對等量異種點電荷電場的研究

胡昌勝

（樅陽縣宏實中學(xué) 安徽 安慶 246700）

等量異種點電荷的電場是靜電場中的重要內(nèi)容，也是難點內(nèi)容.準(zhǔn)確全面認(rèn)識等量異種點電荷的電場，對學(xué)好靜電場的內(nèi)容尤為重要.本文通過理論分析輔助多媒體作圖確定等量異種點電荷的電場分布情況.下面我們按照從簡單到復(fù)雜的原則，先從兩條線（等量異種點電荷的連線、連線的中垂線）上的電場入手進(jìn)行分析.

1 等量異種點電荷連線上的電場強(qiáng)度和電勢

等量異種點電荷的電場分布圖如圖1所示，根據(jù)電場線的疏密程度，我們知道連線上越靠近中點O場強(qiáng)越小，兩側(cè)關(guān)于連線中點O對稱.

可進(jìn)行理論證明如下：

圖1

設(shè)兩點電荷電荷量分別為＋Q和－Q，兩電荷間的距離為2L，以O(shè)為原點，連線為x軸建立直角坐標(biāo)系如圖2所示，我們討論連線或連線的延長線上P（x，0）點的電場強(qiáng)度.

圖2

規(guī)定＋x方向為電場強(qiáng)度E的正方向，則由點電荷的場強(qiáng)公式及電場的疊加原理知P點的電場強(qiáng)度為［1］

可見E是x的函數(shù)，用幾何畫板作圖如圖3所示（以從正電荷指向負(fù)電荷為電場強(qiáng)度E的正方向）.

圖3

結(jié)論1：在等量異種點電荷的連線上，從連線中點沿連線向兩電荷移動時，電場強(qiáng)度逐漸增大，在連線的延長線上，離點電荷越遠(yuǎn)電場強(qiáng)度越小，且二者連線上電場強(qiáng)度大小關(guān)于中點O對稱，中點位置的電場強(qiáng)度最小，但不為零.

【例1】（2009年高考上海卷第3題）兩帶電荷量分別為q和－q的點電荷放在x軸上，相距為L，能正確反映兩電荷連線上場強(qiáng)大小E與x關(guān)系的是圖4中的

圖4

解析：根據(jù)等量異種點電荷的電場線的分布情況可知，靠近兩點電荷電場強(qiáng)度較大，中點的最小，但不是零，因此正確的選項為A；或直接由圖3知正確答案為A.

電勢高低變化.

理論推導(dǎo)：規(guī)定無限遠(yuǎn)處電勢為零，則由點電荷電場的電勢的計算式可得圖2中P（x，0）點的電勢為［2］

可見φ是x的函數(shù)，用幾何畫板作圖如圖5所示.

圖5

結(jié)論2：在等量異種點電荷的連線上，從正電荷向負(fù)電荷移動時，電勢逐漸降低；連線中點電勢為零，靠近正電荷一側(cè)電勢大于零，靠近負(fù)電荷一側(cè)電勢小零.在連線的延長線上，離正點電荷越遠(yuǎn)電勢越低，離負(fù)點電荷越遠(yuǎn)電勢越高.

【例2】（2011年高考上海卷第14題）兩個等量異種點電荷位于x軸上，相對原點對稱分布，正確描述電勢φ隨位置x變化規(guī)律的是圖6中的

圖6

解析：由于沿電場線方向電勢降低，所以正電荷處電勢最高，負(fù)電荷處電勢最低.由于兩電荷電荷量相等，其連線中點電勢為零，故選A；或由圖5知，圖6中A圖正確.

2 等量異種點電荷連線的中垂線（面）上電場強(qiáng)度和電勢

以連線中點O為原點，連線為x軸建立直角坐標(biāo)系如圖7所示.設(shè)等量異種點電荷連線的中垂線上P點坐標(biāo)為（0，y），則由點電荷的場強(qiáng)公式得：

圖7

電荷＋Q在P點產(chǎn)生的電場強(qiáng)度大小為

電荷－Q在P點產(chǎn)生的電場強(qiáng)度大小為

方向與連線的夾角均為θ，則由場的疊加原理得

而

從上式可以看出，當(dāng)y絕對值增大時，E減小.

幾何畫板作圖如圖8所示.

圖8

結(jié)論3：在等量異種點電荷連線的中垂線（面）上，從垂足沿中垂線（面）向外側(cè)移動時，中垂線（面）上的各點的電場強(qiáng)度減小且中垂線（面）上關(guān)于中點O對稱的兩點場強(qiáng)相同，方向始終垂直于中垂線（面）指向負(fù)電荷一側(cè).

