■=0,n>t■,n=t∞,n

    (2)若mt■,m=t∞,m

    (3)若m=n,且λ+μ≠0,則■■=■■=0,m>t■,m=t∞,m

    (4)若m=n,且λ-μ≠0,則■■=■■=0,m>t■,m=t∞,m

    該定理不僅給出了等價(jià)無(wú)窮小替換和差因子的使用條件,同時(shí)給出了結(jié)論。運(yùn)用該定理時(shí),首先要觀察題目的結(jié)構(gòu),其次尋找函數(shù)中的與各因子等價(jià)的冪函數(shù)λxm,λxn,sxt,然后比較冪指數(shù)m,n,t,再利用定理進(jìn)行運(yùn)算。比較冪指數(shù)m,n,t時(shí),先比較m,n求得min{m,n},再比較min{m,n}與t的大小。

    例1 求■■。

    解 x→0時(shí)4sinx2~4x2,x3~x3,所以由引理的結(jié)論(1)得4sinx2+x3~4x2。又1-cosx~-■x2,因此由定理可得

    ■■=■■=■。

    例2 求■■。

    解 x→0時(shí)ln(1+2x)~2x,sinx~x,所以由引理的結(jié)論(3)得ln(1+2x)+sinx~3x。又tanx~x,因此由定理可得

    ■■=■■=3

    例3 求■■。

    解 x→0時(shí)■~■x,■~■x2,所以由引理的結(jié)論(4)得■-■~■x-(-■x)=x。又ex-1~x,因此由定理可得■■=■■=1。

    例4 求■■。

    解 x→0時(shí)■~■x4,■-1~■x4,所以由引理的結(jié)論(3)得■+■-1~■x4+■x4=x4。cosx-e■=(cosx-1)-(e■-1),而cosx-1~-■x2,e■-1~x2,所以由引理的結(jié)論(4)得(cosx-1)-(e■-1)~-■x2。又arctanx~x,因此

    ■■=■■=0。

    上述例題運(yùn)用定理均簡(jiǎn)化了計(jì)算,但運(yùn)用定理時(shí)一定要注意定理的條件是否滿足,若果不滿足定理的條件,就不能使用。如■■就不能使用定理,因?yàn)閟in2x~2x,tan2x~2x,2-2=0不滿足定理的條件。

    參考文獻(xiàn):

    [1]呂端良,王云麗.關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小應(yīng)用的探討[J].科技信息,2013,(6).

    [2]吳漢華.關(guān)于無(wú)窮小的等價(jià)替換及其推廣[J].閩西職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2005,(6).

    [3]陳新明.用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限中的一些問(wèn)題[J].高等數(shù)學(xué)研究,2008,(5).

    [4]李秋英,申亞麗.關(guān)于無(wú)窮?。ù螅W(xué)習(xí)中的幾點(diǎn)注記[J].運(yùn)城學(xué)院學(xué)報(bào),2013,(2).

    [5]韋玉程.無(wú)窮小的再認(rèn)識(shí)[J].河池學(xué)院學(xué)報(bào),2013,(2).

    [6]王強(qiáng).無(wú)窮小量的階[J].湘南學(xué)院學(xué)報(bào),2013,(2).

    [7]劉明鼎.等價(jià)無(wú)窮小在含積分上限函數(shù)中的應(yīng)用[J].牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào),2013,(2).

    [8]同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)第六版[M].北京:高等教育出版社,2011.

    項(xiàng)目基金:本論文得到山東省高等學(xué)校青年骨干教師國(guó)內(nèi)訪問(wèn)學(xué)者項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)資助。濱州學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目——BYJYYB201121;濱州學(xué)院優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊(duì)——BZXYJXTD201302。

    作者簡(jiǎn)介:竇慧(1974—),女,山東惠民人,碩士,講師,研究方向:高等數(shù)學(xué)研究和微分方程。

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