利用逆向思維，設(shè)輔助函數(shù)解決有關(guān)中值問題

邱香蘭

(萍鄉(xiāng)學(xué)院，江西 萍鄉(xiāng) 337000)

運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題時有兩種思維方式，正向思維和逆向思維。逆向思維法是指為實現(xiàn)某一創(chuàng)新或解決某一因常規(guī)思路難以解決的問題，而采取反向思維尋求解決問題的方法。設(shè)輔助函數(shù)是由題設(shè)條件及所給的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造一種新的函數(shù)、使問題在新的關(guān)系下實現(xiàn)轉(zhuǎn)化從而獲得解決的方法。利用逆向思維，設(shè)輔助函數(shù)解決有關(guān)的中值問題，就是由問題結(jié)論及題中所給的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造一種新的函數(shù)、使中值問題在新的關(guān)系下實現(xiàn)轉(zhuǎn)化從而獲得解決的方法。

1 解決中值問題的主要理論知識

1.1 羅爾定理

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)內(nèi)至少有一點ξ(a＜ξ＜b)，使得f'(ξ)=0

1.2 拉格朗日中值定理

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a，b)內(nèi)至少有一點ξ(a＜ξ＜b)，使等式f(b)-f(a)=f'(ξ)(a-b)成立。

1.3 柯西中值定理

如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，對任一x∈(a，b)，F(xiàn)'(x)≠0，那么在(a，b)內(nèi)至少有一點ξ(a＜ξ＜b)，使等式成立。

1.4 泰勒中值定理

如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個開區(qū)間(a，b)內(nèi)具有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，則對任一x∈(a，b)有:

這里ξ是x0與x之間的某個值。

2 中值問題的解題方法及舉例說明

考察分析羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的結(jié)論以及泰勒中值定理的條件可以得出下面有關(guān)中值問題的一般解題方法:

2.1 證明含一個中值的等式或根的存在

多用羅爾定理，可用原函數(shù)法找輔助函數(shù)。即若命題為證明在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在ξ使R(ξ，f(ξ)，f'(ξ))=0，可考慮由R(ξ，f(ξ)，f'(ξ))得出R(x，f(x)，f'(x))，由此用原函數(shù)法找輔助函數(shù)F(x)，使其在某區(qū)間上滿足羅爾定理，且F'(ξ)=R(ξ，f(ξ)，f'(ξ))=0，或F'(ξ)=G(ξ)R(ξ，f(ξ)，f'(ξ))=0，且G(ξ)≠0.

例1:設(shè)f(x)在［0，1］上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)=0.證明至少存在一點ξ∈(0，1)，使

證:問題轉(zhuǎn)化為ξf'(ξ)+2f(ξ)=0，

設(shè)輔助函數(shù) F(x)=x2f(x)，顯然F(x)在［0，1］上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0，即滿足羅爾定理條件，故至少存在一點ξ∈(0，1)，使

例2:設(shè)實數(shù)a0，a1，a2，…，an，滿足下述不等式

證明方程a0+a1x+…+anxn=0，在(0，1)內(nèi)至少有一個實根.

證:令F'(x)=a0+a1x+…+anxn，則可設(shè)

顯然，F(xiàn)(x)在［0，1］上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0，即滿足羅爾定理條件，故至少存在一點ξ∈(0，1)，

使 F'(ξ)=0.

即a0+a1x+…+anxn=0在(0，1)內(nèi)至少有一個實根.

2.2 若結(jié)論中涉及含中值的兩個不同函數(shù)，可考慮用柯西中值定理

例3:設(shè)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且0＜a＜b.試證存在ξ，η∈(a，b)，使:

因f(x)在［a，b］上滿足拉格朗日中值定理的條件，故有

又f(x)及x2在［a，b］上滿足柯西中值定理的條件，故有

2.3 若結(jié)論中含兩個或兩個以上的中值，必須多次應(yīng)用拉格朗日中值定理

例4:已知函數(shù)f(x)在［0，1］上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，f(1)=1，證明:

(1)存在ξ∈(0，1)使得f(ξ)=1-ξ;

(2)存在兩個不同的點，η，ξ∈(0，1)，使得f'(η)f'(ξ)=1.

證:(1)令g(x)=f(x)+x-1，則g(x)在［0，1］上連續(xù)，且g(0)=-1＜0，g(1)=1＞0，故存在ξ∈(0，1)，使g(ξ)=f(ξ)+ξ-1=0，即 f(ξ)=1-ξ.

(2)根據(jù)拉格朗日中值定理，存在η∈(0，ξ)?(0，1)，ζ∈(ξ，1)?(0，1)，使

2.4 若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù)，多考慮用泰勒公式

特別是證明與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某一點取值有關(guān)的不等式時，往往考慮函數(shù)在某點的泰勒公式。

根據(jù)泰勒中值定理，當(dāng)x≠0時，有

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊)［M］.第6版.北京:高等教育出版社，2007.128-144.

［2］徐兵，肖馬成，周概容.2009年考研數(shù)學(xué)歷年真題解析與應(yīng)試對策［M］.北京:高等教育出版社，2008.38.