基本不等式（第一課時(shí)）

趙琳

一、教材背景分析

本節(jié)內(nèi)容是在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的。本節(jié)課通過從生活與幾何背景中得到基本不等式、證明不等式與回歸生活解決實(shí)際問題的思路，體現(xiàn)新課標(biāo)“數(shù)學(xué)有用”的理念。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與能力：理解掌握基本不等式，并能運(yùn)用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單問題。

2.過程與方法：按照創(chuàng)設(shè)情景，提出問題→剖析歸納證明→幾何解釋→應(yīng)用（最值的求法、實(shí)際問題的解決）的過程呈現(xiàn)。培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過問題情境設(shè)置，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來，通過數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界。

三、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：用數(shù)形結(jié)合的思想探索基本不等式的證明過程；用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題。

教學(xué)難點(diǎn)：在幾何背景下抽象出基本不等式的過程；應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題。

四、教學(xué)方法

本節(jié)課采用觀察—感知—抽象—?dú)w納—探究；啟發(fā)誘導(dǎo)、講練結(jié)合的教學(xué)方法。

五、教學(xué)過程

前面我們學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì)，今天我們?cè)趲缀伪尘皢栴}下探討重要的不等關(guān)系。

1.幾何引入，抽象歸納

創(chuàng)設(shè)情景：如圖1是在北京召開的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的

會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。

■

正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為x，y.

探究一：這張“弦圖”中能找出相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？由圖可知S2>S1，即x2+y2>2xy

探究二：上面不等式可取等號(hào)嗎？當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即x=y時(shí)，這時(shí)有x2+y2=2xy。

得到初步結(jié)論：x2+y2≥2xy，x，y∈R+

探究三：能給出這個(gè)不等式的代數(shù)證明嗎？證明：x2+y2-2xy=（x-y）2 當(dāng)x≠y時(shí)，（x-y）2>0；當(dāng)x=y時(shí)，（x-y）2=0；所以，（x-y）2≥0，即x2+y2≥2xy.

探究四：x，y一定滿足x，y∈R+嗎？由探究三的證明過程可知x，y∈R。

結(jié)論：若x，y∈R，則x2+y2≥2xy。（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立）

探究五：如果a>0，b>0，我們用■、■分別代替x、y，可得：得到：a+b≥2■（a>0，b>0）。

通常我們把上式寫作：■≤■（a>0，b>0）。

探究六：能給出這個(gè)不等式的證明嗎？

證明：由于a，b∈R+，于是要證明■≥■，只要證明 a+b≥2■，即證（■）2+（■）2-2■≥0，即（■-■）2≥0，該式顯然成立，所以■≥■，當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)。

2.得出結(jié)論，深化認(rèn)識(shí)

基本不等式：若a，b∈R，則■≤■。（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）

深化認(rèn)識(shí)：（1）稱■為a，b的幾何平均數(shù)；稱■為a，b的算術(shù)平均數(shù)又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)。

（2）對(duì)■和■進(jìn)一步的幾何解釋：

如圖2，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a，BC=b，過點(diǎn)C作垂直于AB的弦CD，連接AD，BD。

■

根據(jù)射影定理可得：CD=■=■，于是有■<■，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心O重合時(shí)，即a=b時(shí)等號(hào)成立。

再次證明：當(dāng)a>0，b>0時(shí)，■≤■（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）

3.應(yīng)用舉例，鞏固提高

例1.證明：■≥■（a，b∈R+）。引導(dǎo)學(xué)生證明。

例2.（1）籬笆圍一個(gè)面積為100平方米的矩形菜園，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長(zhǎng)為36米的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？

利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意三個(gè)限制條件（一正二定三相等）缺一不可。

對(duì)于x，y∈R+，（1）若xy=p（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，x+y有最小值2■；

（2）若x+y=s（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，xy有最大值■。

例3.求下列函數(shù)的最值。（1）若x>2，求y=x+■的最小值。（2）若0

4.反思總結(jié)，整合新知

一個(gè)不等式：若a>0，b>0則有■≤■。

兩種思想：數(shù)形結(jié)合、歸納類比思想。三個(gè)注意：求函數(shù)的最大（小）值時(shí)注意：“一正二定三相等”。

5.布置作業(yè)，課后延拓

（1）基本作業(yè)：課本P100習(xí)題A組1、2題。（2）拓展作業(yè)：高考欣賞（2009天津理6）設(shè)a>0，b>0，若■是3a與3b的比例中項(xiàng)，則■+■的最小值是（ B ）

A.8 B.4 C.1 D.■

（作者單位 陜西省西安中學(xué)）