運(yùn)用龔伯茲曲線構(gòu)造收入分布模型

曹建莉，趙夢(mèng)亞

（河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院， 河南 鄭州450001）

運(yùn)用龔伯茲曲線構(gòu)造收入分布模型

曹建莉，趙夢(mèng)亞

（河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院， 河南 鄭州450001）

本文采用適當(dāng)?shù)那€直接擬合洛倫茲曲線來(lái)建立人口度量模型，從而使居民收入分配的公平程度得到定量的描述.其主要思想是：運(yùn)用改造后的龔伯茲（Gompertz）曲線來(lái)擬合收入分布函數(shù)進(jìn)而推算出洛倫茲曲線以建立新模型，并與其它10種模型以均方誤差（MSE）和平均絕對(duì)誤差（MAE）及最大絕對(duì)誤差（MAS）為標(biāo)準(zhǔn)，運(yùn)用matlab軟件對(duì)各個(gè)模型的擬合精度進(jìn)行計(jì)算并比較，結(jié)果顯示所建新模型的擬合情況是最好的.

龔伯茲曲線；洛倫茲曲線；收入分布

1 引言

居民收入分配關(guān)系到廣大民眾的生活水平，分配公平程度是社會(huì)各界廣泛關(guān)注的話題.我國(guó)處于經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型期，收入分配格局處于重要的調(diào)整期，合理的收入分配格局正處于形成階段.因此，監(jiān)控收入分配格局的變化是經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的重要課題.

2 模型的建立與檢驗(yàn)

2.1 模型的建立

假定收入?yún)^(qū)間R為[0，+∞)，收入隨機(jī)變量x∈R的分布函數(shù)為F(x)，須滿足如下條件:①當(dāng)時(shí)x∈(0，+∞)，0

為了使得收入分布具有函數(shù)形式且滿足上述條件，我們借鑒龔伯茲分布Y(x).該分布函數(shù)滿足微分方程:

其中c為常數(shù)項(xiàng).為了使得收入分布函數(shù)具有較好的擬合效果以及對(duì)數(shù)據(jù)的“自適應(yīng)”能力，我們改造龔伯茲分布，將式中的常數(shù)c替換為待估函數(shù)w(x)，有

求解式(2)可得

(3)具有參數(shù)估計(jì)的形式，且滿足收入分布條件①，②和③.則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)W(x)的估計(jì),為了體現(xiàn)收入分布Y(x)的“自適應(yīng)”能力,我們采用樣條擬合W(x),將結(jié)果代入式(3)可計(jì)算出收入分布函數(shù).

將得到的收入分布函數(shù)通過(guò)求導(dǎo)和積分得到收入密度函數(shù)和洛倫茲曲線，進(jìn)而計(jì)算基尼系數(shù).將(3)式關(guān)于x求導(dǎo)，可得收入密度函數(shù)為

根據(jù)收入分布函數(shù)和洛倫茲曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，設(shè)收入累積比率為縱軸，人口累積比率P為橫軸的曲線圖形如圖1.

圖1 洛倫茲曲線圖

這里“人口累積比率”為收入分布函數(shù)Y(x)，“收入累積比率”可表示為，其中為期望收入.則洛倫茲曲線為：

其中：2.2模型的擬合檢驗(yàn)

前人用來(lái)描繪洛倫茲曲線的方程有很多，我們通過(guò)現(xiàn)有的文獻(xiàn)找出10種洛倫茲曲線的模型如下：

圖2 （a） 新建模型擬合函數(shù)圖像

圖2 (c)對(duì)比模型三擬合函數(shù)圖像

模型的擬合情況如下，

為確定擬合精度的好壞,我們分別采用以下三種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較.

均方誤差(MSE,mean squared error)：

平均絕對(duì)誤差(MAE,mean absolute error)：

最大絕對(duì)誤差(MAS,maximum absolute error)

均方誤差(MSE,mean squared error)：指參數(shù)估計(jì)值與參數(shù)真值之差平方的期望值，MSE可以評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的變化程度，MSE的值越小，說(shuō)明預(yù)測(cè)模型描述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)具有更好的精確度；平均絕對(duì)誤差(MAE,mean absolute error)：是所有單個(gè)觀測(cè)值與算術(shù)平均值的偏差的絕對(duì)值平均.與平均誤差相比，平均絕對(duì)誤差由于離差被絕對(duì)值化，不會(huì)出現(xiàn)正負(fù)相抵消的情況，平均絕對(duì)誤差能更好地反映預(yù)測(cè)值誤差的實(shí)際情況；擬合情況如圖2（a）、圖2（b）、圖2(c)和圖2(d).

圖2 （b） 對(duì)比模型一擬合函數(shù)圖像

圖2 (d)對(duì)比模型六擬合函數(shù)圖像

文獻(xiàn)中10種模型的擬合度結(jié)果見(jiàn)表1，通過(guò)比較可知我們新建的模型擬合優(yōu)度最好.文中的參數(shù)估計(jì)，方程的擬合，以及誤差的計(jì)算，均由matlab軟件完成.

表1 10種模型的擬合檢驗(yàn)

3 結(jié)論

為擬合給定數(shù)據(jù)的洛倫茲曲線，我們先用龔伯茲（Gompertz）函數(shù)擬合收入分布函數(shù)，再用擬合的分布函數(shù)推導(dǎo)出洛倫茲曲線.經(jīng)檢驗(yàn)，該方法擬合出的洛倫茲曲線精確度比較高.

〔1〕Foster,J.E.and M.C.Wolfson,2009.Polarization and the decline of the middle class:Canada and the U.S. Journal of Economic Inequality 8,247-273.

〔2〕Wang,Z.X.,Y-K Ng,and R.Smyth,2011.A general method for creating Lorenz curves.The Review of Income and Wealth 57,561-582.

〔3〕Wang,Z.X.and R.Smyth,A hybrid method for creating Lorenz curves with an application to measuring world income inequality.，2013.

〔4〕張奎 ，王原君.Sarabia洛倫茲曲線模型的推廣[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2010，23（3）:501-507.

〔5〕黃恒軍，劉黎明.一種收入分布函數(shù)序列的擬合方法及擴(kuò)展應(yīng)用[J].統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2011,26（12）：174-181．

O242

A

1673-260X（2014）06-0006-03

本文的工作受到河南省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃項(xiàng)目[2012]-JKGHAB-0027和河南工業(yè)大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目的支持和資助，在此表示感謝