關(guān)于牛頓恒等式的歸納證明

陳 聰,高穩(wěn)濤,鄧 勇

(1.喀什師范學(xué)院,新疆 喀什 844006;2.中國人民解放軍69213部隊(duì),新疆 葉城 844900)

關(guān)于牛頓恒等式的歸納證明

陳 聰1,高穩(wěn)濤2,鄧 勇1

(1.喀什師范學(xué)院,新疆 喀什 844006;2.中國人民解放軍69213部隊(duì),新疆 葉城 844900)

在代數(shù)學(xué)中,牛頓恒等式是聯(lián)系多項(xiàng)式根的冪和與其系數(shù)關(guān)系的一個(gè)重要恒等式。用數(shù)學(xué)歸納法給出牛頓恒等式的一個(gè)自然證明。

牛頓恒等式;對(duì)稱多項(xiàng)式;數(shù)學(xué)歸納法

多項(xiàng)式是代數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念,且代數(shù)式的研究都要?dú)w結(jié)為多項(xiàng)式性質(zhì)的運(yùn)用。

在代數(shù)學(xué)的多項(xiàng)式理論中,關(guān)于牛頓恒等式的證明已大量出現(xiàn)在各種文獻(xiàn)中。例如,在文獻(xiàn)[1]和[2]中,作者分別利用矩陣跡結(jié)論與凱萊-哈密爾頓定理和母函數(shù)與比較系數(shù)法,得到了它的兩種新穎證明。除此之外,還有很多其他證明方法,在此不再贅述。本文直接利用數(shù)學(xué)歸納法給出牛頓恒等式的自然證明。

眾所周知,對(duì)稱多項(xiàng)式是多元多項(xiàng)式中常見的一種,其來源之一以及它應(yīng)用的一個(gè)重要方面就是一元多項(xiàng)式根的研究,故本文從一元多項(xiàng)式的根與系數(shù)的關(guān)系開始。

1 預(yù)備知識(shí)

比較系數(shù)可得:

從該意義上講,每個(gè)關(guān)于x1,x2,…,xn的對(duì)稱多項(xiàng)式都可唯一地寫成s1,s2,…,sn的多項(xiàng)式[3]。同時(shí),初等對(duì)稱多項(xiàng)式在代數(shù)學(xué)、組合數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域中也發(fā)揮著重要作用。

類似地,若設(shè)

則齊次對(duì)稱多項(xiàng)式p1,p2,…,pn也形成對(duì)稱多項(xiàng)式(系數(shù)取自Q或R或C)空間的一組基[4]。

以上兩組基s1,s2,…,sn與p1,p2,…,pn之間的變換公式被稱為“牛頓公式”或“牛頓恒等式”,其最早出現(xiàn)在牛頓1673-1683年間所寫的書《Arithmetica Universalism》中。若設(shè)那么牛頓恒等式可寫成

注意到,(2)式是依賴于n和d的一組恒等式。事實(shí)上,這里的n-d允許超出N的范圍。

下面給出牛頓恒等式的數(shù)學(xué)歸納法證明。

2 牛頓恒等式的證明及應(yīng)用舉例

2.1 定理及其證明

證明:對(duì)m=n-d用數(shù)學(xué)歸納法。

因m=n-d可取任何正的或負(fù)的整數(shù)值,故下面的討論將包括m≤0的情況,即d≥n。

由s1,s2,…,sn的定義及(1)式,可得:

把這些方程加在一起,得到

類似地,對(duì)任意的d＞n,展開

可得

取n,d∈N,使得m=n-d≥1.假設(shè)對(duì)任何n'-d'≤m-1,都有需要證明首先,由sr和pr的定義,容易驗(yàn)證

綜上,牛頓恒等式成立。證畢!

2.2 應(yīng)用舉例

下面給出牛頓恒等式在多項(xiàng)式的恒等證明中的一個(gè)簡單應(yīng)用,以便讀者可以更深刻地理解牛頓恒等式,也可參考文獻(xiàn)[5]。

例,已知x1+x2+x3=0,求證

證 因?yàn)閤1+x2+x3=0,所以,s1=p1=0,由上面定理,在中,分別令d=2,3,4,5,則可得:

故有

從而,

結(jié)論得證!

3 結(jié) 語

其實(shí),在高等代數(shù)的多項(xiàng)式理論中,牛頓恒等式在多項(xiàng)式的恒等變形及其因式分解中都占有舉足輕重的地位,本文用數(shù)學(xué)歸納法給出了其直接證明,并給出牛頓恒等式在證明多項(xiàng)式恒等方面的一個(gè)簡單應(yīng)用舉例,這樣有助于學(xué)者更深刻地理解牛頓恒等式在多項(xiàng)式中的應(yīng)用;而在初等代數(shù)理論中,牛頓恒等式在求解方程的有關(guān)問題及實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)等等[6]問題中都有重要的應(yīng)用價(jià)值,鑒于其應(yīng)用如此廣泛,有興趣的讀者對(duì)于其在數(shù)學(xué)其他分支領(lǐng)域的應(yīng)用可以做進(jìn)一步探究和探討。

[1]鄧勇.關(guān)于矩陣跡結(jié)論的一個(gè)應(yīng)用[J].贛南師范學(xué)院學(xué)報(bào),2008(03):28-31

[2]陳冬君,馬艷芳.具有相同特征值的矩陣的刻畫[J].淮北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011(04):69-71

[3]張禾瑞,郝鈵新.高等代數(shù)[M].5版.北京:高等教育出版社,2007

[4]D G Mead.Newton’s indentities[J].American Math.Monthly,1992(8):749-751

[5]余元希,田萬海,毛宏德.初等代數(shù)研究(上)[M].北京:高等教育出版社,1988

[6]周萬林.牛頓恒等式的多種應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通報(bào),1992(02):10-12

(責(zé)任編輯:馬金玉)

The Inductive Proof on Newton’s Identities

CHEN Cong1,GAO Wen-tao2,DENG Yong1
(1.Kashi Teachers’College,Kashi 844006,China; 2.The 69213rd Troop of People’s Liberation Army,Yecheng 844900,China)

Newton’s identities are an important identity that links the power of polynomial root and its coefficient in algebra.This paper shows a natural proof of Newton’s identities by using mathematical induction.

Newton’s identities;symmetric polynomial;mathematical induction

O151.1

A

1672-755X(2014)03-0011-03

2014-08-22

陳聰(1986—)女,陜西西安人,碩士,主要從事Hopf代數(shù)與量子群方面研究。

鄧勇(1967—),男,新疆焉耆人,教授,碩導(dǎo),主要從事矩陣及其數(shù)值計(jì)算等方面研究。