Caputo 分?jǐn)?shù)階微分算子合成性質(zhì)的推廣①

秦彤暉， 張 笛

(中國礦業(yè)大學(xué)(北京)理學(xué)院，北京100083)

0 引言

分?jǐn)?shù)階微積分算子理論的研究近年來取得了蓬勃的發(fā)展[1～2]，受到了相關(guān)學(xué)者越來越多的關(guān)注[3～5]，分?jǐn)?shù)階積分算子和分?jǐn)?shù)階微分算子間的合成性質(zhì)是進(jìn)一步研究分?jǐn)?shù)階微分方程解的關(guān)鍵所在，特別地，在一般條件下對Caputo分?jǐn)?shù)階微分算子合成性質(zhì)研究的文獻(xiàn)較為罕見，本文應(yīng)用分析的方法，給出了Caputo分?jǐn)?shù)階微分算子合成性質(zhì)的一般形式．

1 預(yù)備知識

設(shè)函數(shù)f(x)在有限區(qū)間[a，b]上有定義且在[a，b]的任意子區(qū)間上可積，α ∈ C，其中Gamma函數(shù)Γ(z)=特別地，Gamma函數(shù)經(jīng)延拓后有，則

定義 1[1]函數(shù) f(x)的 α 階 Riemann －Liouville分?jǐn)?shù)階左積分

定義 2[1]函數(shù) f(x)的 α 階 Riemann －Liouville分?jǐn)?shù)階右積分

定義 3[1]函數(shù) f(x)的 α 階 Riemann －Liouville分?jǐn)?shù)階左微分

定義 4[1]函數(shù) f(x)的 α 階 Riemann －Liouville分?jǐn)?shù)階右微分

引理1．1[1]若 α，β ∈ C，Re(α)，Re(β)＞0，且 f(x)∈ Lp(a，b)(1 ≤ p≤ ∞)，則

引理1．2[1]若α，β∈C，Re(α)≥0，Re(β)＞ 0，則

引理1．3[1]若α∈C，R e(α)＞ 0，f(x)∈L1(a，)，則

引理1．4[2]若 α，β ∈ C，Re(β)≥ Re(α)＞ 0，m = [Re(β)] +1，f(x) ∈ L1(a，b)，∈ACm[a，b]，則

2 Caputo分?jǐn)?shù)階微分算子

定義2．1[1]函數(shù)f(x)的α階Caputo分?jǐn)?shù)階左微分

定義2．2[1]函數(shù)f(x)的α階Caputo分?jǐn)?shù)階右微分

引理 2．1[1]設(shè) Re(α)≥0，n ∈ N，則

證明 由定義 2．1[1]，2．2[1]及引理 1．2[1]，2．1[1]可得證，故在此省略．

3 Caputo分?jǐn)?shù)階微分算子合成性質(zhì)的推廣

文獻(xiàn)[1]中給出了Riemann－Liouville分?jǐn)?shù)階積分算子和Caputo分?jǐn)?shù)階微分算子階數(shù)相同時的積分和微分間合成關(guān)系:

定理3．1[1]若α∈C，Re(α)＞ 0，當(dāng)α?N，f(x)∈Cn－1[a，b]或α∈N，f(x)∈Cn[a，b]時，則

現(xiàn)考慮把定理3．1[1]推廣到一般情形．

定理3．2 若 α，β ∈C，Re(α)，Re(β)＞ 0，當(dāng)α，β ?N，m= [Re(β)]+1，f(x)∈Cm－1[a，b]或 α，β ∈ N，f(x)∈ Cm[a，b]時，則

證明(1) 當(dāng)α，β?N，f(x)∈Cm－1[a，b]時，由定義 2．1[1]得

(a)當(dāng) Re(α)＞ Re(β)時，由引理1．1[1]及引理 1．3[1]得

對上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得

所以，由引理 1．2[1]得

(b)當(dāng)Re(β)≥Re(α)時，由引理1．4[2]得

令

由(a)知 h(x)=gm－β(x)

則(Dβ－ja+g)(a)=0

故由引理 1．2[1]得(2)當(dāng)α，β∈N，f(x)∈Cm[a，b]時，由注2．1得

綜上知，命題得證．

[1] A．A．Kilbas，H．M．Srivastava，J．J．Trujillo．Theory and Applications of Fractional Differential Equations[M]．vol．204 of North － Holland Mathematics Studies，Elsevier Science B．V．，Amsterdam，The Netherlands，2006．

[2] 郭柏靈，浦學(xué)科，黃鳳輝．分?jǐn)?shù)階偏微分方程及其數(shù)值解[M]．北京:科學(xué)出版社，2011．

[3] 王小東．Riemann－Liouville分?jǐn)?shù)階微分及其性質(zhì)證明[D]．太原:太原理工大學(xué)，2008．

[4] 武則女．分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、積分的性質(zhì)及幾何意義[J]．哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2013，29(1):19 －22．

[5] 秦君琴．分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì)[J]．江蘇師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2012，30(2):13 －14．