基于混沌振子和EEMD的周期信號(hào)檢測(cè)方法*

余發(fā)軍，周鳳星

(1.中原工學(xué)院信息商務(wù)學(xué)院 信息工程系,河南 鄭州,450001;2.武漢科技大學(xué) 冶金自動(dòng)化與檢測(cè)技術(shù)教育部工程研究中心,湖北 武漢430081)

工程中的信號(hào)一般較微弱，很容易被噪聲污染，如何有效地進(jìn)行檢測(cè)是信號(hào)處理領(lǐng)域的首要問(wèn)題?；煦缯褡邮钱a(chǎn)生混沌現(xiàn)象的一種非線性系統(tǒng)，許多文獻(xiàn)已經(jīng)證實(shí)它對(duì)周期信號(hào)具有較強(qiáng)敏感性并對(duì)噪聲具有一定免疫性[1-2]，現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用到工程中微弱周期信號(hào)檢測(cè)領(lǐng)域，如生物醫(yī)學(xué)信號(hào)檢測(cè)、軍事雷電信號(hào)探測(cè)、地震信號(hào)遠(yuǎn)程檢測(cè)、工業(yè)機(jī)械故障診斷等。然而，混沌振子用于周期信號(hào)的檢測(cè)還存在需進(jìn)一步完善的問(wèn)題，如噪聲對(duì)相變的影響程度什么情況下可以忽略；初值和相位差影響的問(wèn)題等。

本文通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察噪聲對(duì)輸出量的影響，闡述了噪聲對(duì)混沌振子檢測(cè)信號(hào)影響程度的大小，提出了基于集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?EEMD)的降噪方法；針對(duì)相位差影響問(wèn)題，通過(guò)理論計(jì)算檢測(cè)相位角范圍，得出正反導(dǎo)入法最簡(jiǎn)單的解決方法，最后通過(guò)對(duì)仿真信號(hào)檢測(cè)，給出混沌振子結(jié)合EEMD降噪對(duì)信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)的方法和步驟，并驗(yàn)證了方法的有效性。

1 混沌振子檢測(cè)周期信號(hào)的原理

構(gòu)造Holmes型混沌振子方程[3]：

其中k為阻尼系數(shù);-x+x3為非線性恢復(fù)力，由雙穩(wěn)系統(tǒng)S(x)=-0.5x2+0.25x4求導(dǎo)得到;Fcos(t)為周期策動(dòng)力。雙穩(wěn)系統(tǒng)S(x)具有兩個(gè)勢(shì)阱點(diǎn)x=±1和一個(gè)勢(shì)壘點(diǎn)x=0，因此式(1)可以理解為：一個(gè)質(zhì)量為1 kg的粒子，在周期策動(dòng)力Fcos(t)和阻尼力kx˙作用下運(yùn)動(dòng)在雙穩(wěn)系統(tǒng)S(x)中，解值x(t)就代表該粒子不同時(shí)刻的位置。

由于非線性項(xiàng)的存在，Holmes型混沌振子方程表現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)特性。相軌跡隨F有規(guī)律地發(fā)生相變，使得混沌振子方程檢測(cè)周期信號(hào)成為可能。設(shè)置F為相變臨界值，將待測(cè)信號(hào)加載到式(1)右邊，若加載前后發(fā)生相變，據(jù)此判斷待測(cè)信號(hào)含有與周期策動(dòng)力同頻的分量，達(dá)到檢測(cè)周期信號(hào)的目的。

2 噪聲對(duì)檢測(cè)的影響

根據(jù)噪聲對(duì)輸出量的影響機(jī)理，考察混沌振子方程在加白噪聲前后的變化，加噪前對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程為：

其中ΔX(t0)表示加噪前后系統(tǒng)初始值的差，在實(shí)際中初始值取值相同，所以 ΔX(t0)=0，故式(3)可簡(jiǎn)化為：

[4]可知，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)與方差和計(jì)算步長(zhǎng)成正比，即：Rn(τ)=σ2h×δτ ，所以式(4)最終可以表示為：

