普通積分與隨機(jī)積分的異同探究

史瓊怡　畢露霞

摘 要：選取黎曼積分、黎曼—斯第杰斯積分作為普通積分，伊藤積分作為隨機(jī)積分探究普通微積分與隨機(jī)微積分的異同，分別比較三種積分在定義、性質(zhì)上的異同點(diǎn)，并著重探討它們的差異性。隨機(jī)積分的求解可根據(jù)普通積分定義的四個(gè)步驟進(jìn)行，可認(rèn)為是普通積分的延伸。但由于兩者的性質(zhì)不同，它與普通積分有著較為明顯的差異。從它們的圖像、積分過(guò)程的取分割點(diǎn)、收斂性方面討論它們的差異性，并得出結(jié)論。

關(guān)鍵詞：黎曼積分；伊藤積分；異同；收斂

在普通積分里面，積分變量就是一般的實(shí)變量，而隨機(jī)微積分的積分變量是布朗運(yùn)動(dòng)，在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的定義和構(gòu)造布朗運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜。以下對(duì)普通積分與隨機(jī)積分的異同探究時(shí)，我們分別選取黎曼積分、黎曼—斯第杰斯積分作為普通積分的代表，以伊藤積分作為隨機(jī)積分的代表，比較它們?cè)诙x、性質(zhì)上的異同點(diǎn)，并著重探討它們的差異性。

一、相同點(diǎn)及聯(lián)系

1.黎曼積分、黎曼—斯第杰斯積分

2.隨機(jī)積分

iv.求極限R：由于布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，它在任何有限區(qū)間上，布朗運(yùn)動(dòng)無(wú)有界變差。因此，求解隨機(jī)積分不能用通常意義上的R-S積分規(guī)則來(lái)處理。

歸納總結(jié)：由上分析可歸納得：隨機(jī)積分的求解可根據(jù)普通積分定義的四個(gè)步驟進(jìn)行，可認(rèn)為是普通積分的延伸。

二、普通積分與隨機(jī)積分的差異性

1.圖像比較

設(shè)一個(gè)隨機(jī)過(guò)程（Bt）t∈[0，∞），它在一個(gè)微小時(shí)間間隔Δt之間內(nèi)的變化為ΔB。若遵循布朗運(yùn)動(dòng)，則需滿(mǎn)足兩個(gè)條件：

（2）對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔，ΔB的值相互獨(dú)立。

2.積分過(guò)程取點(diǎn)比較

由上分析知：隨機(jī)積分的分割點(diǎn)的取法將影響積分值，而普通積分的結(jié)果與分割點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)。

3.收斂性比較

黎曼積分存在的充分條件是：被積函數(shù)連續(xù)且僅有有限個(gè)間斷點(diǎn)；黎曼—斯第杰斯積分存在，則需滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：

（1）f（x），g（x）在0，1上沒(méi)有相同的間斷點(diǎn)；

（2）f（x）有p-有界變差，g（x）有q-有界變差，p-1+q-1>1。

果明顯不同。

4.積分結(jié)果比較

普通積分結(jié)果為常數(shù)或含有參數(shù)的式子，但在隨機(jī)積分中積分結(jié)果含有隨機(jī)變量BT（w）。

歸納總結(jié)：隨機(jī)微積分與普通微積分有較多不同之處，從圖像來(lái)看，布朗運(yùn)動(dòng)關(guān)于自身的變上限Ito隨機(jī)積分的圖像處處連續(xù)但不可導(dǎo)，而變上限的普通積分的圖像處處可導(dǎo)；從積分過(guò)程的取分割點(diǎn)來(lái)看，隨機(jī)積分中不同的分割點(diǎn)對(duì)積分結(jié)果有直接的影響，但普通積分中的分割取點(diǎn)與積分結(jié)果無(wú)關(guān)；在收斂性方面，隨機(jī)積分為均方收斂，普通積分中為逐點(diǎn)收斂；普通積分結(jié)果為常數(shù)或含有參數(shù)的式子，但在隨機(jī)積分中結(jié)果含有隨機(jī)變量。

參考文獻(xiàn)：

[1]張卓奎，陳慧嬋.隨機(jī)過(guò)程[M].西安電子科技大學(xué)出版社，2003.

[2]Lawrence C. Evans. An Introduction To Stochastic Differen-tial Equations[M].Version1.2，UC Berkeley，2006.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析：第四版.高等教育出版社，2010.

[4]麥考斯基.隨機(jī)分析基礎(chǔ)：英文版.（Elementary Stochastic Calculus.世界圖書(shū)出版公司，2009.

