基于Beta分布的改進的一次可靠度法研究

徐志軍， 張 博， 王 凱， 鄭俊杰

(1.河南工業(yè)大學 土木建筑學院，河南 鄭州 450001；2. 華中科技大學 土木工程與力學學院，湖北 武漢 430074 )

在可靠度理論中，一次可靠度方法被廣泛應用于結構可靠度分析中。一次可靠度法的優(yōu)點在于，對于同一工程實例，當功能函數(shù)發(fā)生變化時，利用一次可靠度方法計算出的可靠度指標不變。Kiureghian[1]利用一次可靠度理論提出了一種改進的二次可靠度方法。Juang[2]將一次可靠度方法應用于地震荷載下砂土液化可靠度研究，得出了地震荷載下可靠度指標變化規(guī)律。Huang[3]針對一次可靠度的不足，提出了一種改進的可靠度計算方法，并將該方法應用于巖石力學中。徐志軍[4]利用一次可靠度理論研究了基樁在豎向和水平荷載下的可靠度優(yōu)化設計方法。Xiang[5]利用一次可靠度方法提出了動荷載下結構的疲勞可靠度研究方法。Shinozuka[6], Ang[7], Madsen[8]和其他相關學者研究了一次可靠度方法。但以上研究將功能函數(shù)中的隨機變量假設為正態(tài)分布或對數(shù)正態(tài)分布，并采用圖1中的計算方法計算可靠度指標。當功能函數(shù)的非線性程度較高，或隨機變量不服從正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布時，采用以上現(xiàn)有研究成果無法保證計算效率和計算精度。

圖1 一次可靠度方法示意

為了解決以上問題，Zhao[9]研究了隨機變量的取值范圍，提出了一種通用的一次可靠度和二次可靠度方法。Low和Tang[10]利用Excel軟件提出了面向對象算法的一次可靠度方法。Melchers[11], Zhao[12]和其他相關學者研究了改進的一次可靠度方法，取得了一些有意義的成果。但這些研究成果要么計算過程繁瑣，要么可能因不收斂導致無法計算可靠度指標。

為了提高一次可靠度方法的計算精度和計算效率，本文利用Beta分布擬合功能函數(shù)中的隨機變量概率分布。并采用蒙特卡洛模擬法比較了利用不同概率分布的一次可靠度計算精度。最后，利用實例分析給出了本文方法的有效性。

1 隨機變量的概率分析

1.1 正態(tài)分布與對數(shù)正態(tài)分布

正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布是工程中常用的兩種概率分布。設Z=(Z1,Z2,L,Zn)為一隨機變量服從正態(tài)分布，均值和標準方差分別為μZ和σZ，則隨機變量Z的概率密度函數(shù)為

-∞

(1)

如果隨機變量Z服從對數(shù)正態(tài)分布，則概率密度函數(shù)為

(2)

劉勇[13]通過詳細研究每種概率分布的不足，介紹了Beta分布及各參數(shù)的確定方法，并通過實例分析驗證了Beta分布擬合精度高于其他分布。

1.2 Beta分布

本文利用Beta分布擬合隨機變量Z的概率分布。Beta分布的概率密度函數(shù)表達式為

fZ(Z)=

(3)

式中：Be(γ,η)為含有兩個形參γ和η的Beta函數(shù)；m和n分別為隨機變量的最小值和最大值。

令歸一化變量為

(4)

則式(3)可轉化為

(5)

式(5)是標準的Beta分布，其均值和方差分別為[7]

(6)

(7)

式中：μBe和varBe分別為fT(t)的均值和方差。根據(jù)式(6)和式(7)得，兩個形參γ和η的計算公式分別為

(8)

(9)

對于不同的形參得出不同的曲線見圖2～圖5。由圖2～圖5可知，Beta分布能夠接受大多數(shù)概率分布。劉勇通過詳細的研究得出，Beta分布的擬合精度比常見的概率分布的擬合精度高。本文擬利用Beta分布擬合隨機變量的概率分布。

圖2 “凸”形Beta分布

圖3 “凹”形Beta分布

圖4 “凹”形Beta分布

圖5 “凹”形Beta分布

2 一次可靠度法

在標準正態(tài)空間中，一次可靠度法就是在失效面中找到一個點，使這個點到原點之間的距離最短，這個最短距離就是可靠度指標(β)。其計算過程見圖1，計算公式為

(10)

也可以用下面的計算公式

(11)

式中：μ為X的均值；C為協(xié)方差矩陣；R為相關系數(shù)矩陣；F為失效區(qū)域；μi為xi的均值；σi為xi的標準方差。式(10)實際上是個優(yōu)化過程，具體的計算過程可采用Excel軟件或Matlab編程完成。

