三維虛擬路面的諧波重構(gòu)*

李鵬飛 馮國勝 鄧曉龍 于海征 袁新華

（石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院）

近幾年，隨著計(jì)算機(jī)及相關(guān)技術(shù)的發(fā)展，虛擬樣機(jī)技術(shù)已廣泛應(yīng)用于車輛動(dòng)力學(xué)性能分析，而在虛擬樣機(jī)中進(jìn)行車輛動(dòng)力學(xué)仿真所要解決的首要問題便是道路激勵(lì)，路面輸入模型能否準(zhǔn)確的反映實(shí)際研究的路面對(duì)分析準(zhǔn)確性有著根本的影響，因此文章提出了一種三維路面重構(gòu)方法。近年來，很多學(xué)者提出了不同的路面重構(gòu)方法，文獻(xiàn)[1]基于有理函數(shù)描述的標(biāo)準(zhǔn)路譜以白噪聲濾波法建立了四輪輸入激勵(lì)的時(shí)域模型。文獻(xiàn)[2-3]基于有理函數(shù)描述的路譜建立了三維路面不平度的AR模型，從而建立了三維路面模型。文獻(xiàn)[4]基于指數(shù)函數(shù)描述的路譜用諧波疊加法重構(gòu)了隨機(jī)道路不平順高程的時(shí)域模型。而文章提出的重構(gòu)三維路面方法不僅可很好的模擬各種路面，且提出的編制Adams三維路譜的方法可廣泛的應(yīng)用于各種汽車動(dòng)力學(xué)分析軟件，為車輛動(dòng)力學(xué)仿真提供了準(zhǔn)確通用的路面構(gòu)造方法。

1 諧波疊加法原理

通過選取合適的三角級(jí)數(shù)進(jìn)行疊加可以逼近任意一個(gè)波形，根據(jù)長(zhǎng)期對(duì)路面不平度的測(cè)量與統(tǒng)計(jì)，可知路面為穩(wěn)態(tài)各態(tài)歷經(jīng)均值為0的Gaussian隨機(jī)過程。因此對(duì)路面不平度的測(cè)量數(shù)據(jù)是一個(gè)隨機(jī)過程，無法得到具體表達(dá)式，但經(jīng)過計(jì)算機(jī)處理可以得到其頻率模型和方差等統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)，這樣就可以通過對(duì)其方差的離散構(gòu)造一組諧波來對(duì)這一隨機(jī)過程進(jìn)行模擬。離散區(qū)間內(nèi)，在保證其方差的條件下，隨機(jī)的選取不同相位的諧波來對(duì)隨機(jī)路面進(jìn)行重構(gòu)。由諧波疊加而得的隨機(jī)路面不僅數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，并且可以模擬任意的隨機(jī)路面。

隨機(jī)路面功率譜密度常用擬合表達(dá)式[6]為:

式中:n——空間頻率，m-1，為波長(zhǎng)λ 的倒數(shù)；

w——頻率指數(shù)，決定路面功率譜的頻率結(jié)構(gòu)；

n0——參考空間頻率，取0.1 m-1；

Gq（n0）——n0下路面功率譜密度，又稱路面不平度系數(shù)，m3。

式（1）是基于空間頻率的表達(dá)式，為了轉(zhuǎn)換成所熟悉直觀的時(shí)間頻率需要考慮車速(u/(m/s)) 和時(shí)間頻率（f/Hz），這樣就可以將空間功率譜密度（Gq（n）/m3）換算為時(shí)間功率譜密度（Gq（f）/m2·s），如式（2）和式（3）所示。

選取一段典型頻率范圍（f1＜f＜f2）內(nèi)的Gq（f），對(duì)其進(jìn)行頻譜分析可得路面不平度的方差（σz2），如式（4）所示。

把所選頻率范圍（f1＜f＜f2）離散為n 個(gè)小區(qū)間，取每個(gè)小區(qū)間中心頻率（fmid-i/Hz，i=1，2，…，n）處的功率譜密度值（Gq（fmid-i）/m2·s）來取代Gq（f）在整個(gè)小區(qū)間內(nèi)的值，▽fi/Hz 為每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度，式（4）經(jīng)近似離散化后寫為:

對(duì)應(yīng)每個(gè)小區(qū)間，具有fmid-i，i=1，2，…，n，且其標(biāo)準(zhǔn)差為的正弦波函數(shù)可為[7]:

把離散后的正弦函數(shù)疊加起來，就可以得到時(shí)域下的路面隨機(jī)譜:

式中:θi——[0，2π]的隨機(jī)數(shù)；

q（t）——時(shí)域內(nèi)的路面高程，m。

將其化為空間域內(nèi)的諧波疊加式如下:

式中:θi（x，y）——[0，2π]上均勻分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量；

x，y——路面縱橫向行程，m；

q（x，y）——空間域內(nèi)路面高程，m。

2 三維路面仿真實(shí)例及驗(yàn)證

一般路面的空間頻率段分布在0.011 m-1＜n＜2.83 m-1范圍內(nèi)，通常的車速范圍在u=10～30 m/s（相當(dāng)于u=36～108 km/h），在此車速范圍下，可以使時(shí)間頻率分布在f=0.33～28.3 Hz。此頻率段將懸掛質(zhì)量固有頻率1～2 Hz 及非懸掛質(zhì)量固有頻率10～15 Hz 包含在其中[6]。

取u=20 m/s，將時(shí)間頻率f=0.33～28.3 Hz 分為200 等分，即:n=200，n 取得過小會(huì)使生成的路譜誤差較大，若n 取較大值則會(huì)大大增加計(jì)算量。由式（8）在Matlab 中建立4 m×140 m 區(qū)域的B 級(jí)路面，生成的三維路面高程圖，如圖1所示。

