數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

回春梅

數(shù)形結(jié)合的思想，就是將復(fù)雜或抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀形象的圖形在方法上相互滲透，并在一定條件下相互補(bǔ)充、轉(zhuǎn)化的

思想.

一、函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系、方程與曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想偏重于將某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，這就有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解且解法簡潔.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如求函數(shù)的值域、最值問題，解方程及解不等式，或是求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)方面.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅容易直觀地發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，很大程度上簡化了解題過程，這在解選擇題、填空題時(shí)更顯其優(yōu)越性.下面以幾個(gè)高考題為例來看一看數(shù)形結(jié)合法的簡單應(yīng)用.

1.在向量題中的應(yīng)用

例1.△ABC外接圓的半徑為1，圓心為O，且2■+■+■=0，■=■，則■·■等于（ ）

A.■ B.■ C.3 D.2■

因?yàn)椤?■=2■，所以，點(diǎn)O為BC中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心■=■=1，數(shù)形結(jié)合，△ABC為直角三角形且■·■cosC=■·2·cos30°=3.

2.在線性規(guī)劃問題中的應(yīng)用

例2.已知x、y滿足x+3y-3≤0x≥0y≥0則z=■的取值范圍是 .z=■數(shù)形結(jié)合，考慮它的幾何意義，不難發(fā)現(xiàn)：z=■表示不等式組對(duì)應(yīng)可行域內(nèi)點(diǎn)與點(diǎn)（1，-2）；連線斜率k∈（-∞，-2]∪[1，+∞）.

3.在抽象函數(shù)問題中的應(yīng)用

例3.若定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，則函數(shù)y=f（x）-log4x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

（ ）

A.4 B.5 C.6 D.8

解析：由題意知，函數(shù)y=f（x）是個(gè)周期為2的周期函數(shù)，且是個(gè)偶函數(shù)，在一個(gè)周期[-1，1）上.圖象是兩條斜率分別為1和-1的線段，且0≤f（x）≤1，同理得到在其他周期上的圖象，函數(shù) y=log4x也是個(gè)偶函數(shù)，先看他們?cè)赱0，+∞）上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，則它們總的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是在[0，+∞）上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的2倍.在（0，+∞）上，y=log4x=log4x，圖象過（1，0）和（4，1），是單調(diào)增函數(shù)，與f（x）交于3個(gè)不同點(diǎn)，∴函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log4x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是6個(gè).

4.在不等式問題中的應(yīng)用

選修4-5不等式選講.

已知函數(shù)f（x）=2x-a+x-1.

若f（x）≥5-x對(duì)∨x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2x-a≥5-x-x-1恒成立.

令g（x）=5-x-x-1=6-2x，x≥14，x≤1則函數(shù)圖象為

■

∴■≥3，∴a≥6

5.在微積分問題中的應(yīng)用

曲線y=■與直線y=x-1及x=4所圍成的封閉圖形的面積為

.

解析：作圖可知，令x=4，代入直線y=x-1得A（4，3），同理得C（4，■），由y=■=x-1，解得x=2.所以曲線y=■與直線y=x-1交于點(diǎn)B（2，1），那么∴SABC=S梯形ABCD-SBCEF，而■■dx表示為SBCEF，然后得到2ln2，然后∵S梯形ABEF=■（1+3）×2=4∴封閉圖形ABC的面積SABC=S梯形ABCD-SBCEF=4-2ln2.

■

二、數(shù)形結(jié)合思想的掌握

數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的廣泛性及優(yōu)點(diǎn)，我們已從前面的分析總結(jié)中得以知曉.因此，要很好地掌握數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（1）要善于觀察圖形，對(duì)圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系要有一定的認(rèn)識(shí)；

（2）正確繪制圖形，盡量清晰地反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系；

（3）把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以“形”感知“數(shù)”，以“數(shù)”認(rèn)知“形”；

（4）靈活應(yīng)用數(shù)、形的轉(zhuǎn)化，提高思維的靈活性與創(chuàng)造性.

數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象數(shù)學(xué)語言與直觀圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，在解決代數(shù)問題時(shí)想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時(shí)，利用代數(shù)性質(zhì)解決幾何問題.因此，數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用分為兩種情況：一是借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數(shù)論形”；二是借助于形的幾何直觀性來表示數(shù)之間的某些關(guān)系，即“以形促數(shù)”.

（作者單位 河北省衡水市棗強(qiáng)中學(xué)）

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