五階Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)及性質(zhì)

陳淑貞，王珠

（海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南海口571158）

五階Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)及性質(zhì)

陳淑貞，王珠

（海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南?？?71158）

著名的二階Fibonacci數(shù)列有許多通項(xiàng)表達(dá)式和性質(zhì)，本文利用歸納法、生成函數(shù)、矩陣等方法，對(duì)五階Fibonacci數(shù)列進(jìn)行了研究.獲得了五階Fibonacci數(shù)列的三個(gè)通項(xiàng)表達(dá)式，前n項(xiàng)和公式和一些與Fibonacci數(shù)列相似的性質(zhì)，研究結(jié)果推廣了Fibonacci數(shù)列的相關(guān)結(jié)論.

五階Fibonacci數(shù)列；通項(xiàng)公式；矩陣

13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家Fibonɑcci由兔子繁殖問題引出了一個(gè)有趣的數(shù)列——Fibonɑcci數(shù)列[1]記為{Fn}，它是滿足F0=1，F(xiàn)1=1，F(xiàn)n+1=Fn+Fn-1，n=1，2，3，…的一個(gè)二階遞推數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)稱為Fibo?nɑcci數(shù).對(duì)Fibonɑcci數(shù)列的研究已得到它許多奇特的性質(zhì)及通項(xiàng)表達(dá)式.隨著對(duì)Fibonɑcci數(shù)列研究的深入，研究者提出了多種Fibonɑcci數(shù)列的推廣形式并進(jìn)行了研究[1-4].文獻(xiàn)[4]定義了r階Fibonɑcci數(shù)列，并用生成函數(shù)求得了通項(xiàng)表達(dá)式.文獻(xiàn)[5]運(yùn)用遞推關(guān)系的特征根及矩陣的方法研究了三階Fibonɑcci數(shù)列，求得其與比內(nèi)公式相類似的通項(xiàng)公式和一些性質(zhì).筆者運(yùn)用生成函數(shù)、矩陣等方法，對(duì)四階Fibonɑc?ci數(shù)列進(jìn)行了研究[6]，本文在此基礎(chǔ)上，又對(duì)五階Fi?bonɑcci數(shù)列進(jìn)行了深入的研究，定義了五階Fibo?nɑcci矩陣，求得五階Fibonɑcci數(shù)列多種通項(xiàng)表達(dá)式，并得到了與Fibonɑcci數(shù)列相似的一些性質(zhì).

1 五階Fibonacci數(shù)列與五階Fibonacci矩陣

階Fibonɑcci數(shù)列.

定理1{fn}為五階Fibonɑcci數(shù)列，則n 6時(shí)有

證明當(dāng)n=6時(shí)，等式成立.

定義1[4]若數(shù)列，則稱數(shù)列{fn}為五

設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立.

當(dāng)n=k+1時(shí)，由歸納假設(shè)有

綜合上述，當(dāng)n 6時(shí)，等式成立.

2 五階Fibonacci數(shù)列的Cassini公式

定理2對(duì)五階Fibonɑcci數(shù)列{fn}，當(dāng)n 6有

證明由定理1有

化簡得

3 五階Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)表達(dá)式

使得F=T·diag（λ1，λ2，λ3，λ4，λ5）·T-1，則

而Fn的第一行第一列元素即為fn，從而有

其中e=（1，0，0，0，0），得到下列定理.

定理3設(shè)λi（i=1，2，3，4，5）是方程λ5-λ4-λ3-λ2-λ-1=0的五個(gè)根.則存在可逆矩陣

使得五階Fibonɑcci數(shù)列的通項(xiàng)為：

其中e=（1，0，0，0，0）.

定理4對(duì)于五階Fibonɑcci數(shù)列{fn}（n 1），有

證明顯然f1=1，f2=2，f3=4，f4=8，f5=16，等式成立.

假設(shè)n取1，2，…，k（k 6）時(shí)，等式成立，當(dāng)n=k+ 1時(shí)，將k+1階行列式展開得

從而等式成立.

定理5{fn}為五階Fibonɑcci數(shù)列，則{fn}的通項(xiàng)為

證明令數(shù)列{fn}的生成函數(shù)為則有

將f0=1，f1=1，f2=2，f3=4，f4=f8，代入上式整理可得：

由A（x）展開式中xn的系數(shù)得五階Fibonɑcci數(shù)列的通項(xiàng)為：

4 五階Fibonacci數(shù)列的性質(zhì)

性質(zhì)1對(duì)五階Fibonɑcci數(shù)列{fn}，有：

證明因?yàn)?/p>

由定理1，有

展開式子左邊并比較第一行第一列元素得

推論1當(dāng)n 3時(shí)有

證明在性質(zhì)1中令m=n+2，當(dāng)n 2時(shí)有

于是當(dāng)n 3時(shí)可得

同理可得下面結(jié)論：

推論2當(dāng)n 3時(shí)有

性質(zhì)2

證明因?yàn)?/p>

性質(zhì)3{fn}的前n項(xiàng)和

證明設(shè){fn}的生成函數(shù)為A（x），則前n項(xiàng)和數(shù)列{Sn}的生成函數(shù)

因此xn的系數(shù)為

[1]吳振奎.斐波那契數(shù)列[M].長春：遼寧出版社,1987.

[2]馬巧云.廣義Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)[J].西安聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào),2004,7(5)：30-32.

[3]陳淑貞,曾慶年.廣義Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)及性質(zhì)[J].海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào),2008,20(3)：11-14.

[4]及萬會(huì).r階Fibonacci數(shù)列[J].高師理科學(xué)刊,2005,25（1）：13-16.

[5]彭黎霞.三階Fibonacci數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用[J].莆田學(xué)院學(xué)報(bào),2006,13（5）：5-8,11.

[6]陳淑貞,魯仲池.四階Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)及性質(zhì)[J].海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào),2009,21(1)：35-40.

[7]許胤龍,孫淑玲.組合數(shù)學(xué)引論[M].合肥：中國科技大學(xué)出版社,2010.

責(zé)任編輯：畢和平

The General Term and Property of Fifth Order Fibonacci Sequence

CHEN Shuzhen，WANG Zhu
（College of Mathematics and Statistics，Hainan normal university，Haikou 571158，China）

There ɑre severɑl generɑl expressions ɑnd properties for the fɑmous second order Fibonɑcci sequence.Some methods such ɑs induction,generɑtion function ɑnd mɑtrix were used to reseɑrch intensively on fifth order Fibonɑcci se?quence to ɑcquire three representɑtions of the generɑl term formulɑ,the representɑtions of summɑtion of the first n terms ɑnd its ɑssociɑted similɑr properties such ɑs Fibonɑcci sequence.The results of the reseɑrch extend the conclusions of Fibo?nɑcci sequence.

fifth order Fibonɑcci sequence；generɑl term formulɑ；mɑtrix

O 157

A

1674-4942（2014）03-0241-05

2014-04-10

海南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（113006）