仿真生成的三維路面譜與標(biāo)準(zhǔn)路面譜存在一定誤差，通過其功率譜密度來考察其可信度。取y=1 m 處的路面高程，如圖2所示。由于u=20 m/s，由t=x/u 可得其時(shí)域內(nèi)路面不平度信號(hào)，如圖3所示。文章使用welch算法計(jì)算三維路譜y=1 m 截面的功率譜密度，此法以加窗求取平滑，以分段重疊求平均，雖然此法估計(jì)曲線比較粗糙，但其分辨率較好，且可有效減小方差和偏差[8]。可得到B 級(jí)路面功率譜密度與標(biāo)準(zhǔn)路面功率譜密度的比較，如圖4所示。從圖4可以看出，仿真算法生成的路譜可以很好的模擬真實(shí)路面。

3 Adams三維路面生成及仿真

空間一系列的三角平面組成的三維路面模型就是3D等效容積道路，如圖5所示，先確定點(diǎn)1～5的空間坐標(biāo)，然后連接1—2—3；2—3—4；3—4—5；3—5—6來構(gòu)成路面塊A，B，C，D。Adams路面文件包含5個(gè)數(shù)據(jù)段Header（標(biāo)題）、Units（單位）、Model（模式）、Nodes（節(jié)點(diǎn)）及Element（元素），其中的核心部分為Nodes和Element，該模型可以精確的反映路面形狀，提供精準(zhǔn)的仿真環(huán)境[9]。但在構(gòu)造模型時(shí)需要輸入繁瑣的數(shù)據(jù)，對(duì)于4 m×140 m的道路模型需要輸入57 441個(gè)節(jié)點(diǎn)（采樣間隔0.1 m），無法手工完成，需在Matlab中編程獲取。

設(shè)路面的縱向長(zhǎng)度為x，橫向長(zhǎng)度為y，縱向取樣間隔為Δx，橫向取樣間隔為Δy。通過諧波疊加法在Matlab中計(jì)算路面高程時(shí)涉及到數(shù)組的運(yùn)算，為了便于程序的編寫，通常使 Δx，Δy滿足x/Δx，y/Δy的關(guān)系，這樣總節(jié)點(diǎn)數(shù)為（x/Δx+1）2。由于諧波疊加法構(gòu)造的節(jié)點(diǎn)其坐標(biāo)已知，故以下是確定其節(jié)點(diǎn)號(hào)，及節(jié)點(diǎn)號(hào)之間的連接關(guān)系以構(gòu)成三角形單元。

3.1 節(jié)點(diǎn)生成算法

3.2 單元生成算法

單元的生成實(shí)質(zhì)就是確定各節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系，將相鄰的3個(gè)節(jié)點(diǎn)連接在一起組成一個(gè)三角塊。將三維路面投影到水平面上，將其分割為個(gè)矩形，取每個(gè)矩形的左下角3個(gè)點(diǎn)連接成一個(gè)三角形單元，然后再取右上角3個(gè)點(diǎn)連接成一個(gè)三角單元，相當(dāng)于將一個(gè)大矩陣劃分為小矩陣，然后再對(duì)小矩陣進(jìn)行三角單元?jiǎng)澐?，以此為思想可得到三角單元。設(shè)四維向量Elements矩陣的第i行j列元素為（aij，bij，cij，1），aij，bij，cij為對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)，1為靜摩擦因數(shù)[10]。

在Matlab中編寫程序生成節(jié)點(diǎn)矩陣和單元矩陣后導(dǎo)出其數(shù)據(jù)，編寫成Adams中的rdf文件，最終生成的三維路面模型，如圖6所示。

3.3 三維路面仿真分析

采用Adams/Car 中的整車模型，修改其輪胎模型，采用Ftire 輪胎模型替換原輪胎模型，F(xiàn)tire 輪胎模型為不規(guī)則路面的高分辨率輪胎模型，可提高仿真精度。編寫dcf 驅(qū)動(dòng)控制文件來驅(qū)動(dòng)汽車以20 m/s 的速度分別在生成的B 級(jí)3D 路面和平直路面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，得到不同路面下汽車質(zhì)心的垂直位移圖和垂直加速度，如圖7～10所示。

由圖7可知，在平直路面上汽車質(zhì)心垂直位移沒有變化；圖8中汽車質(zhì)心垂直位移在仿真3D 路面上變化明顯，由于在汽車起步階段汽車沒有達(dá)到靜平衡；在圖9中汽車質(zhì)心在平直路面上垂直加速度起初有所跳動(dòng)，最后為0；圖10中汽車質(zhì)心垂直加速度在仿真3D路面上變化明顯。由此驗(yàn)證了Matlab 中生成的三維路譜及編制而成的路譜文件能很好的應(yīng)用于Adams 中，并且反映了路面的實(shí)際情況，為汽車的運(yùn)動(dòng)仿真提供了合適、精確的路面激勵(lì)。

4 結(jié)論

1）采用改進(jìn)的諧波疊加法建立了三維隨機(jī)路面模型，對(duì)創(chuàng)建的B 級(jí)路面進(jìn)行了功率譜密度分析并能與標(biāo)準(zhǔn)路面的功率譜密度很好的吻合，表明所創(chuàng)建的三維隨機(jī)路面符合路面實(shí)際狀況。

2）利用Matlab 軟件編制了適用于Adams 的三維隨機(jī)路譜文件，并在Adams 中進(jìn)行了驗(yàn)證，其反映了路面的實(shí)際情況，為路面譜的數(shù)值模擬以及為汽車的振動(dòng)、控制原理及疲勞耐久性研究等帶來了很大的方便，應(yīng)該指出雖然文章是針對(duì)Adams 軟件，但也適用于所有以三角單元作為基本元素構(gòu)造路面的情況。