在式(10)中，當Z服從正態(tài)分布時，二次型的(Z-μ)TC-1(Z-μ)是一個非正指數(shù)型多變量正態(tài)概率密度函數(shù)。Z服從其他概率分布的情況在第3部分詳細給出。

3 實例分析

文獻[3]給出了一個平面應變模型，平面的每個單位受力情況見圖6。在圖6中，σ3=1.0。由于受各種不確定因素的影響，排水強度參數(shù)即黏聚力和內摩擦角應視為一隨機變量，兩者的均值分布為μc=0.1和μtanφ=0.3。盡管兩者的變異系數(shù)處于0.05到0.5之間，為了方便研究，兩者的變異系數(shù)取

0

圖6 單位單元的平面應變示意

利用摩爾庫倫失效準則，可得如下公式

σ1f=σ3ftan2(45°+φ/2)+2ctan(45°+φ/2)

(12)

式中：c和φ分別為土的黏聚力和內摩擦角。

定義如下的安全系數(shù)

(13)

為了利用一次可靠度法計算平面應變的可靠度指標，將黏聚力c和φ內摩擦角視為隨機變量，基于摩爾庫倫失效準則，建立如下的極限狀態(tài)方程

(14)

本文將基于式(14)討論平面應變的可靠度指標。表1給出了不同軸向荷載下安全系數(shù)。基于表1中的數(shù)值，利用VBA語言得出式(10)的數(shù)組公式為

“=sqrt(mmult(transpose(nx),mmult (minverse(crmat);nx)))”

(15)

在本文中，將重點研究正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和Beta分布的擬合精度。由概率理論可知，正態(tài)概率分布特性(均值和方差)轉化為標準正態(tài)分布概率分布的特性計算公式為

(16)

μN=x-σNΦ-1[F(x)]

(17)

式中：x為原始的非正態(tài)變量；Φ-1[·]為標準正態(tài)分布的逆；F(x)和f(x)分別為x的概率分布函數(shù)和密度函數(shù)；φ{·}為標準概率分布的密度函數(shù)。

由式(16)和式(17)，利用VBA將對數(shù)正態(tài)分布變量和Beta分布變量轉化為正態(tài)分布。

表1 不同安全系數(shù)下 σ1 的計算結果

為了對比計算精度，利用蒙特卡羅模擬法對比各種概率分布的計算結果?；赩BA語言，利用圖1和圖7計算出當c和tanφ分別服從正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布時平面應變的可靠度指標見圖8。由圖8可看出，當c和tanφ服從對數(shù)正態(tài)分布時利用一次可靠度計算結果高估了可靠度指標；當c和tanφ服從正態(tài)分布時，利用一次可靠度計算結果低估了可靠度指標。譬如，當安全系數(shù)FOS=1.25，變異系數(shù)COV=1.50時，當c和tanφ服從對數(shù)正態(tài)分布時，計算出的可靠度指標為0.671；當c和tanφ服從正態(tài)分布時，計算出的可靠度指標為0.417，兩者之間的差值為0.254。在圖7中，當COV=1.50時，利用兩種概率分布計算出的可靠度指標之間的差值都在0.200以上，這在工程中是不容許的[7]。

為了提高計算精度，本文利用Beta分布擬合c和tanφ的概率分布。圖8和圖9分別給出了當c和tanφ服從對數(shù)正態(tài)分布和正態(tài)分布分別與Beta分布的對比計算結果。從圖8和圖9可看出，利用Beta分布的計算精度高于對數(shù)正態(tài)分布和正態(tài)分布。在圖8和圖9中，利用Beta分布和其他兩種分布的計算結果之間的差值介于0.008～0.01之間。因此，本文提出的Beta分布擬合隨機變量的概率不僅大大提高了計算精度，而且在保證迭代收斂的前提下提高了計算效率。

圖 7 變量服從正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布時的計算結果

圖 8 變量服從對數(shù)正態(tài)分布和Beta分布時的計算結果

圖9 變量服從正態(tài)分布和Beta分布時的計算結果

4 結 論

利用常用的概率分布(對數(shù)正態(tài)分布和正態(tài)分布)擬合工程數(shù)據(jù)存在著擬合精度不高的問題。本文利用beta分布擬合工程數(shù)據(jù)的概率分布，并利用平面應變問題驗證了本文方法的有效性，得到以下結論：

(1)當c和tanφ服從對數(shù)正態(tài)分布時利用一次可靠度計算結果高估了可靠度指標；當c和tanφ服從正態(tài)分布時，利用一次可靠度計算結果低估了可靠度指標。

(2)利用Beta分布的計算精度高于對數(shù)正態(tài)分布和正態(tài)分布。本文提出的Beta分布擬合隨機變量的概率不僅大大提高了計算精度，而且在保證迭代收斂的前提下提高了計算效率。

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