解三角形問題中的增根探因

朱清波

(廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué),510080)

在解三角形問題中,根據(jù)條件建立方程計算某些線段長度或角度時常常會產(chǎn)生多解(增根)的情況.若學(xué)生對這類問題理解不清晰,識別不出其中的增根,則很容易產(chǎn)生一錯再錯的現(xiàn)象.筆者根據(jù)課堂教學(xué)中遇到的幾個案例,分析了多解(增根)產(chǎn)生的原因,引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個方面及時建立檢驗(yàn)的意識,培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

一、對隱含條件的挖掘不深造成多解

例1在?ABC中,已知3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,則角C=______.

二、對題干條件的不等價轉(zhuǎn)化造成多解

剖析本題答案為c=5.那么產(chǎn)生增根c=3的原因是什么呢?

本題是否可以等價轉(zhuǎn)化?實(shí)際上,將條件B=2A轉(zhuǎn)化為sin(B-A)=sinA即可. 這是因?yàn)樵?ABC中,由sin(B-A)=sinA只能得到B-A=A；而另一種情況(B-A)+A=π化簡后得B=π,這顯然是不成立的.該思路對應(yīng)的具體解法如下.

三、對圖形中整體與局部的關(guān)聯(lián)意識不強(qiáng)造成多解

事實(shí)上,錯解1是先通過?ADC的條件得出cosθ,而后續(xù)獨(dú)立求解?ABD時,如圖4,多出的解AB′=2，表明?AB′D≌?ACD,這與B′,D,C三點(diǎn)必須共線矛盾,故不符合題意.

對于例3,以下兩種處理方法可以有效避免出現(xiàn)增根.

評注涉及到角平分線的計算問題,利用三角形面積分割成兩個小三角形面積之和來建立等量關(guān)系,一般能得到一個一次方程,從而避免增根的產(chǎn)生,雖然對唯一結(jié)果還需要檢驗(yàn),但相比來說其難度已經(jīng)小了很多.

評注利用鄰角互補(bǔ)的性質(zhì)建立等量關(guān)系,得到一個一元二次方程,增根x=-1是一個負(fù)值,其幾何意義在于點(diǎn)B,C重合,但因?yàn)閿?shù)值的特殊性,可直接舍去.

從上述三個案例中不難看出,依據(jù)等量關(guān)系所建立的方程出現(xiàn)多解現(xiàn)象,除去所解三角形自身的不確定性外,本質(zhì)上在于將題干所給條件進(jìn)行了不等價的轉(zhuǎn)化從而造成多解.由于個體思維的差異性,學(xué)生無法保證在短時間內(nèi)都能找到最優(yōu)的處理辦法,因此引導(dǎo)他們找到自身解法中出現(xiàn)“增根”的深層次原因,協(xié)助其建立敏銳的檢驗(yàn)意識.當(dāng)把這種反思習(xí)慣逐漸變成思考問題的一種本能后,必然會不斷提升自身綜合解決這類問題的能力.