基于粒子群算法的平面剛架及組合結構的優(yōu)化①

蔡保佩， 易平

(大連理工大學建設工程學部土木工程學院，遼寧大連116024)

0 引言

剛架[1]是目前較為廣泛采用的一種建筑結構形式，在越來越多的建筑工程領域得到采用．剛架及其組合結構由于受力、內力復雜，截面自由度多等特點比桁架結構復雜的多，故對剛架的研究比桁架的研究要困難的多．近年來，隨著鋼結構使用的越來越廣泛，針對剛架結構的優(yōu)化問題，國內外設計和研究單位已經開展了一些研究工作，并取得了一些研究成果[1～2]．Haug 和 Arora[3]用矩陣力法對剛架進行優(yōu)化研究，實現材料重量的最小化．朱伯芳[4]針對有應力約束的剛架問題，首先求出剛架的截面A、慣性矩I和截面模量W，進而通過整體分析得到各個構件的最大應力，最終完成剛架的有應力約束的優(yōu)化．佟維[5]利用遺傳算法．提出取剛架截面尺寸為設計變量，結構體積為目標函數，求全局最優(yōu)解的概念．劉鵬[6]采用遺傳算法，針對門式剛架，進行了包括離散和連續(xù)變量的截面形狀混合優(yōu)化，通過實例證明遺傳算法應用于門式剛架的優(yōu)化設計是可行的．吳科等[7]采用蟻群算法對3跨24層168根桿件的鋼框架的結構質量進行優(yōu)化計算，論證了蟻群算法在結構優(yōu)化設計中的良好的實用價值．本文以剛架或剛架與桁架組合結構的截面尺寸為設計變量，在材料性質、荷載已知的情況下，進行有應力約束和位移約束的結構重量或體積最小化．主要利用了粒子群優(yōu)化算法，并將其優(yōu)化結果與改進的可行域算法(MMFD)、序列線性算法(SLP)、序列二次規(guī)劃(SQP)等傳統優(yōu)化算法的結果進行比較．

1 粒子群優(yōu)化算法簡介

粒子群優(yōu)化算法(PSO)是一種基于群智能方法的演化計算技術，于1995由Kennedy和Eennedy提出，算法模擬鳥群飛行覓食的行為，通過鳥之間的集體協作使群體達到最優(yōu)．該方法初值由程序隨機選取，群體解空間中追隨最優(yōu)粒子進行搜索，容易實現，同時又有深刻的智能背景，既適合科學研究，又特別適合工程應用[8～9]．

圖1 八層剛架的結構計算簡圖

圖2 型鋼截面尺寸示意圖

其中w為慣性權重，采用線性變化的慣性權重，c1，c2是正的實常數，稱為加速因子，本文取為2．05;r1，r2為[0，1]中均勻分布的隨機數[10～12]．本文PSO的計算參數選擇如下:粒子群數ps=300，最大迭代次數T=400，c1=c2=2．05;

2 優(yōu)化模型的建立及程序的運行步驟

剛架結構不僅要承受軸力、剪力，還要承受彎矩，截面受力復雜，本文利用求取最大應力．同時由于本文采用的有限元程序僅可計算出桿單元兩端的軸力、剪力和彎矩，故在實際桿的兩端、剪力為零處、集中力作用點、集中力偶作用點等處設置結點，從而有望求出整個剛架結構內的最大應力．

優(yōu)化模型如下:

程序運行步驟如下:

(1)給定各設計變量初值(PSO不用給定初值，為隨機取值);

(2)有限元程序讀入各設計變量的初值;

我右手邊的墻上是一個小女孩的關節(jié)造影，她的父母在那次車禍中雙雙辭世，她被推進手術室，診斷結果她右大腿肌肉壞死嚴重，只能高位截肢，我為她做了右髖關節(jié)離斷術，這意味著她以后右腿將無法安裝假肢。她的高燒不退，當我走到她的病床邊，她問我，能否握著我的手睡覺，我點點頭，她稚嫩的手指勾著我的手，手上還掛著一只小娃娃。她說見到小娃娃就好像見到了死去的爸爸媽媽，她不時地睜開眼確定我在她身邊，才又睡去。

