Matlab軟件在三線擺法測(cè)定圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中的應(yīng)用

李雪梅，夏雪琴

(浙江海洋學(xué)院，浙江舟山 316000)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有著重要物理意義，在工程技術(shù)、科學(xué)實(shí)驗(yàn)、航天、儀表、機(jī)械、電力等工業(yè)領(lǐng)域也是一個(gè)重要參量。根據(jù)電磁系儀表的線圈轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可用于測(cè)量檢流計(jì)的微小電流或沖擊電流計(jì)的電量;設(shè)計(jì)發(fā)動(dòng)機(jī)葉片、飛輪、陀螺以及人造衛(wèi)星的外形設(shè)計(jì)時(shí)，也要精確地測(cè)定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量主要與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，另外，它還與剛體的形狀、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)。使用三線擺可以測(cè)量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量［1］，但測(cè)量的物理量較多，處理數(shù)據(jù)比較繁瑣。為了使計(jì)算簡(jiǎn)便快捷，使用matlab軟件處理數(shù)據(jù)，可以迅速準(zhǔn)確的得到計(jì)算結(jié)果。

圖1 三線擺實(shí)驗(yàn)裝置圖

1 三線擺法測(cè)量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的原理

實(shí)驗(yàn)中使用的三線擺如圖1所示，上、下圓盤均處于水平，懸掛在橫梁上。三個(gè)對(duì)稱分布的等長(zhǎng)懸線(長(zhǎng)度是H0)將兩圓盤相連，如圖2所示。上圓盤固定，下圓盤(質(zhì)量是m0)可繞中心軸作扭擺運(yùn)動(dòng)。當(dāng)下圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)角度很小，且略去空氣阻力時(shí)，扭擺的運(yùn)動(dòng)可近似看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)周期是T0。根據(jù)能量守恒定律和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律可以導(dǎo)出下圓盤繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量［2-3］:

將質(zhì)量為m的圓環(huán)放在下圓盤上，并使待測(cè)圓環(huán)的轉(zhuǎn)軸與OO'軸重合。測(cè)出此時(shí)下圓盤和圓環(huán)的擺動(dòng)周期T1和上下圓盤間的垂直距離H。同樣可求出待測(cè)圓環(huán)和下圓盤對(duì)中心轉(zhuǎn)軸OO'軸的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:

如不計(jì)因重量變化而引起的懸線伸長(zhǎng)，則有H≈H0，那么，待測(cè)物體繞中心軸OO'的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:

因此，通過長(zhǎng)度、質(zhì)量和時(shí)間的測(cè)量，便可求出圓環(huán)繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。理想圓環(huán)繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論計(jì)算公式是:

因此，百分差的計(jì)算公式是:

相對(duì)不確定度的計(jì)算公式是:

圖2 三線擺中的物理量圖示

2 測(cè)量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法

為了減小三線擺周期的測(cè)量誤差，首先測(cè)量其擺動(dòng)50個(gè)周期所需要的時(shí)間，再計(jì)算單個(gè)周期的時(shí)間。為了減小人工計(jì)數(shù)的實(shí)驗(yàn)誤差，采用光電門進(jìn)行周期的計(jì)數(shù)。實(shí)驗(yàn)中測(cè)量上下圓盤的半徑較為困難，因此分別測(cè)量了上下圓盤的懸線點(diǎn)之間的距離a和b，再根據(jù)計(jì)算出下圓盤半徑 r，根據(jù)計(jì)算出大圓盤的半徑R。另外，使用米尺測(cè)量懸線長(zhǎng)度，使用FA/JA電子天平測(cè)量圓環(huán)和圓盤的質(zhì)量。

3 用Matlab軟件處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的探

3．1 數(shù)據(jù)記錄表1～表2

H0=(46．44 ± 0．05)× 10－2m，下圓盤質(zhì)量m0=(456．93 ± 0．10)× 10－3kg，待測(cè)圓環(huán)質(zhì)量m=(0．200 ± 0．002)kg。

表1 累積法測(cè)周期數(shù)據(jù)記錄參考表格

表2 有關(guān)測(cè)量數(shù)據(jù)及圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量結(jié)果記錄表

