艾拉姆咖分布參數(shù)多重模糊假設(shè)檢驗(yàn)的貝葉斯方法①

楊淳偓， 魏立力

(寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，寧夏銀川 750021)

0 引言

假設(shè)檢驗(yàn)作為應(yīng)用統(tǒng)計(jì)推斷和統(tǒng)計(jì)決策中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，已發(fā)展了一套比較完善的理論[1].然而，如果在假設(shè)或觀測(cè)值中引入模糊概念，則將面臨很多新穎而又有趣的問(wèn)題.

近年來(lái)，許多學(xué)者致力于模糊假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的研究[2～11]，其中一個(gè)重要的方面是把模糊集理論與貝葉斯方法結(jié)合起來(lái).Delgado等人[2]利用模糊集理論與貝葉斯方法，得到原假設(shè)的一個(gè)模糊拒絕域.Casals[3]研究了與[2]相同的問(wèn)題，但其考慮的觀測(cè)信息也是模糊的.Taheri[4～5]等人研究了觀測(cè)數(shù)據(jù)是精確的而假設(shè)是模糊的模糊假設(shè)的貝葉斯檢驗(yàn).Saade[6]在決策過(guò)程中應(yīng)用了模糊化的貝葉斯準(zhǔn)則研究了二重假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題及模糊似然函數(shù).對(duì)于經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)題，國(guó)內(nèi)有不少學(xué)者在研究，但是只有部分學(xué)者將模糊數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)合起來(lái)做研究.魏立力等人[7～8]將模糊性引入到多重假設(shè)中，從貝葉斯決策的角度出發(fā)，在定數(shù)截尾樣本情形下，研究了兩參數(shù)指數(shù)分布中尺度參數(shù)的多重模糊假設(shè)檢驗(yàn)的貝葉斯方法.沈紅菊等人[9]研究了單參數(shù)指數(shù)分布中參數(shù)的多重模糊假設(shè)的貝葉斯檢驗(yàn).馬翠玲等人[10]研究了兩參數(shù)威布爾分布中尺度參數(shù)的多重模糊假設(shè)的貝葉斯檢驗(yàn).夏亞峰等人[11]研究了兩參數(shù)指數(shù)_威布爾分布中參數(shù)的多重模糊假設(shè)的貝葉斯檢驗(yàn).

艾拉姆咖分布[12]是俄羅斯在研究武器裝備的維修時(shí)間時(shí)引入的，此分布在裝備維修理論中占有非常重要的地位，其模糊假設(shè)通常有很好的解釋.本文在精確樣本情形下，考慮艾拉姆咖分布參數(shù)的多重模糊假設(shè)的貝葉斯檢驗(yàn).其中，使用的先驗(yàn)分布為Jeffreys先驗(yàn)和共軛先驗(yàn)分布，并且給出了數(shù)值例子.

1 預(yù)備知識(shí)

首先引入一些基本概念.為了避免可能的爭(zhēng)議，在這里強(qiáng)調(diào):先驗(yàn)分布是關(guān)于假設(shè)的真實(shí)性的先驗(yàn)信息，而隸屬函數(shù)僅是對(duì)于假設(shè)本身所描述概念的不確定性的一個(gè)反映.

設(shè)Θ為我們所考慮的參數(shù)空間，通常是Rn的一個(gè)子集.

稱(chēng)為一個(gè)k重模糊假設(shè)(k≥2，且為自然數(shù))，記為(H0，H1，…，Hk－1).記A={a0，a1，…，ak－1}為行動(dòng)空間，其中ai表示接受Hi(i=0，1，…，k－1)的行動(dòng).

設(shè)X=(X1，X2，…，Xn)是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，觀測(cè)值為x=(x1，x2，…，xn)，其中X的概率函數(shù)為f(x|θ)，θ∈Θ是未知參數(shù)，且有先驗(yàn)分布π(θ)，現(xiàn)要對(duì) k 重模糊假設(shè) H0，H1，…，Hk－1做出判決，即選擇行動(dòng)空間A中的一個(gè)行動(dòng).

由貝葉斯公式可知，在得到樣本x后，參數(shù)θ的后驗(yàn)分布為

其中，m(x)= ∫Θπ(θ)f(x|θ)dθ為樣本X的邊緣分布.

損失函數(shù)是指L(θ，a):Θ × A→R+，L(θ，a)表示參數(shù)真值為θ時(shí)采取行動(dòng)a所造成的損失.從樣本空間X={x=(x1，x2，…，xn)}到行動(dòng)空間A上的一個(gè)映射δ(x)稱(chēng)為一個(gè)判決函數(shù).設(shè)D表示所有判決函數(shù)組成的判決函數(shù)類(lèi).其中，損失函數(shù)對(duì)樣本分布的期望值

稱(chēng)為δ(·)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù).風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)對(duì)先驗(yàn)分布π(θ)的期望.

稱(chēng)為δ(·)的貝葉斯風(fēng)險(xiǎn).如果在決策函數(shù)類(lèi)D中存在這樣的決策函數(shù)δ*(·)，使得.

則稱(chēng)δ*(·)為貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則下的最優(yōu)決策函數(shù)[13].

損失函數(shù)L(θ，δ(x))關(guān)于后驗(yàn)分布π(θ|x)的期望值稱(chēng)為決策函數(shù)δ(·)的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn).使后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小的決策函數(shù)稱(chēng)為后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則下的最優(yōu)決策函數(shù).