(3)有限元程序計算目標函數值、最大應力及最大位移;

(4)優(yōu)化程序對最大應力、最大位移等約束條件進行檢驗，同時根據一定的尋優(yōu)規(guī)則確定新的設計點;

(5)重復過程(3)和(4)，直至滿足某項終止準則結束迭代．

3 算例

本文基于PSO算法依次對八層剛架結構、平面剛架與桁架組合結構進行尺寸優(yōu)化．同時將所得結果與MMFD，SLP，SQP三種傳統優(yōu)化算法的結果進行比較．約束條件＞0．001視為違反約束，最大迭代次數均為100．

3．1 平面剛架結構的尺寸優(yōu)化

如圖1所示八層平面剛架，選自文獻[13]．左側結點均受一個大小如圖示的集中力，同時每個結點均受一個大小為444．8 kN的集中力，各單元的彈性模量E=200GPa，材料密度為ρ=76．8 kN/m3，要求頂端位移不超過0．0508 m．選取各類截面面積為設計變量，截面面積分類如圖1示，具有相同數字的各桿具有相同的截面面積．截面為H型截面，截面形式如圖2所示，截面寬度B不得小于0．05 m，不得大于0．5 m，截面高度H不得小于0．1 m，不得大于1m，截面高寬比B/H不得小于1，不得大于10．優(yōu)化結構使總重量最?。?/p>

本題中剛架為H型鋼，截面比較復雜，故采用一定的簡化措施[14]．腹板與翼緣的厚度選用經驗公式

截面面積A的表達式為

故設計變量僅剩下截面寬度B與截面高度H．

其優(yōu)化模型可表示為:

注意:式中l(wèi)i是結構中截面面積為Ai的各桿單元長度之和．

本算例分別使用四種不同的優(yōu)化方法進行了五次優(yōu)化，PSO算法初值五次均有由程序隨機選取，三種傳統算法的初值分別為:J1(最小值)、J2(最小值與最大值四分之一點處)、J3(最小值與最大值中點處)、J4(最小值與最大值四分之三點處)、J5(最大值)．四種不同方法五次優(yōu)化的最終優(yōu)化結果如表1所示:

表1 八層剛架的不同方法優(yōu)化目標值對比

由表1 可知，MMFD，SLP，SQP，PSO 算法的五次優(yōu)化均能得到較好的可行解，但總體比較而言，PSO算法的五個結果更加接近，相對優(yōu)于其他幾種方法，充分說明了在八層剛架的優(yōu)化過程中，PSO算法相對傳統算法具有更強的穩(wěn)定性．

針對不同方法在五次優(yōu)化中選取最佳結果，其各個變量的對比如表2所示:

表2 八層剛架的不同方法最優(yōu)結果對比

1 00 2 9．21 59．65 8．00 60．76 10．80 56．78 10．07 59．50 3 8．12 50．35 7．27 51．79 9．13 49．11 5．54 52．12 4 7．02 42．33 5．93 42．76 6．36 43．53 6．65 43．12 5 9．93 62．22 9．35 63．53 9．95 62．34 9．19 63．11 6 9．78 64．96 9．73 64．85 10．03 64．04 9．74 63．47 7 9．61 60．51 8．62 62．07 9．65 60．50 10．31 59．63 8 7．85 48．37 5．02 52．10 7．98 48．31 7．97 47．46 12．05 70．00 12．32 70．00 12．09 69．99 12．66 70．25．868 25．892 25．871 25．904最大位移(m)總重(kN)0．050784 0．050812 0．050822 0．050769