3．2 Matlab軟件的具體計(jì)算程序和計(jì)算結(jié)果

(1)把多次測(cè)量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄在Excel表格中，包括下圓盤擺動(dòng)50個(gè)周期所需要的時(shí)間、下圓盤和圓環(huán)一起擺動(dòng)50個(gè)周期所需要的時(shí)間、上圓盤懸孔間距a、下圓盤懸孔間距b和圓環(huán)的內(nèi)外直徑2R2和2R1。保存數(shù)據(jù)的Excel文件名是:data．xls，與Matlab軟件的計(jì)算文件放在同一個(gè)目錄中(E盤根目錄中)。data．xls文件中的具體內(nèi)容是:

表3 Matlab計(jì)算結(jié)果

(2)編寫了三線擺法測(cè)量圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的Matlab程序，且對(duì)編寫的程序進(jìn)行了描繪和說明，說明語(yǔ)句以%開頭。具體內(nèi)容是:

%以a開頭的變量是對(duì)應(yīng)的平均值，以d開頭的變量是對(duì)應(yīng)的不確定度。例如:T0矩陣是下圓盤擺動(dòng)50個(gè)周期的時(shí)間，a_T0是T0的平均值，d_T0是T0的不確定度

%下圓盤50個(gè)周期

%下圓盤加圓環(huán)50個(gè)周期

%上圓盤兩個(gè)懸點(diǎn)之間的距離(單位厘米)

%下圓盤兩個(gè)懸點(diǎn)之間的距離(單位厘米)

%圓環(huán)外直徑(單位厘米)

%圓環(huán)內(nèi)直徑(單位厘米)

%下圓盤質(zhì)量(單位:kg)

%圓環(huán)質(zhì)量(單位:kg)

%繩子長(zhǎng)度，單位:米

%onea_T0:下圓盤一個(gè)周期

%onea_T1下圓盤和圓環(huán)一個(gè)周期

%real_R1:圓環(huán)外半徑

%real_R2:圓環(huán)外半徑

%r上圓盤半徑

%R下圓盤半徑

%實(shí)驗(yàn)測(cè)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

%理論計(jì)算的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

%百分差

(3)運(yùn)行Matlab軟件后，data．xls文件中的數(shù)據(jù)可以自動(dòng)導(dǎo)入Matlab軟件中。經(jīng)過Matlab軟件的處理，可以快速準(zhǔn)確地得到所需要的計(jì)算結(jié)果，如表格3所示，百分差和相對(duì)不確定度分別是1．7%和1．1%。另外，手工計(jì)算了三線擺法測(cè)量圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的百分差和相對(duì)不確定度，分別是1．7%和1．2%，略微大于Matlab軟件計(jì)算的相對(duì)不確定度，也驗(yàn)證了Matlab軟件計(jì)算結(jié)果的正確性。

表3 Matlab軟件計(jì)算結(jié)果列表

4 結(jié) 論

用三線擺法測(cè)量圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的儀器易于操作、實(shí)驗(yàn)設(shè)備簡(jiǎn)單。在實(shí)際中，測(cè)量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)多，且人工處理數(shù)據(jù)的過程比較繁瑣，容易出錯(cuò)。用Matlab軟件處理數(shù)據(jù)可避免繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算，能夠快速、精確地得到測(cè)量結(jié)果，提高了我們的數(shù)據(jù)處理能力。

［1］ 楊述武，趙立竹，沈國(guó)土．普通物理實(shí)驗(yàn)(Ⅰ力學(xué)·熱學(xué)部分)［M］北京:高等教育出版社，2007．

［2］ 關(guān)波，朱瑜，左安友．三線擺轉(zhuǎn)動(dòng)角度控制裝置的設(shè)計(jì)［J］．大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2013，2(10):31-32．

［3］ 竺江峰，魯曉東，夏雪琴．大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)［M］北京:中國(guó)水利水電出版社，2011．

［4］ 段曉勇，單永明．光的干涉和衍射的Matlab數(shù)值模擬［J］．大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2012，25(3):95-97．