數(shù)形結(jié)合:一種重要數(shù)學(xué)思維模式的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)

付夢(mèng)琳+劉海峰++周慶樺

摘 要：數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要思維方式。本文通過(guò)3個(gè)題例分析，從數(shù)形結(jié)合角度探索解題途徑，對(duì)數(shù)形結(jié)合模式在解題中的方便之處進(jìn)行梳理和總結(jié)，從學(xué)習(xí)角度對(duì)這一經(jīng)典的數(shù)學(xué)思維方法的理解與把握方面談?wù)勛约涸趯W(xué)習(xí)中的體會(huì)，以期與同學(xué)們共同提高數(shù)學(xué)思維能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；解題；化繁為簡(jiǎn)

一、引言

數(shù)學(xué)大師華羅庚曾精彩地詮釋：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休。”恩格斯也曾說(shuō)過(guò)：“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系?！睌?shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，利用這種手段解題常常達(dá)到事半功倍的效果?！皵?shù)”反映數(shù)量關(guān)系，有精確性；“形”反映圖形性質(zhì)，有直觀性。數(shù)形結(jié)合就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀的幾何圖形結(jié)合起來(lái)，讓代數(shù)運(yùn)算法與直觀圖像法優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，抽象思維和形象思維共同運(yùn)作，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，找到解決問(wèn)題的最佳方案。

二、數(shù)形結(jié)合的途徑

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們總能發(fā)現(xiàn)“數(shù)”和“形”是分不開(kāi)的?；螢閿?shù)的橋梁是解析幾何，涉及到代數(shù)運(yùn)算的方程組求解、變量代換、不等式的構(gòu)造與求解等方面，特別是在求異面直線構(gòu)成的角、線面角、面與面構(gòu)成的角以及判斷點(diǎn)線面的位置關(guān)系等問(wèn)題中，向量的代數(shù)運(yùn)算起著至關(guān)重要的作用。化數(shù)為形的例子也不勝枚舉，如解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，畫(huà)出大致圖像對(duì)解題有很大的幫助；判斷函數(shù)單調(diào)性、確定函數(shù)零點(diǎn)、尋找函數(shù)最值等方面化數(shù)為形的途徑常常為解決問(wèn)題提供直觀印象及解題途徑啟示?？傊?數(shù)形結(jié)合以數(shù)解形，以形助數(shù)，化繁為簡(jiǎn)，化難為易是一種重要的數(shù)學(xué)思維模式。

三、數(shù)形結(jié)合實(shí)例及思路分析

本文通過(guò)幾個(gè)數(shù)形結(jié)合的題例分析，探討其在數(shù)學(xué)問(wèn)題處理上的一般思路、解題技巧及方法總結(jié)，以期與同學(xué)一起培養(yǎng)借助這種數(shù)學(xué)模式處理具體問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維能力。分析下面題例：

例1：已知橢圓C:■+■=1,在C上任取三個(gè)不同的點(diǎn)P1，P2，P3，使得∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3，證明■+■+■為定值，并求出該值。

分析：與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程■+■=1對(duì)比，此處a=6，b=3■，c=3，準(zhǔn)線x=12，a=1/2。

設(shè)∠AFP1=α?圯∠AFP2=α+2x/3∠AFP3=α+4x/3（按逆時(shí)針?lè)较颍?，記|FP1|=x1，則|FM1|=x1cosα，點(diǎn)P1到準(zhǔn)線距離為2x1，由FD=FM+MD=x1cosα+2x1=■-c=9，故有x1=■?圯■=■，同理■=■，■=■,因此■+■+■=■=■.