由表2可知，PSO，MMFD，SLP，SQP算法的最優(yōu)結果均符合約束條件的要求，約束偏差均在0．001內，視為滿足約束．同時比較四種算法的結果，PSO算法的總重量最小，充分說明了在八層剛架的優(yōu)化過程中，PSO算法相較傳統算法具有較好的收斂性．

同時文獻參考文獻[8]中也給出了優(yōu)化的最終結果，并對其進行了型鋼的選取，PSO算法先按連續(xù)變量求取最優(yōu)解，然后參照型鋼表選取型鋼的結果與原文獻結果對比如表3所示:

表3 選取型鋼截面對比

由表3可知，通過PSO算法先按連續(xù)變量求取最優(yōu)解，然后參照型鋼表選取型鋼，最大位移均在0．0508范圍內，完全符合要求，同時用鋼量比文獻所用方法更加節(jié)?。浞终f明了PSO算法在八層鋼架優(yōu)化過程中的正確性、有效性．

3．2 平面剛架與桁架組合結構的尺寸優(yōu)化

圖3 組合結構計算簡圖

如圖3所示組合結構，結構由相同材料組成，材料彈性模量E=210 GPa，許用應力為25 MPa．各節(jié)點的橫向、豎向位移均不得超過0．02 m，選取各類截面面積為設計變量(圖3中橫梁1與2，立柱3與4分別采用相同的截面面積)，各桿截面面積不得小于1E－04 m2，不得大于6E－02m2，優(yōu)化結構使總體積最小．

組合結構兼有桁架與剛架的性質，在現實中的應用十分廣泛．結構中有一部分桿只承受軸向力，一部分桿卻受力復雜，圖2中橫梁1上有彎矩最大點，選取該點及各桿桿端為結點，該結構結點的序號、桿的序號以及各自的自由度如圖4所示．

圖4 組合結構結點及結點自由度示意圖

其優(yōu)化模型可表示為:

注意:式中l(wèi)i是結構中截面面積為Ai的各桿單元長度之和．

和例題1一樣，本算例也分別使用四種不同的優(yōu)化方法進行了五次優(yōu)化，其最終優(yōu)化結果如表4所示:

表4 組合結構不同方法目標值對比

注意:“－”代表局部收斂，“×”代表違反約束

由表4可知，SLP算法在初值取J3時得不到可行解，SQP算法在初值取J2、J4時不能得到可行解，在初值取J5時陷入局部收斂，而PSO算法的五次計算均能得到可行解，且五個結果都很接近，充分說明了在平面剛架與桁架組合結構的優(yōu)化過程中，PSO算法相對傳統算法具有更強的穩(wěn)定性．針對不同方法在五次優(yōu)化中選取最佳結果，其各個變量的對比如表5所示:

表5 組合結構不同方法最優(yōu)結果對比

由表5可知，PSO，MMFD，SQP算法的最優(yōu)結果均符合約束條件的要求，最大應力約束偏差均在0．001內，最大位移遠遠滿足約束，視為應力約束、位移約束均得到滿足．充分說明了在平面剛架與桁架組合結構的優(yōu)化過程中，PSO算法具有很好的收斂性．

4 結論

本文運用粒子群優(yōu)化算法實現了平面剛架結構及組合結構的優(yōu)化設計，同時運用MMFD，SLP，SQP等傳統算法進行優(yōu)化結果的比較，主要結論如下:

(1)平面剛架結構及平面組合結構由于受力、內力更復雜，故其優(yōu)化相對桁架結構要復雜的多;而粒子群優(yōu)化算法可以較好地解決平面剛架及平面組合結構的尺寸優(yōu)化問題;

(2)粒子群優(yōu)化算法相對傳統優(yōu)化算法MMFD，SLP，SQP有更好的全局收斂性與穩(wěn)定性，其優(yōu)化結果不依賴于初值的選取，可以更加有效地避免局部收斂，于現實工程更有意義．

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