復(fù)發(fā)事件下一般混合治愈模型

曾小鳳，陳傳鐘，李霓

（海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南?？?71158

復(fù)發(fā)事件下一般混合治愈模型

曾小鳳，陳傳鐘，李霓*

（海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南?？?71158

在復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)的半?yún)?shù)比率模型基礎(chǔ)之上，利用調(diào)整后的logistic模型回歸治愈率部分，提出一類可將一般比率模型包括在內(nèi)的混合治愈模型，從而刻畫協(xié)變量對(duì)事件復(fù)發(fā)率的影響.同時(shí)給出該模型中未知參數(shù)的估計(jì)方法，證明這些估計(jì)的相合性和漸近正態(tài)性.

復(fù)發(fā)事件；半?yún)?shù)比率模型；治愈率；Logistic模型；估計(jì)方程

近幾十年里，由于醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)的迅猛發(fā)展，生存分析模型理論及方法的研究便得到不斷推廣及深入.許多模型在實(shí)際問題的背景下不斷被提出，如脆弱模型、混合治愈模型等，同時(shí)各類估計(jì)方法也得到了構(gòu)造.另一方面，人們?cè)谏娣治鲋虚_始研究同一個(gè)實(shí)驗(yàn)對(duì)象疾病多次復(fù)發(fā)的情況[1].描述這類情況的數(shù)據(jù)稱為復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)（Recurrent Event Data）.對(duì)于此類數(shù)據(jù)的研究，國內(nèi)的成果還比較少.因?yàn)槠涮赜械臄?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和廣泛的應(yīng)用價(jià)值，所以已吸引了諸多國家的關(guān)注，它的研究除了重要的理論意義外，直觀且深遠(yuǎn)的應(yīng)用價(jià)值更是不可忽略[2].

本文對(duì)復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)的符號(hào)假設(shè)與文[3]一致.記N*（t）為在區(qū)間[0，t]上所發(fā)生的事件的次數(shù)，如果E{dN*（t）}=μ（t）dt，那么μ（t）稱為N*（t）的比率函數(shù).并且這里dN*（t）=N{（t+dt）-}-N*（t-）為在[t，t+dt）上的增量（當(dāng)dt→0）.假設(shè)在一定時(shí)間內(nèi)，有n個(gè)研究個(gè)體，且每個(gè)個(gè)體之間是相互獨(dú)立的.N*i()?記為個(gè)體i（i=1，...，n）在時(shí)刻t所經(jīng)歷事件的次數(shù).但在實(shí)際研究及應(yīng)用中，通常N*i()·不能夠完整觀測(cè).記Ci是第i個(gè)個(gè)體的刪失時(shí)間，可收集的復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)為Ni（t）=.設(shè)Xi（t）表示協(xié)變量，并假設(shè)在給定）條件，刪失時(shí)間Ci與相互獨(dú)立，即

其中γ0為未知的回歸參數(shù)向量未知的基本比率函數(shù).關(guān)于模型（1）的研究:Pepe和給出了γ0估計(jì)大樣本理論，但是證明方法較為粗糙；Lawless等[5]在離散時(shí)間條件下，研究γ0和λ0（t）的估計(jì)及估計(jì)的漸近性；Lin等[6]改進(jìn)了Lawless等的估計(jì)，并構(gòu)造了均值函數(shù)的置信區(qū)間.

生存分析數(shù)據(jù)中，已有學(xué)者對(duì)治愈個(gè)體做了研究.Boag[7]最早提出了混合治愈模型的概念，并對(duì)治愈率和未治愈病人的存活率給出了估計(jì)方法.Fare?well[8]發(fā)展Cox比率模型，用Cox模型來刻畫生存函數(shù)部分，說明其中有治愈現(xiàn)象的存在.同時(shí)用Logis?tic及Cox比率模型對(duì)治愈者的治愈率及未治愈者的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)研究.但是，在復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)中，研究個(gè)體多數(shù)被假設(shè)為一直反復(fù)發(fā)病，沒有治愈個(gè)體的存在.因此在復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)中發(fā)展新模型十分需要.

1 模型和估計(jì)方法

1.1 一般混合治愈模型

對(duì)復(fù)發(fā)數(shù)據(jù)中對(duì)識(shí)別治愈者問題，假設(shè)在一定時(shí)間內(nèi)，研究個(gè)體i共個(gè)有n個(gè)（i=1，2，...，n），并且每個(gè)個(gè)體之間是相互獨(dú)立的.W（t）和X（t）都表示與復(fù)發(fā)率有關(guān)協(xié)變量，W（t）通過治愈率間接影響復(fù)發(fā)率，X（t）通過經(jīng)典的比率模型（式（1））直接影響復(fù)發(fā)率,它們是不同的兩部分協(xié)變量.N*（t）為在時(shí)間t或之前擁有事件次數(shù)這樣的計(jì)數(shù)過程.但是在有限時(shí)間內(nèi),不能夠完全觀察，記C為刪失時(shí)間，可設(shè)N（t）=N*（min（t，C）），N（t）為可觀測(cè)到的數(shù)據(jù).

