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    從一道習題看電磁感應中變加速直線運動的數(shù)據(jù)制約關系

    2014-06-27 06:52:40黎國勝
    物理通報 2014年1期
    關鍵詞:金屬桿電磁感應導軌

    黎國勝

    (成都雙流中學 四川 成都 610200)

    近年來,由于新課改的普遍推行,很多學生不選《物理·選修3-5》,就意味著力學最難的“動量”部分不再進入這部分學生的注意力中.相應的高考試卷難度就下降了很多,因此“電磁感應”部分的難度就有上升的可能.因為“電磁感應”涉及的知識點多、面廣,受力分析、運動與力的關系、牛頓定律、能量轉化、電路計算等都可能涉及.很多“電磁感應”試題都涉及到變加速運動,能很好地考查學生的綜合能力,這類試題倍受命題者的青睞.但是這類試題由于合外力在變,導致加速度在變,速度也在變,這個過程中各種能量參與轉化,命題者給出的數(shù)據(jù)很容易出現(xiàn)科學性錯誤.合外力、加速度、速度、位移等數(shù)據(jù)相互制約,不能隨意給出,否則容易出現(xiàn)科學性錯誤.本文以一道熱門試題為例試圖探討這些數(shù)據(jù)間的制約關系.

    題目:光滑平行的金屬導軌MN和PQ,間距為L=1.0 m,與水平面之間的夾角α=30°,勻強磁場磁感應強度B=2.0 T垂直于導軌平面向上,MP間連接有R=2.0 Ω的電阻,其他電阻不計,質量m=2.0 kg的金屬桿ab垂直導軌放置,如圖1(a)所示.用恒力F沿導軌平面向上拉金屬桿ab,使金屬桿由靜止開始運動,其v-t圖像如圖1(b)所示.g=10 m/s2,導軌足夠長.求:

    (1)金屬桿的最大速度的大小;

    (2)恒力F的大?。?/p>

    (3)金屬桿速度為2.0 m/s時的加速度大?。?/p>

    (4)根據(jù)v-t圖像估算在前1 s內電阻上產生的熱量.

    圖1

    這是一道典型的“電磁感應”綜合題,涉及受力分析、力的平衡、電路計算、牛頓第二定律、能量轉化與功能關系、物理圖像,綜合性非常強.請看編者給出的參考解答.

    參考解答:

    (1)由圖1(b)知,桿運動的最大速度為

    vm=4 m/s

    (2)桿運動到最大速度時,所受合外力等于零,受力分析如圖2所示.

    圖2

    F=mgsinα+F安

    又因

    代入數(shù)據(jù)得

    F=18 N

    (3)由牛頓第二定律可得

    F-F安-mgsinα=ma

    又因

    代入數(shù)據(jù)得

    a=2.0 m/s2

    (4)由圖1(b)可知1 s末金屬桿的速度

    v1=2.6 m/s

    前1 s內圖線與t軸所包圍的小方格的個數(shù)為43個,面積為43×0.2×0.2=1.72,即前1 s內金屬桿的位移

    x=1.72 m

    由功能關系得產生的熱量為

    代入數(shù)據(jù)得

    Q=7 J

    說明:前1 s內圖線與t軸所包圍的小方格的個數(shù)在42~44個之間,位移在1.68 ~1.76 m之間,產生的熱量在6.68~7.32 J之間均正確.

    此題的第4問非常巧妙,速度-時間圖像的面積代表位移,學生都知道.筆者在用此題進行考試時,所教兩個班級的學生有一人應用了此法,做完后他感覺此法很粗糙,因為數(shù)方格的個數(shù)太不準確.他又另辟蹊徑,用微元法做了一遍.

    某時刻,桿的速度為v,根據(jù)受力分析和牛頓第二定律有

    F安=IBL

    F-F安-mgsinα=ma

    聯(lián)立以上各式得

    上式中

    vΔt=Δx

    兩邊累加得

    在本題中恒力F,質量m,角度α,B,L均已知,那么桿的速度、時間、位移之間的相互約束關系為

    v=4t-x

    即桿在做變加速直線運動的過程中,位移、速度、時間三者之間必須滿足這個方程,三個量之間相互制約.

    1 s時速度是2.6 m/s,那么位移就該等于1.4 m.本題給出的數(shù)據(jù)就明顯不滿足這個關系.

    微元法的實質是微分和積分思想的應用,高中階段雖然沒有學習積分,但這種累加的思想學生容易理解和接受.在高中階段學習過程中,學生早在高一學習v-t圖像的面積時就已接觸到.

    因此,筆者強烈建議命題人員在給出這類運動的數(shù)據(jù)時一定要利用微元法進行驗算.

    本題的數(shù)據(jù)問題出在哪里呢?

    根據(jù)上面的方程有

    解出上面的微分方程有

    v=4(1-e-t)

    從理論上講,速度要達到最大值,時間必是無限長,借助于Excel軟件,讓時間由零開始,每次增加0.1 s,算出速度,可知,1 s時速度為2.528 48 m/s,本題圖中卻是2.6 m/s;當時間t=7 s時速度等于3.996 35 m/s,還不到4 m/s,而此題所給時間不到4 s就達到最大速度了,計算表明,實際上4 s時速度只有3.926 73 m/s.這個圖像應該怎樣畫呢?筆者借助于電子表格軟件繪出其圖像如下.

    圖3 速度-時間圖像

    利用積分,可知x=4t+4(e-t-1),用幾何畫板也可以作出位移-時間圖像,如圖4所示.

    圖4 位移-時間圖像

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