由式(5)可以得出結(jié)論：噪聲引起的混沌系統(tǒng)輸出的改變量方差與噪聲方差和計(jì)算步長(zhǎng)成正比。當(dāng)噪聲強(qiáng)度或計(jì)算步長(zhǎng)太大時(shí)，會(huì)對(duì)系統(tǒng)的輸出和相圖產(chǎn)生一定的影響，所以需要先對(duì)含強(qiáng)噪聲的信號(hào)進(jìn)行降噪，再用混沌振子方程進(jìn)行檢測(cè)。

3 基于EEMD的信號(hào)降噪方法

EEMD是由Huang等人于2008年提出的一種處理平穩(wěn)及非平穩(wěn)信號(hào)的新方法，它將信號(hào)分解為多個(gè)固有模式函數(shù)分量IMF(Intrinsic Mode Function)，這些IMF的頻率由高到低依次分布，具有很強(qiáng)的頻率選層性能，是一種完全自適應(yīng)的分解方法，并且能克服模式混疊現(xiàn)象、端點(diǎn)效應(yīng)等問(wèn)題[5]。關(guān)于EEMD的分解原理及步驟，參考文獻(xiàn)[4]給出了詳細(xì)的闡述，這里不再說(shuō)明。

用EEMD實(shí)現(xiàn)降噪的步驟[6-7]如下：

(1)對(duì)含噪信號(hào) x(t)進(jìn)行EEMD分解，得到 M個(gè)IMF分量。

(3)求取 ρj(t1,t2)在零點(diǎn)附近區(qū)間的能量集中比ηj(Δn)，并計(jì)算對(duì)應(yīng)Pj(j=1…M)，其中：

取 P1=η1(Δn)。

(4)判斷 Pj(j=1…M)≥1是否成立，若成立，則噪聲分量的分界點(diǎn)K=j。

(5)對(duì)前 K=1個(gè)IMF進(jìn)行軟閾值[8]處理得到IMF′，其中:

取 μ=0.5，tj=σj2lnN ，σj為第 j 個(gè)IMF的標(biāo)準(zhǔn)差。

(6)重構(gòu)信號(hào) x′(t)如 下式：

4 混沌振子結(jié)合EEMD降噪的檢測(cè)方法

考慮混沌振子方程ω≠1的情況：

4.1 確定檢測(cè)方程的計(jì)算步長(zhǎng)和相變閾值

用式(6)檢測(cè)ω≠1的周期信號(hào)，首先要確定相軌跡由混沌態(tài)變?yōu)榇蟪叨戎芷趹B(tài)的閾值。大量仿真實(shí)驗(yàn)表明，隨著角頻率ω的改變，需要調(diào)整計(jì)算步長(zhǎng)和周期策動(dòng)力的幅值F，才能使相軌跡處于混沌的臨界態(tài)，數(shù)據(jù)如表1所示。由此可以初步確定已知頻率處的相變閾值和計(jì)算步長(zhǎng)。

表1 不同角頻率下的步長(zhǎng)及相變閾值

4.2 用正反導(dǎo)入法克服相位差的影響

假設(shè)待測(cè)信號(hào)含有角頻率為 ω、幅度為 f、相位為φ的周期成 分，振子方程右邊變 成：Fcos(ωt)+fcos(ωt+φ)。調(diào)整幅值F為發(fā)生相變的閾值F0，則發(fā)生相變時(shí)，必滿足得到相位差 φ的檢測(cè)范圍[9]：這就意味著,相位差φ只有在此區(qū)間內(nèi)才能檢測(cè)出來(lái)。在此區(qū)間外，即使待測(cè)信號(hào)中存在與周期策動(dòng)力同頻的周期成分也檢測(cè)不出來(lái)，造成漏檢。

采用簡(jiǎn)單的正反導(dǎo)入法可以避免相位差造成的漏檢。因?yàn)榇郎y(cè)信號(hào)取反后，振子方程右邊變?yōu)镕cos(ωt)-fcos(ωt+φ)，發(fā)生相變時(shí)，滿足得到相位差φ的檢測(cè)范圍：

由于式(7)、式(8)檢測(cè)范圍角的并集覆蓋了整個(gè)0～2π,所以正反導(dǎo)入法能有效避免相位差造成的漏檢。

5 檢測(cè)實(shí)例

5.1 仿真信號(hào)的檢測(cè)