電勢高低分析：

若規(guī)定無窮遠(yuǎn)電勢為零，則等量異種點電荷連線的中垂線（面）上P（0，y）的電勢為

結(jié)論4：等量異種點電荷連線的中垂線（面）上任意一點電勢均為零，即等量異種點電荷連線的中垂線（面）是零勢線（面）.

3 等量異種點電荷電場中幾類特殊點的電場強(qiáng)度和電勢

3.1 關(guān)于連線中點對稱的任兩點的電場強(qiáng)度和電勢

理論證明：如圖9所示，我們研究等量異種點電荷的電場中關(guān)于連線中點O對稱的兩點M，N的電場強(qiáng)度和電勢的關(guān)系.兩電荷在M，N兩點均產(chǎn)生電場，方向如圖10所示.因M，N關(guān)于O點對稱，故可設(shè)則根據(jù)點電荷的場強(qiáng)公式可知場強(qiáng)大小關(guān)系為.又由幾何知識可知四邊形AMBN為平形四邊形，因此EA1與EB2的方向相同，EA2與EB1的方向相同，即兩矢量分別相等EA1＝EB2，EA2＝EB1，合場強(qiáng)也相等.

圖9

圖10

結(jié)論5：等量異種點電荷電場中的任兩個關(guān)于連線中點對稱的點的電場強(qiáng)度總相同，以中垂線為界靠近正電荷一側(cè)的各點的電勢總高于靠近負(fù)電荷一側(cè)的各點電勢.

3.2 等量異種點電荷連線的垂線（面）上各點電勢

以等量異種點電荷的連線中點O為原點，連線為x軸建立直角坐標(biāo)系，研究直線x＝a（常數(shù)）上各點的電勢φ隨y的變化，即連線的某一垂線（面）內(nèi)各點電勢的變化情況，設(shè)點為P（a，y），如圖11所示.

圖11

由點電荷電勢的計算式及電勢的合成得

幾何畫板作圖如圖12所示.

圖12

結(jié)論6：若連線的垂線（面）在中垂線靠近正電荷一側(cè)，則從垂足沿垂線（面）往外側(cè)電勢逐漸降低，如圖12（a）；若連線的垂線（面）在中垂線靠近負(fù)電荷一側(cè)，則從垂足沿垂線（面）往外側(cè)電勢逐漸升高，如圖12（b），且關(guān)于連線對稱.如以連線上任一點為圓心在垂直連線的平面內(nèi)作圓，圓上各點電勢相等.

3.3 等量異種點電荷連線的平行線上各點電勢

以等量異種點電荷的連線中點O為原點，連線為x軸建立直角坐標(biāo)系，研究直線y＝b（常數(shù)）上各點的電勢φ隨x的變化，即連線的某一平行線上各點電勢的變化情況，設(shè)點為P（x，b），如圖13，則

圖13

幾何畫板作圖如圖14所示.

圖14

結(jié)論7：在等量異種點電荷連線的平行線上，從正電荷一側(cè)指向負(fù)電荷一側(cè)電勢逐漸降低，且關(guān)于中垂線對稱的兩點電勢絕對值相等.

【例3】如圖15所示，由ABCD－abcd作為定點構(gòu)成一正方體空間，在頂點A，c兩處放等量異種電點荷，則下列說法正確的是

A.a，C兩點場強(qiáng)相同

B.D，b兩點間電勢相等

C.D，d兩點間電勢差大于B，b兩點間電勢差

D.負(fù)電荷沿BCD從B點到D點電場力做正功

圖15

解析：設(shè)正方體的中心為O點，由正方體的空間特點可知，a與C關(guān)于O點對稱，則由結(jié)論5可知答案A正確.D與b也關(guān)于O點對稱，但D與b分別位于等量異種點電荷垂直平分線的兩側(cè)，其中D在靠近正電荷的一側(cè)，由結(jié)論5知電勢高于b點，故選項B錯.

B和D在垂直A與c連線的同一面內(nèi)且到連線的距離相等，由結(jié)論6可知φB＝φD；b，d在垂直A，c連線的另一面內(nèi)，到連線的距離也相等，故φb＝φd，得UDd＝UBb，所以選項C和D均錯.

研究等量異種點電荷的電場時，理論分析輔以幾何畫板作圖，讓等量異種點電荷的電場理性但不失感性，抽象不乏形象，將無法感知的電場立體、生動地呈現(xiàn)在我們眼前，同時也提供了數(shù)形結(jié)合法解決物理問題的絕好范例.

1 梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學(xué).北京：高等教育出版社 ，1980.12

2 陳燕.兩等量異種點電荷電場的探討.物理教師，2012（02）：21