（作者單位 浙江師范大學(xué)）

編輯 王團(tuán)蘭endprint

摘 要：選取黎曼積分、黎曼—斯第杰斯積分作為普通積分，伊藤積分作為隨機(jī)積分探究普通微積分與隨機(jī)微積分的異同，分別比較三種積分在定義、性質(zhì)上的異同點(diǎn)，并著重探討它們的差異性。隨機(jī)積分的求解可根據(jù)普通積分定義的四個(gè)步驟進(jìn)行，可認(rèn)為是普通積分的延伸。但由于兩者的性質(zhì)不同，它與普通積分有著較為明顯的差異。從它們的圖像、積分過(guò)程的取分割點(diǎn)、收斂性方面討論它們的差異性，并得出結(jié)論。

關(guān)鍵詞：黎曼積分；伊藤積分；異同；收斂

在普通積分里面，積分變量就是一般的實(shí)變量，而隨機(jī)微積分的積分變量是布朗運(yùn)動(dòng)，在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的定義和構(gòu)造布朗運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜。以下對(duì)普通積分與隨機(jī)積分的異同探究時(shí)，我們分別選取黎曼積分、黎曼—斯第杰斯積分作為普通積分的代表，以伊藤積分作為隨機(jī)積分的代表，比較它們?cè)诙x、性質(zhì)上的異同點(diǎn)，并著重探討它們的差異性。

一、相同點(diǎn)及聯(lián)系

1.黎曼積分、黎曼—斯第杰斯積分

2.隨機(jī)積分

iv.求極限R：由于布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，它在任何有限區(qū)間上，布朗運(yùn)動(dòng)無(wú)有界變差。因此，求解隨機(jī)積分不能用通常意義上的R-S積分規(guī)則來(lái)處理。

歸納總結(jié)：由上分析可歸納得：隨機(jī)積分的求解可根據(jù)普通積分定義的四個(gè)步驟進(jìn)行，可認(rèn)為是普通積分的延伸。

二、普通積分與隨機(jī)積分的差異性

1.圖像比較

設(shè)一個(gè)隨機(jī)過(guò)程（Bt）t∈[0，∞），它在一個(gè)微小時(shí)間間隔Δt之間內(nèi)的變化為ΔB。若遵循布朗運(yùn)動(dòng)，則需滿(mǎn)足兩個(gè)條件：

（2）對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔，ΔB的值相互獨(dú)立。

2.積分過(guò)程取點(diǎn)比較

由上分析知：隨機(jī)積分的分割點(diǎn)的取法將影響積分值，而普通積分的結(jié)果與分割點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)。

3.收斂性比較

黎曼積分存在的充分條件是：被積函數(shù)連續(xù)且僅有有限個(gè)間斷點(diǎn)；黎曼—斯第杰斯積分存在，則需滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：

（1）f（x），g（x）在0，1上沒(méi)有相同的間斷點(diǎn)；

（2）f（x）有p-有界變差，g（x）有q-有界變差，p-1+q-1>1。

果明顯不同。

4.積分結(jié)果比較

普通積分結(jié)果為常數(shù)或含有參數(shù)的式子，但在隨機(jī)積分中積分結(jié)果含有隨機(jī)變量BT（w）。

歸納總結(jié)：隨機(jī)微積分與普通微積分有較多不同之處，從圖像來(lái)看，布朗運(yùn)動(dòng)關(guān)于自身的變上限Ito隨機(jī)積分的圖像處處連續(xù)但不可導(dǎo)，而變上限的普通積分的圖像處處可導(dǎo)；從積分過(guò)程的取分割點(diǎn)來(lái)看，隨機(jī)積分中不同的分割點(diǎn)對(duì)積分結(jié)果有直接的影響，但普通積分中的分割取點(diǎn)與積分結(jié)果無(wú)關(guān)；在收斂性方面，隨機(jī)積分為均方收斂，普通積分中為逐點(diǎn)收斂；普通積分結(jié)果為常數(shù)或含有參數(shù)的式子，但在隨機(jī)積分中結(jié)果含有隨機(jī)變量。

參考文獻(xiàn)：

[1]張卓奎，陳慧嬋.隨機(jī)過(guò)程[M].西安電子科技大學(xué)出版社，2003.

[2]Lawrence C. Evans. An Introduction To Stochastic Differen-tial Equations[M].Version1.2，UC Berkeley，2006.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析：第四版.高等教育出版社，2010.

[4]麥考斯基.隨機(jī)分析基礎(chǔ)：英文版.（Elementary Stochastic Calculus.世界圖書(shū)出版公司，2009.