點(diǎn)評(píng)：條件∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3為我們表示FP1,FP2,FP3提供了便利，也暗示了我們本題可能需要尋求幾何方法而非僅憑代數(shù)手段硬算。盡管解析幾何題一般思路是聯(lián)立方程組求解，但根據(jù)圓錐曲線橢圓的定義和幾何性質(zhì)解題，往往是簡(jiǎn)化解題過(guò)程的最佳手段。這題若是用點(diǎn)斜式設(shè)出方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式解出線段FP1長(zhǎng)度，類似解出FP2,FP3長(zhǎng)度，同樣可得到結(jié)果，但運(yùn)算量過(guò)大，非最佳策略。

例2：如果三個(gè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2+y2+xy=■，x2+z2+xz=■，y2+z2+yz=36，求xy+yz+zx的值。

解：將三個(gè)等式變形為x2+y2-2xycos120°=(■)2，x2+z2-2xzcos120°=(■)2，y2+z2-2yzcos120°=62，如圖，構(gòu)造△PBC、△PCA、△PAB，使PB=x，PA=y，PC=z.∠BPC=∠CPA=∠APB=120。AB=13/2,BC=5/2,AC=6.由勾股定理,△ABC是一個(gè)直角三角形.由S△ABC=S△PBC+S△PAC=S△PAB

易得：■（xy+yz+zx）sin120°=■，從而得xy+yz+zx=10■.

點(diǎn)評(píng)：從原題條件出發(fā)，根據(jù)題設(shè)表達(dá)式構(gòu)造基本幾何圖形是解答此題的關(guān)鍵。觀察題目給的三個(gè)條件，很容易聯(lián)想到余弦定理；三個(gè)數(shù)據(jù)也與勾股數(shù)相關(guān)，這些都提示我們將這個(gè)問(wèn)題放到三角形中研究。這樣問(wèn)題就顯得清晰、簡(jiǎn)單、直觀。

例3：已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

問(wèn)：f(f(x))=x是否有實(shí)數(shù)根？并證明你的結(jié)論。

解法一：分析法

假設(shè)f(f(x))=x有實(shí)根，即存在實(shí)數(shù)x0使得f(f(x0)=x0，令f(x0)=t，此時(shí)有點(diǎn)A(x0,t),B(t,x0)都是y=f(x)上的點(diǎn)。由于f(x)=x沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以A，B這兩點(diǎn)不重合且關(guān)于直線y=x對(duì)稱。

所以y=f(x)=ax2+bx+c與y=x必有交點(diǎn)，即f(x)=x有實(shí)根，與條件矛盾，所以f(f(x))=x沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

解法二：數(shù)形結(jié)合圖像法

當(dāng)a>0時(shí)，∵f(x)=x無(wú)實(shí)根，∴?坌x,f(x)>x,f(f(x))>f(x)>x對(duì)，∴f(f(x))=x無(wú)實(shí)數(shù)根；當(dāng)a<0時(shí)，同理可證f(f(x))

■

點(diǎn)評(píng)：本題一題多解，通過(guò)比較，我們發(fā)現(xiàn)方法一簡(jiǎn)潔嚴(yán)謹(jǐn)，方法二最直觀易懂。

摘 要：數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要思維方式。本文通過(guò)3個(gè)題例分析，從數(shù)形結(jié)合角度探索解題途徑，對(duì)數(shù)形結(jié)合模式在解題中的方便之處進(jìn)行梳理和總結(jié)，從學(xué)習(xí)角度對(duì)這一經(jīng)典的數(shù)學(xué)思維方法的理解與把握方面談?wù)勛约涸趯W(xué)習(xí)中的體會(huì)，以期與同學(xué)們共同提高數(shù)學(xué)思維能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；解題；化繁為簡(jiǎn)

一、引言

數(shù)學(xué)大師華羅庚曾精彩地詮釋：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休。”恩格斯也曾說(shuō)過(guò)：“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系?！睌?shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，利用這種手段解題常常達(dá)到事半功倍的效果?！皵?shù)”反映數(shù)量關(guān)系，有精確性；“形”反映圖形性質(zhì)，有直觀性。數(shù)形結(jié)合就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀的幾何圖形結(jié)合起來(lái)，讓代數(shù)運(yùn)算法與直觀圖像法優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，抽象思維和形象思維共同運(yùn)作，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，找到解決問(wèn)題的最佳方案。

