2013年北大保送生考題(續(xù))

單 墫

(南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，210023)

5.在一個2013×2013的數(shù)表中，每行都成等差數(shù)列，每列的平方也都成等差數(shù)列.求證：左上角的數(shù)×右下角的數(shù)=左下角的數(shù)×右上角的數(shù).

這題有點(diǎn)意思，弄得不好，會做得繁復(fù)而得不出結(jié)果.

其實(shí)簡單.

首先，每行可取首、末及中央這三項(xiàng)仍成A.P(等差數(shù)列).

其次，只取首行、末行及其中央一行.

這樣得到的3行3列的數(shù)表，共9個數(shù)，每行成A.P，每列的平方也成A.P.

設(shè)中央一列的3個數(shù)為A，B，C，則

A2+C2=2B2.

①

9個數(shù)的表可寫成

A-d1AA+d1

B-d2BB+d2

C-d3CC+d3

其中d1,d2,d3分別為三行的公差.

我們還有

(A-d1)2+(C-d3)2=2(B-d2)2，

即(結(jié)合①消去A2+C2與2B2)

②

同樣，由第3列得

③

于是

④

2d2B=d1A+d3C.

⑤

(左上角的數(shù)×右下角的數(shù))-(左下角的數(shù)×右上角的數(shù))

=(A-d1)(C+d3)-(A+d1)(C-d3)

=2(d3A-d1C).

⑥

由④，⑤得

(d3A-d1C)2

=(d3A-d1C)2+(d1A+d3C)2

-(2d2B)2

=0.

所以

d3A-d1C=0,

2(d3A-d1C)=0.

這就是所要證的.