李國(guó)強(qiáng)
在數(shù)學(xué)必修4第一章1.4.2節(jié)中求三角函數(shù)周期的例題2(課本34頁(yè))中,開(kāi)始時(shí)總覺(jué)得學(xué)生有點(diǎn)難理解,當(dāng)時(shí)問(wèn)了旁邊的學(xué)生,學(xué)生確實(shí)同感。后來(lái)必修4學(xué)完后,經(jīng)過(guò)反思,我對(duì)三角函數(shù)求周期的問(wèn)題也有了進(jìn)一步的了解與認(rèn)識(shí)。現(xiàn)在和大家一起分享我的反思過(guò)程。
學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象后,不難發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值及其圖象具有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律,如下圖所示的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象y=sinx,x∈R,y∈cosx,x∈R.
通過(guò)函數(shù)圖象我們可以觀察到每隔2kπ(k∈Z)個(gè)單位,函數(shù)圖象以及函數(shù)值都會(huì)重復(fù)出現(xiàn),根據(jù)周期函數(shù)的定義知:而對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)非零的常數(shù)T,使得當(dāng)x取定定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有f(x+T)=f(x),那么f(x)就是周期函數(shù),而T就是這個(gè)函數(shù)的周期,所以正弦函數(shù)和余弦函數(shù)也是周期函數(shù).
三角函數(shù)的周期性是三角函數(shù)最基本、最重要的性質(zhì)之一。在必修4第一章1.4.2節(jié)中的例題2中就是有關(guān)求三角函數(shù)周期的例題。下面是摘自課本原題的一個(gè)小題。
課本(必修4)第34頁(yè)求下列函數(shù)的周期。
例2 (2) y=sin2x,x∈R,
解:∵sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,
∴由周期函數(shù)的定義可知,原函數(shù)的周期為π
接觸周期函數(shù)的高一學(xué)生來(lái)說(shuō)難度有點(diǎn)大。
那么有沒(méi)有什么更好的更容易理解的且又符合我們現(xiàn)有的知識(shí)水平的解法呢?筆者總結(jié)出了以下三種方法.
一、代換法
課本(必修4)34頁(yè)求下列函數(shù)的周期。
例2 (2) y=sin2x,x∈R.
解:設(shè)u=2x,∴y=sinu.∴由正弦函數(shù)定義可知sin(u+2kπ)=sinu,即sin(2x+2kπ)=sin2x.
對(duì)于以上運(yùn)用的這種解法,緊扣正弦函數(shù)的性質(zhì)及周期函數(shù)的定義,較好地應(yīng)用了課本所學(xué)的知識(shí),使學(xué)生能夠更好地理解和運(yùn)用課本知識(shí),做到現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用,能更好地加深印象,同時(shí)也符合學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平。不至于讓學(xué)生陷入迷惑之中,該種方法較為簡(jiǎn)單,它用代換的方法把求類似正弦函數(shù)周期的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生所熟悉的求正弦函數(shù)的周期上。既利于理解又可以加深對(duì)三角函數(shù)周期的理解。
同時(shí)還可以從周期函數(shù)的定義入手,“對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)非零的常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有f(x+T)=f(x),那么f(x)就是周期函數(shù),而T就是這個(gè)函數(shù)的周期(解法如下)。
二、定義法
課本(必修4)第34頁(yè)求下列函數(shù)的周期。
例2 求y=sin2x,x∈R的周期及最小正周期。
三、公式法
課本(必修4)第34頁(yè)求下列函數(shù)的周期。
綜合以上三種方法,我覺(jué)得代換法和定義法可能更適合于作為課本例題的解答,因?yàn)樗芨玫嘏c課本知識(shí)、定義相結(jié)合,也更能符合我們的實(shí)際知識(shí)結(jié)構(gòu)。所以在學(xué)完整個(gè)章節(jié)后我回過(guò)頭來(lái)想了想當(dāng)時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)的困惑,同時(shí)在與學(xué)生的溝通下我總結(jié)了這
幾種方法。這其實(shí)就是一種反思的過(guò)程,就像我們平時(shí),每做一件事可能我們事先不是很清楚,但事后只要我們努力地去反思,其實(shí)很多事情可以做得更好。
(作者單位 福建省石獅石光華僑聯(lián)合中學(xué))