二、數(shù)形結(jié)合的途徑

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們總能發(fā)現(xiàn)“數(shù)”和“形”是分不開(kāi)的?；螢閿?shù)的橋梁是解析幾何，涉及到代數(shù)運(yùn)算的方程組求解、變量代換、不等式的構(gòu)造與求解等方面，特別是在求異面直線構(gòu)成的角、線面角、面與面構(gòu)成的角以及判斷點(diǎn)線面的位置關(guān)系等問(wèn)題中，向量的代數(shù)運(yùn)算起著至關(guān)重要的作用。化數(shù)為形的例子也不勝枚舉，如解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，畫(huà)出大致圖像對(duì)解題有很大的幫助；判斷函數(shù)單調(diào)性、確定函數(shù)零點(diǎn)、尋找函數(shù)最值等方面化數(shù)為形的途徑常常為解決問(wèn)題提供直觀印象及解題途徑啟示?？傊?數(shù)形結(jié)合以數(shù)解形，以形助數(shù)，化繁為簡(jiǎn)，化難為易是一種重要的數(shù)學(xué)思維模式。

三、數(shù)形結(jié)合實(shí)例及思路分析

本文通過(guò)幾個(gè)數(shù)形結(jié)合的題例分析，探討其在數(shù)學(xué)問(wèn)題處理上的一般思路、解題技巧及方法總結(jié)，以期與同學(xué)一起培養(yǎng)借助這種數(shù)學(xué)模式處理具體問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維能力。分析下面題例：

例1：已知橢圓C:■+■=1,在C上任取三個(gè)不同的點(diǎn)P1，P2，P3，使得∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3，證明■+■+■為定值，并求出該值。

分析：與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程■+■=1對(duì)比，此處a=6，b=3■，c=3，準(zhǔn)線x=12，a=1/2。

設(shè)∠AFP1=α?圯∠AFP2=α+2x/3∠AFP3=α+4x/3（按逆時(shí)針?lè)较颍?，記|FP1|=x1，則|FM1|=x1cosα，點(diǎn)P1到準(zhǔn)線距離為2x1，由FD=FM+MD=x1cosα+2x1=■-c=9，故有x1=■?圯■=■，同理■=■，■=■,因此■+■+■=■=■.

點(diǎn)評(píng)：條件∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3為我們表示FP1,FP2,FP3提供了便利，也暗示了我們本題可能需要尋求幾何方法而非僅憑代數(shù)手段硬算。盡管解析幾何題一般思路是聯(lián)立方程組求解，但根據(jù)圓錐曲線橢圓的定義和幾何性質(zhì)解題，往往是簡(jiǎn)化解題過(guò)程的最佳手段。這題若是用點(diǎn)斜式設(shè)出方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式解出線段FP1長(zhǎng)度，類似解出FP2,FP3長(zhǎng)度，同樣可得到結(jié)果，但運(yùn)算量過(guò)大，非最佳策略。

例2：如果三個(gè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2+y2+xy=■，x2+z2+xz=■，y2+z2+yz=36，求xy+yz+zx的值。

解：將三個(gè)等式變形為x2+y2-2xycos120°=(■)2，x2+z2-2xzcos120°=(■)2，y2+z2-2yzcos120°=62，如圖，構(gòu)造△PBC、△PCA、△PAB，使PB=x，PA=y，PC=z.∠BPC=∠CPA=∠APB=120。AB=13/2,BC=5/2,AC=6.由勾股定理,△ABC是一個(gè)直角三角形.由S△ABC=S△PBC+S△PAC=S△PAB

易得：■（xy+yz+zx）sin120°=■，從而得xy+yz+zx=10■.