π表示個(gè)體被治愈的概率，（1-π）表示個(gè)體未被治愈的概率.設(shè)當(dāng)個(gè)體是治愈者時(shí)，復(fù)發(fā)率為0；而當(dāng)個(gè)體是非治愈者時(shí)，其部分協(xié)變量對(duì)復(fù)發(fā)率的影響用模型（1）比率函數(shù)表示，還有部分協(xié)變量通過調(diào)整后的logistic模型影響治愈率來影響復(fù)發(fā)率.

故考慮如下，一般混合治愈模型：

這里π（W（t））表示第i個(gè)研究個(gè)體被治愈的概率，它與協(xié)變量Wi（t）有關(guān)，并且二者關(guān)系用上面的調(diào)整后的logistic模型（式3）回歸.其中β0，γ0為未知的回歸參數(shù)向量，分別表示協(xié)變量Wi（t）與Xi（t）對(duì)復(fù)發(fā)事件比率的影響，λ0（·）是未知的基本比率函數(shù).V是一個(gè)權(quán)重，當(dāng)V=0時(shí)，模型（2）和（3）就退化成（1）.因此我們的模型是一類，可將一般比率模型包括在內(nèi)的混合治愈模型.

1.2 模型的估計(jì)方法

2 統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

在研究漸近性質(zhì)之前，先給出復(fù)發(fā)事件數(shù)據(jù)的一般結(jié)構(gòu)：

（Δ1）{Ni（·），Xi（·），Wi（·），Ci}，（i=1，2，...，n）獨(dú)立同分布.

（Δ2）P（Yi（τ）=1）>0，且?guī)缀跆幪嶯i（τ）<η<∞，i= 1，2，...，n，其中η為常數(shù).

（Δ3）Wi（·）和Xi（·）每一個(gè)分量函數(shù)的總變量分別以一個(gè)非隨機(jī)常數(shù)為界.

（Δ4）A為非奇異矩陣，其中

接下來給出這些前面估計(jì)的漸近性質(zhì).

從一致強(qiáng)大數(shù)定律及文[6]中的引理1知道，ξ（s；t）的相合估計(jì)為ξ（s；t），這里，

證明由于

則有

其中

類似于文[6]中附錄A.2的證明，知道n-1/2U（t；θ0）是弱收斂的，并且其極限分布是均值為0，協(xié)方差函數(shù)在式（8）中給出.

則有

未知量被估計(jì)量替代，可以得到協(xié)方差Γ（s，t）函數(shù)的一個(gè)相合估計(jì)是

這里

由[6]中的引理1以及一致強(qiáng)大數(shù)定理知，幾乎處處

其中B（t；θ0）由式（10）給出.由性質(zhì)（7）和式（10）有

另一方面，對(duì)于0≤t≤τ可以得到

于是利用文[6]中的引理1知，對(duì)t一致有

最后由式（15）和式（16）知，對(duì)t一致有

[1]Andersen P K, Gill R D. Cox's regression model counting process: A large sample study[ J ]. Annals of Statistics,1982, 10,1100-1120.

[2]劉煥彬,苗瑞,孫六全. 有偏抽樣下帶信息觀察和刪失的面板數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析[ J ]. 中國科學(xué)A 輯:數(shù)學(xué),2011,41(4): 365-376.

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責(zé)任編輯：畢和平

General Mixture Rate Model for Recurrent Event Data

ZENG Xiaofeng，CHEN Chuanzhon，LI Ni*
（College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China）

In this paper,on the basis of semiparametric rate models for recurrent events data,using the cure rate of adjust?ed Logistic regression model,a mixture rate model including general rate model is proposed,to depict covariate's impact on the recurrence rate.For inference about regression parameters,estimating equation approaches are developed and asymptot?ic properties of the proposed estimators are established.

Recurring event；Semiparametric rate model；Cure rate；Logistic model；Estimating equation

O 212

A

1674-4942（2014）04-0365-04

2014-06-21

海南省教育廳高等學(xué)?？茖W(xué)研究項(xiàng)目（Hjkj2013-16）；海南師范大學(xué)博士啟動(dòng)基金項(xiàng)目；海南師范大學(xué)研究生創(chuàng)新科研項(xiàng)目（Hsyx2014-34）

*通訊作者