對(duì)于給定的決策問(wèn)題和決策函數(shù)類(lèi)D，如果給定的先驗(yàn)分布π(θ)使得貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)B(π，δ)滿足，則貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則和后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則等價(jià)[14].

2 艾拉姆咖分布參數(shù)多重模糊假設(shè)檢驗(yàn)的貝葉斯方法

假設(shè)總體的壽命分布為艾拉姆咖分布，其分布函數(shù)為

密度函數(shù)為

其中t0是參數(shù).

密度函數(shù)為

現(xiàn)在從總體X中抽取n個(gè)樣本進(jìn)行壽命試驗(yàn).引理1 θ的Jeffreys先驗(yàn)為證明: 由Jeffreys先驗(yàn)的定義直接可證.此時(shí)，后驗(yàn)分布為

引理2 倒咖瑪分布為θ的共軛先驗(yàn)分布.如果取倒咖瑪分布IGa(σ，λ)為θ的先驗(yàn)分布，則θ的后驗(yàn)分布為IGa(σ′，λ′)，其中σ′= σ +2n，λ′=

證明: 若θ的先驗(yàn)分布π(θ)=IGa(σ，λ)，則θ的后驗(yàn)分布為

現(xiàn)在我們從總體X中抽取n個(gè)樣本進(jìn)行壽命試驗(yàn).

為了研究k重模糊假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題(H0，H1，…，Hk－1)，使用如下的損失函數(shù)[15]:

其中 gi(θ)(i=0，1，…，k－1)為任意非負(fù)函數(shù)，gi(θ)的選取取決于試驗(yàn)者對(duì)錯(cuò)誤接受Hi這一假設(shè)的敏感程度.

定理1 對(duì)于k重模糊假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題(H0，H1，…Hk－1)，如果取損失函數(shù)(7)，則接受Hi當(dāng)且僅當(dāng)

證明: 考慮決策函數(shù)δ(x)的貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)

由貝葉斯公式f(x|θ)π(θ)= π(θ|x)m(x)，m(x)

為X的邊緣密度函數(shù)，因而由Fubini定理，可得

其中

如果定理中的(8)式成立，則

因而B(niǎo)(π，ai)≤B(π，aj)，j≠i.即ai(接受Hi)為貝葉斯檢驗(yàn)法則.證畢.

特別的，如果在定理中g(shù)i≡C(常數(shù))，i=0，1，…，k－1，則式(8)等價(jià)于

假如把Hi理解為模糊事件，則(9)式說(shuō)明貝葉斯檢驗(yàn)法則為接受使后驗(yàn)概率最大的假設(shè)Hi，這正是所謂的后驗(yàn)概率準(zhǔn)則.

推論1 若取Jeffreys先驗(yàn)πJ∝1/θ，θ＞ 0，則式(8)，(9)分別等價(jià)于

推論2 若取倒咖瑪分布為的共軛先驗(yàn)分布，則 θ的后驗(yàn)分布也是倒咖瑪分布，IGa(σ′，λ′)，其中那么式(8)，(9)分別等價(jià)于

3 數(shù)值算例

例1 設(shè)X=(X1，X2，…，X10)是來(lái)自艾拉姆咖分布(5)的簡(jiǎn)單樣本，考慮如下三重模糊假設(shè):H0:θ比10較小，H1:θ大約為10，H2:θ比10 較大其隸屬函數(shù)分別為

取gi(θ)≡C(常數(shù))，記，則對(duì)于 Jeffreys先驗(yàn)，由推論1，需要計(jì)算

對(duì)共軛先驗(yàn)分布IGa(σ，λ)，超參數(shù)σ，λ需要事先確定，我們這里假設(shè) σ =0.5，λ =5，則由推論2，需要計(jì)算

對(duì)T=120，140，160，180，200，220，240 分別計(jì)算 αi(T)和 αi′(T)i=0，1，2，結(jié)果列入表 1.

表1 例1計(jì)算及檢驗(yàn)結(jié)果

通過(guò)表1可以看到，使用Jeffreys先驗(yàn)和共軛先驗(yàn)分布，其決策基本相同，說(shuō)明貝葉斯檢驗(yàn)法則對(duì)兩種先驗(yàn)分布不敏感，具有一定穩(wěn)健性.

例2 (續(xù)例1)對(duì)于例1中的三重假設(shè)，選取損失函數(shù)為

對(duì)于Jeffreys先驗(yàn)，由推論1，需要計(jì)算

對(duì)共軛先驗(yàn)分布IGa(σ，λ)，超參數(shù)σ，λ需要事先確定，我們這里假設(shè) σ =0.5，λ =5，則由推論2，

需要計(jì)算

對(duì)T=120，140，160，180，200，220，240 分別計(jì)算α(ai|T)和α′(ai|T)i=0，1，2，結(jié)果列入表2.

比較表1和表2易知，當(dāng)T=140時(shí)，檢驗(yàn)結(jié)果發(fā)生了改變，這是因?yàn)槲覀冞x取了g0=20，g1=9，g2=9.說(shuō)明我們對(duì)錯(cuò)誤接受H0這一行動(dòng)比較敏感，不能輕易接受H0.

表2 例2計(jì)算及檢驗(yàn)結(jié)果

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