點(diǎn)評(píng)：從原題條件出發(fā)，根據(jù)題設(shè)表達(dá)式構(gòu)造基本幾何圖形是解答此題的關(guān)鍵。觀察題目給的三個(gè)條件，很容易聯(lián)想到余弦定理；三個(gè)數(shù)據(jù)也與勾股數(shù)相關(guān)，這些都提示我們將這個(gè)問(wèn)題放到三角形中研究。這樣問(wèn)題就顯得清晰、簡(jiǎn)單、直觀。

例3：已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

問(wèn)：f(f(x))=x是否有實(shí)數(shù)根？并證明你的結(jié)論。

解法一：分析法

假設(shè)f(f(x))=x有實(shí)根，即存在實(shí)數(shù)x0使得f(f(x0)=x0，令f(x0)=t，此時(shí)有點(diǎn)A(x0,t),B(t,x0)都是y=f(x)上的點(diǎn)。由于f(x)=x沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以A，B這兩點(diǎn)不重合且關(guān)于直線y=x對(duì)稱。

所以y=f(x)=ax2+bx+c與y=x必有交點(diǎn)，即f(x)=x有實(shí)根，與條件矛盾，所以f(f(x))=x沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

解法二：數(shù)形結(jié)合圖像法

當(dāng)a>0時(shí)，∵f(x)=x無(wú)實(shí)根，∴?坌x,f(x)>x,f(f(x))>f(x)>x對(duì)，∴f(f(x))=x無(wú)實(shí)數(shù)根；當(dāng)a<0時(shí)，同理可證f(f(x))

■

點(diǎn)評(píng)：本題一題多解，通過(guò)比較，我們發(fā)現(xiàn)方法一簡(jiǎn)潔嚴(yán)謹(jǐn)，方法二最直觀易懂。

摘 要：數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要思維方式。本文通過(guò)3個(gè)題例分析，從數(shù)形結(jié)合角度探索解題途徑，對(duì)數(shù)形結(jié)合模式在解題中的方便之處進(jìn)行梳理和總結(jié)，從學(xué)習(xí)角度對(duì)這一經(jīng)典的數(shù)學(xué)思維方法的理解與把握方面談?wù)勛约涸趯W(xué)習(xí)中的體會(huì)，以期與同學(xué)們共同提高數(shù)學(xué)思維能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；解題；化繁為簡(jiǎn)

一、引言

數(shù)學(xué)大師華羅庚曾精彩地詮釋：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休。”恩格斯也曾說(shuō)過(guò)：“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系?！睌?shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，利用這種手段解題常常達(dá)到事半功倍的效果?！皵?shù)”反映數(shù)量關(guān)系，有精確性；“形”反映圖形性質(zhì)，有直觀性。數(shù)形結(jié)合就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀的幾何圖形結(jié)合起來(lái)，讓代數(shù)運(yùn)算法與直觀圖像法優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，抽象思維和形象思維共同運(yùn)作，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，找到解決問(wèn)題的最佳方案。

二、數(shù)形結(jié)合的途徑

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們總能發(fā)現(xiàn)“數(shù)”和“形”是分不開(kāi)的?；螢閿?shù)的橋梁是解析幾何，涉及到代數(shù)運(yùn)算的方程組求解、變量代換、不等式的構(gòu)造與求解等方面，特別是在求異面直線構(gòu)成的角、線面角、面與面構(gòu)成的角以及判斷點(diǎn)線面的位置關(guān)系等問(wèn)題中，向量的代數(shù)運(yùn)算起著至關(guān)重要的作用。化數(shù)為形的例子也不勝枚舉，如解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，畫(huà)出大致圖像對(duì)解題有很大的幫助；判斷函數(shù)單調(diào)性、確定函數(shù)零點(diǎn)、尋找函數(shù)最值等方面化數(shù)為形的途徑常常為解決問(wèn)題提供直觀印象及解題途徑啟示?？傊?數(shù)形結(jié)合以數(shù)解形，以形助數(shù)，化繁為簡(jiǎn)，化難為易是一種重要的數(shù)學(xué)思維模式。

三、數(shù)形結(jié)合實(shí)例及思路分析

本文通過(guò)幾個(gè)數(shù)形結(jié)合的題例分析，探討其在數(shù)學(xué)問(wèn)題處理上的一般思路、解題技巧及方法總結(jié)，以期與同學(xué)一起培養(yǎng)借助這種數(shù)學(xué)模式處理具體問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維能力。分析下面題例：

