“幾何畫(huà)板”在李薩如圖形中的應(yīng)用

王明美

(合肥師范學(xué)院，安徽合肥 230601)

當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)在X軸和Y軸上作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，形成的圖形就是李薩如圖形。

李薩如圖上的每一個(gè)點(diǎn)都可以用以下的公式進(jìn)行表示:

從這里可以看出，李薩如圖實(shí)際上是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)在X軸和Y軸上作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)形成的。但是，如果這兩個(gè)相互垂直的振動(dòng)的頻率為任意值，那么它們的合成運(yùn)動(dòng)就會(huì)比較復(fù)雜，而且軌跡是不穩(wěn)定的。然而，如果兩個(gè)振動(dòng)的頻率成簡(jiǎn)單的整數(shù)比，這樣就能合成一個(gè)穩(wěn)定、封閉的曲線圖形，這就是李薩如圖形。［1-2］

幾何畫(huà)板是一款優(yōu)秀的很適合數(shù)學(xué)、物理教學(xué)和學(xué)習(xí)的教育軟件平臺(tái)。其特點(diǎn)是簡(jiǎn)單實(shí)用，不需要編程，學(xué)習(xí)容易，操作簡(jiǎn)單，交互性強(qiáng)。［3］用幾何畫(huà)板可以輕松實(shí)現(xiàn)描繪李薩如圖形，并且能夠描繪出的動(dòng)態(tài)圖形。文獻(xiàn)3中介紹了使用旋轉(zhuǎn)矢量的方法［3］，本文介紹用諧振動(dòng)方程合成的方法，分別對(duì)于兩個(gè)相互垂直的同頻率的諧振動(dòng)的合成和兩個(gè)相互垂直的頻率成整數(shù)比的諧振動(dòng)的合成繪制動(dòng)態(tài)圖形。

1 兩個(gè)相互垂直的同頻率的諧振動(dòng)的合成

設(shè)有兩個(gè)相互垂直的同頻率的諧振動(dòng)，其振動(dòng)表達(dá)式分別為

式中:ω 為兩個(gè)振動(dòng)的角頻率，A1、A2和 φ10、φ20分別為兩振動(dòng)的振幅和初相位。把參量t消去，就得到軌道的直角坐標(biāo)方程

一般地說(shuō)，上述方程是橢圓方程。特別地，當(dāng)φ20－φ10=0，π時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的軌跡是一條直線。

以下是幾何畫(huà)板5．05的具體步驟。

(1)新建一個(gè)畫(huà)板文件，保存文件名為李薩如圖形．gsp。

(2)建立坐標(biāo)系、設(shè)置參數(shù)

1．1 建立坐標(biāo)系

使用“繪圖”的“定義坐標(biāo)系”，建立直角坐標(biāo)系Oxy。使用直線工具建立平行于x軸線段AB，注意將A點(diǎn)設(shè)置在y軸上，設(shè)置為t軸。

1．2 設(shè)置參數(shù)

在AB線段即t軸上用點(diǎn)工具制作點(diǎn)C，選中C，使用菜單“度量”中的“橫坐標(biāo)”，將標(biāo)注中“xC”改為“t”。使用菜單“數(shù)據(jù)”中的“新建參數(shù)”，設(shè)置x軸諧振動(dòng)振幅A1=1厘米，y軸諧振動(dòng)振幅A2=2厘米，x軸諧振動(dòng)初相位a1=0°，y軸諧振動(dòng)初相位a2=45°。

2 計(jì)算t時(shí)的自變量值和函數(shù)值

使用菜單“數(shù)據(jù)”中的“計(jì)算”，輸入A1*cos(w1*t+a1)算出x值，同理輸入A2*cos(w2*t+a2)算出y值。

3 設(shè)置軌跡和動(dòng)畫(huà)

依次選中x值和y值，使用菜單“繪圖”中的“繪制點(diǎn)(x，y)”，制作出點(diǎn) D，依次選中 D、C點(diǎn)，使用菜單“構(gòu)造”中的“軌跡”。

依次選中C、B點(diǎn)，使用菜單“編輯”中的“操作類按鈕”的“移動(dòng)”命令，選擇中速，移動(dòng)到目標(biāo)位置，設(shè)置出按鈕“移動(dòng)C→B”;同理設(shè)置出按鈕“移動(dòng)C→A”。

單擊按鈕“移動(dòng)C→B”，就可以顯示D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖1所示。

圖1 兩個(gè)相互垂直的同頻率的諧振動(dòng)的合成D點(diǎn)的軌跡

改變參數(shù)，可以得到D點(diǎn)不同的軌跡，圖2是兩個(gè)相互垂直的同頻率而不同相位差的諧振動(dòng)的合成，圖中只需保留了D點(diǎn)的軌跡，其他元素都隱藏。

圖2 兩個(gè)相互垂直的同頻率而不同相位差的諧振動(dòng)的合成Δφ=φ20－φ10

4 兩個(gè)相互垂直的頻率成整數(shù)比的諧振動(dòng)的合成

設(shè)置 w1w2為 5 2，A1=2A2，得到圖3。

圖3兩個(gè)相互垂直的w1w2為5 2的諧振動(dòng)的合成(A1=2A2)

依次取 w1w2為2 1、3 1、3 2 和5 2，依次2π，取 A1=2A2，得到圖4。

圖3 兩個(gè)相互垂直的w1w2為52的諧振動(dòng)的合成(A1=2A2)

圖4 兩個(gè)相互垂直的頻率成整數(shù)比的諧振動(dòng)的合成(Δφ=φ20－φ10A1=2A2)

若以N1和N2分別表示李薩如圖形與外切水平線及外切垂直線的切點(diǎn)數(shù)，則其切點(diǎn)數(shù)與正弦波頻率之間有如下關(guān)系:w1w2=N1N2。

本文中使用的諧振動(dòng)方程合成的方法，特別是設(shè)置變量t的方法，適用于其他簡(jiǎn)諧振動(dòng)的多種關(guān)系圖示。［4-5］

［1］ 馬文蔚．物理學(xué)·下冊(cè)(第四版)［M］．北京:高等教育出版社，1999:23-26．

［2］ 趙艷．基于Matlab示波器原理的演示［J］．大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2013，26(16)．

［3］ 蘭明乾．用幾何畫(huà)板描繪李薩如圖形［J］．實(shí)驗(yàn)科學(xué)與技術(shù)，2008(3):31-33．

［4］ 王明美．幾何畫(huà)板在一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成教學(xué)中的應(yīng)用［J］．合肥師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，12(6):69-70．

［5］ 王明美．“幾何畫(huà)板”繪制機(jī)械振動(dòng)的關(guān)系圖示［J］．大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2013，26(4):69-71．