假設(shè)待測(cè)信號(hào) x(t)=0.3cos(t)+n(t)，其中 n(t)是均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為0.3的高斯白噪聲，將其導(dǎo)入到混沌振子式 (1)的 右 邊 進(jìn) 行 檢 測(cè) (令 F=0.527，k=0.5，x(0)=x˙(0)=0)，取計(jì)算步長(zhǎng) h=0.04 s，采用四階 Runge-Kutta法求解，得到其相軌跡如圖1所示。由此看出，混沌振子的相圖沒(méi)有進(jìn)入大尺度周期狀態(tài)，這是由于較強(qiáng)噪聲的存在破壞了原本穩(wěn)定的大尺度周期狀態(tài)。

圖1 降噪前的檢測(cè)相軌跡

用EEMD方法對(duì)x(t)進(jìn)行降噪處理，得到降噪后的信號(hào)，如圖2所示。x(t)經(jīng)EEMD降噪處理后，噪聲大大減小，驗(yàn)證了EEMD降噪方法的有效性。

圖2 降噪后信號(hào)及其頻譜

將降噪后的信號(hào)再次導(dǎo)入到混沌振子式(1)的右邊，得到其輸出信號(hào)波形和相軌跡如圖3所示。由此看出，先用EEMD抑制強(qiáng)噪聲，再用混沌振子檢測(cè)能有效克服噪聲的影響。

5.2 故障軸承振動(dòng)信號(hào)的檢測(cè)

用混沌振子檢測(cè)某故障軸承的振動(dòng)信號(hào)。已知故障軸承型號(hào)為N205EM，外徑為52 mm、內(nèi)徑為25 mm、滾動(dòng)體數(shù)12、滾動(dòng)體直徑為7.5 mm、接觸角為 0°。將該軸承放在旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)故障試驗(yàn)平臺(tái)上做測(cè)試，設(shè)置轉(zhuǎn)速為600 r/min，采樣頻率為20 kHz，采集其振動(dòng)信號(hào)時(shí)域波形如圖4所示。由圖看出此軸承的振動(dòng)信號(hào)含有較強(qiáng)的噪聲,對(duì)其用EEMD方法進(jìn)行降噪處理，降噪后波形如圖5所示。

圖3 降噪后的檢測(cè)相軌跡

圖4 降噪前故障軸承振動(dòng)信號(hào)

圖5 用EEMD降噪后故障軸承信號(hào)

表2 三個(gè)檢測(cè)方程的參數(shù)

理論上可以計(jì)算出該故障軸承的各特征頻率[10]。建立三個(gè)混沌檢測(cè)方程，設(shè)置對(duì)應(yīng)的頻率值，調(diào)整對(duì)應(yīng)的相變閾值和計(jì)算步長(zhǎng)，使其相軌跡處于混沌態(tài)與大尺度周期態(tài)的臨界，對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)如表2所示。將降噪后的故障軸承信號(hào)導(dǎo)入到三個(gè)檢測(cè)方程中，ω=303.54的檢測(cè)結(jié)果如圖6所示。可以看出，此時(shí)混沌振子的相軌跡進(jìn)入大尺度周期狀態(tài)，而其余的相軌跡仍處于混沌狀態(tài)，由此可以判斷軸承的振動(dòng)信號(hào)含有頻率為48.31 Hz的周期成分，進(jìn)而判斷軸承外環(huán)故障，這與軸承的實(shí)際故障情況一致。

圖6 用303.54 rad/s頻率檢測(cè)時(shí)相軌跡

通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察說(shuō)明混沌振子對(duì)噪聲的免疫力是相對(duì)的，理論推導(dǎo)出噪聲對(duì)輸出的影響量噪聲方差和計(jì)算步長(zhǎng)成正比。因此用混沌振子檢測(cè)信號(hào)時(shí)，不能忽視強(qiáng)噪聲對(duì)檢測(cè)結(jié)果的影響。

提出了基于EEMD的信號(hào)降噪方法，將其與混沌振子結(jié)合起來(lái)檢測(cè)周期信號(hào)，并采用正反導(dǎo)入法克服相位差對(duì)檢測(cè)的影響。對(duì)仿真信號(hào)和故障軸承振動(dòng)的檢測(cè)效果驗(yàn)證了該方法的有效性。

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