例1：已知橢圓C:■+■=1,在C上任取三個(gè)不同的點(diǎn)P1，P2，P3，使得∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3，證明■+■+■為定值，并求出該值。

分析：與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程■+■=1對(duì)比，此處a=6，b=3■，c=3，準(zhǔn)線x=12，a=1/2。

設(shè)∠AFP1=α?圯∠AFP2=α+2x/3∠AFP3=α+4x/3（按逆時(shí)針?lè)较颍?，記|FP1|=x1，則|FM1|=x1cosα，點(diǎn)P1到準(zhǔn)線距離為2x1，由FD=FM+MD=x1cosα+2x1=■-c=9，故有x1=■?圯■=■，同理■=■，■=■,因此■+■+■=■=■.

點(diǎn)評(píng)：條件∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3為我們表示FP1,FP2,FP3提供了便利，也暗示了我們本題可能需要尋求幾何方法而非僅憑代數(shù)手段硬算。盡管解析幾何題一般思路是聯(lián)立方程組求解，但根據(jù)圓錐曲線橢圓的定義和幾何性質(zhì)解題，往往是簡(jiǎn)化解題過(guò)程的最佳手段。這題若是用點(diǎn)斜式設(shè)出方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式解出線段FP1長(zhǎng)度，類似解出FP2,FP3長(zhǎng)度，同樣可得到結(jié)果，但運(yùn)算量過(guò)大，非最佳策略。

例2：如果三個(gè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2+y2+xy=■，x2+z2+xz=■，y2+z2+yz=36，求xy+yz+zx的值。

解：將三個(gè)等式變形為x2+y2-2xycos120°=(■)2，x2+z2-2xzcos120°=(■)2，y2+z2-2yzcos120°=62，如圖，構(gòu)造△PBC、△PCA、△PAB，使PB=x，PA=y，PC=z.∠BPC=∠CPA=∠APB=120。AB=13/2,BC=5/2,AC=6.由勾股定理,△ABC是一個(gè)直角三角形.由S△ABC=S△PBC+S△PAC=S△PAB

易得：■（xy+yz+zx）sin120°=■，從而得xy+yz+zx=10■.

點(diǎn)評(píng)：從原題條件出發(fā)，根據(jù)題設(shè)表達(dá)式構(gòu)造基本幾何圖形是解答此題的關(guān)鍵。觀察題目給的三個(gè)條件，很容易聯(lián)想到余弦定理；三個(gè)數(shù)據(jù)也與勾股數(shù)相關(guān)，這些都提示我們將這個(gè)問(wèn)題放到三角形中研究。這樣問(wèn)題就顯得清晰、簡(jiǎn)單、直觀。

例3：已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

問(wèn)：f(f(x))=x是否有實(shí)數(shù)根？并證明你的結(jié)論。

解法一：分析法

假設(shè)f(f(x))=x有實(shí)根，即存在實(shí)數(shù)x0使得f(f(x0)=x0，令f(x0)=t，此時(shí)有點(diǎn)A(x0,t),B(t,x0)都是y=f(x)上的點(diǎn)。由于f(x)=x沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以A，B這兩點(diǎn)不重合且關(guān)于直線y=x對(duì)稱。

所以y=f(x)=ax2+bx+c與y=x必有交點(diǎn)，即f(x)=x有實(shí)根，與條件矛盾，所以f(f(x))=x沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

解法二：數(shù)形結(jié)合圖像法

當(dāng)a>0時(shí)，∵f(x)=x無(wú)實(shí)根，∴?坌x,f(x)>x,f(f(x))>f(x)>x對(duì)，∴f(f(x))=x無(wú)實(shí)數(shù)根；當(dāng)a<0時(shí)，同理可證f(f(x))

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點(diǎn)評(píng)：本題一題多解，通過(guò)比較，我們發(fā)現(xiàn)方法一簡(jiǎn)潔嚴(yán)謹(jǐn)，方法二最直觀易懂。