（作者單位 浙江師范大學(xué)）

編輯 王團(tuán)蘭endprint

摘 要：選取黎曼積分、黎曼—斯第杰斯積分作為普通積分，伊藤積分作為隨機(jī)積分探究普通微積分與隨機(jī)微積分的異同，分別比較三種積分在定義、性質(zhì)上的異同點(diǎn)，并著重探討它們的差異性。隨機(jī)積分的求解可根據(jù)普通積分定義的四個(gè)步驟進(jìn)行，可認(rèn)為是普通積分的延伸。但由于兩者的性質(zhì)不同，它與普通積分有著較為明顯的差異。從它們的圖像、積分過(guò)程的取分割點(diǎn)、收斂性方面討論它們的差異性，并得出結(jié)論。

關(guān)鍵詞：黎曼積分；伊藤積分；異同；收斂

在普通積分里面，積分變量就是一般的實(shí)變量，而隨機(jī)微積分的積分變量是布朗運(yùn)動(dòng)，在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的定義和構(gòu)造布朗運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜。以下對(duì)普通積分與隨機(jī)積分的異同探究時(shí)，我們分別選取黎曼積分、黎曼—斯第杰斯積分作為普通積分的代表，以伊藤積分作為隨機(jī)積分的代表，比較它們?cè)诙x、性質(zhì)上的異同點(diǎn)，并著重探討它們的差異性。

一、相同點(diǎn)及聯(lián)系

1.黎曼積分、黎曼—斯第杰斯積分

2.隨機(jī)積分

iv.求極限R：由于布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，它在任何有限區(qū)間上，布朗運(yùn)動(dòng)無(wú)有界變差。因此，求解隨機(jī)積分不能用通常意義上的R-S積分規(guī)則來(lái)處理。

歸納總結(jié)：由上分析可歸納得：隨機(jī)積分的求解可根據(jù)普通積分定義的四個(gè)步驟進(jìn)行，可認(rèn)為是普通積分的延伸。

二、普通積分與隨機(jī)積分的差異性

1.圖像比較

設(shè)一個(gè)隨機(jī)過(guò)程（Bt）t∈[0，∞），它在一個(gè)微小時(shí)間間隔Δt之間內(nèi)的變化為ΔB。若遵循布朗運(yùn)動(dòng)，則需滿(mǎn)足兩個(gè)條件：

（2）對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔，ΔB的值相互獨(dú)立。

2.積分過(guò)程取點(diǎn)比較

由上分析知：隨機(jī)積分的分割點(diǎn)的取法將影響積分值，而普通積分的結(jié)果與分割點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)。

3.收斂性比較

黎曼積分存在的充分條件是：被積函數(shù)連續(xù)且僅有有限個(gè)間斷點(diǎn)；黎曼—斯第杰斯積分存在，則需滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：

（1）f（x），g（x）在0，1上沒(méi)有相同的間斷點(diǎn)；

（2）f（x）有p-有界變差，g（x）有q-有界變差，p-1+q-1>1。

果明顯不同。

4.積分結(jié)果比較

普通積分結(jié)果為常數(shù)或含有參數(shù)的式子，但在隨機(jī)積分中積分結(jié)果含有隨機(jī)變量BT（w）。

歸納總結(jié)：隨機(jī)微積分與普通微積分有較多不同之處，從圖像來(lái)看，布朗運(yùn)動(dòng)關(guān)于自身的變上限Ito隨機(jī)積分的圖像處處連續(xù)但不可導(dǎo)，而變上限的普通積分的圖像處處可導(dǎo)；從積分過(guò)程的取分割點(diǎn)來(lái)看，隨機(jī)積分中不同的分割點(diǎn)對(duì)積分結(jié)果有直接的影響，但普通積分中的分割取點(diǎn)與積分結(jié)果無(wú)關(guān)；在收斂性方面，隨機(jī)積分為均方收斂，普通積分中為逐點(diǎn)收斂；普通積分結(jié)果為常數(shù)或含有參數(shù)的式子，但在隨機(jī)積分中結(jié)果含有隨機(jī)變量。

參考文獻(xiàn)：

[1]張卓奎，陳慧嬋.隨機(jī)過(guò)程[M].西安電子科技大學(xué)出版社，2003.

[2]Lawrence C. Evans. An Introduction To Stochastic Differen-tial Equations[M].Version1.2，UC Berkeley，2006.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析：第四版.高等教育出版社，2010.

[4]麥考斯基.隨機(jī)分析基礎(chǔ)：英文版.（Elementary Stochastic Calculus.世界圖書(shū)出版公司，2009.

（作者單位 浙江師范大學(xué)）

編輯 王團(tuán)蘭endprint