張蕾
含參不等式恒成立問(wèn)題主要有兩種類(lèi)型:一是已知某個(gè)不等式恒成立,求其中參數(shù)的取值范圍;二是證明含有參數(shù)的某個(gè)不等式恒成立.解決這兩類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是要合理轉(zhuǎn)化函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)或圖象求解,我們將其歸納為最值法和數(shù)形結(jié)合法.
最值法
最值法就是將不等式恒成立問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.
我們一般可以通過(guò)直接分類(lèi)討論、分離參數(shù)和變換主元三種方法求函數(shù)的最值.下面就具體問(wèn)題分析三種方法的實(shí)際應(yīng)用.
例1 [2011年高考數(shù)學(xué)北京卷(理科)第18題第Ⅱ小題] 已知函數(shù)f(x)=(x-k)2e,若對(duì)于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤,求k的取值范圍.
解析: f′(x)=2(x-k)e+(x-k)2e=e(x-k)·(x+k). 根據(jù)題意,對(duì)于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤,即f(x)max≤.
若k>0,因?yàn)閒(k+1)=(k+1-k)2e=e1+>,不滿(mǎn)足對(duì)于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤,所以k<0.
當(dāng)0
點(diǎn)評(píng): 直接對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論是求解含參不等式恒成立問(wèn)題的常用方法.在例1中,我們通過(guò)對(duì)參數(shù)k的正負(fù)的討論,建立了k與的關(guān)系式,進(jìn)而得解.
例2 若kx-lnx+2>0恒成立,求k的取值范圍.
解析: 由題意可知x>0. 要使kx-lnx+2>0恒成立, 則k>恒成立.設(shè)g(x)=,則k>g(x)max.
令g′(x)==0,得x=e3. 當(dāng)0
點(diǎn)評(píng): 直接對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論求最值有時(shí)會(huì)比較煩瑣.如果能通過(guò)恒等變形分離出參數(shù),將不等式轉(zhuǎn)化為一端是參數(shù)、另一端是變量表達(dá)式,就能使研究的函數(shù)不再含有參數(shù),避免了對(duì)參數(shù)的討論.
例3 [2012年高考數(shù)學(xué)浙江卷(理科)第22題第I小題] 已知a>0,b∈R,函數(shù)f(x)=4ax3-2bx-a+b.證明:當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)+2a-b+a≥0.
解析: 設(shè)函數(shù)h(b)=f(x)+2a-b+a=4ax3-2bx+b+2a-b.當(dāng)b<2a時(shí),h(b)=h1(b)=4ax3-2bx+2a=-2xb+2a(2x3+1);當(dāng)b>2a時(shí),h(b)=h2(b)=4ax3-2bx+2b-2a=(2-2x)b+2a(2x3-1).當(dāng)b=2a時(shí),h1(2a)=h2(2a)=4ax3-4ax+2a.
因?yàn)閤∈[0,1],所以當(dāng)b<2a時(shí),h′(b)=h1′(b)=-2x≤0,函數(shù)h(b)在(-∞,2a)上單調(diào)遞減;當(dāng)b>2a時(shí),h′(b)=h2′(b)=2-2x≥0,函數(shù)h(b)在(2a,+∞)上單調(diào)遞增, 所以函數(shù)h(b)min=h1(2a)=h2(2a)=4ax3-4ax+2a=2a(2x3-2x+1).
設(shè)函數(shù)g(x)=2x3-2x+1,g′(x)=6x2-2=6x
-·x
+.因?yàn)閤∈[0,1],所以當(dāng)x∈0
,時(shí),g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈
,1時(shí),g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,所以g(x)min=g
=2·
3-2·+1=1-=1->0.
因?yàn)閔(b)min=2a(2x3-2x+1)≥2a·g(x)min,所以由a>0,g(x)min=g
>0可得h(b)min≥0,即f(x)+2a-b+a≥0.
點(diǎn)評(píng): 有些含參不等式的恒成立問(wèn)題,在分離參數(shù)時(shí)會(huì)遇到需要多次討論的麻煩,這時(shí)如果我們變換主元,就會(huì)簡(jiǎn)化問(wèn)題、降低難度.在例3中,若以常規(guī)的思路,將函數(shù)看成以x為主元、以a,b為參數(shù)的函數(shù),則會(huì)涉及三次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,要進(jìn)行多次分類(lèi)討論.而通過(guò)變換主元,就使得解題思路更簡(jiǎn)潔明快.
數(shù)形結(jié)合法
如果含參不等式恒成立問(wèn)題不方便轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題,還可嘗試采用數(shù)形結(jié)合法,通過(guò)作出函數(shù)圖象求解.
若由原不等式直接轉(zhuǎn)化得到的函數(shù)圖象不易畫(huà)出,可以先通過(guò)等價(jià)變形,將不等式變形為不等號(hào)左右兩個(gè)式子,并將這兩個(gè)式子分別看成兩個(gè)函數(shù),然后將兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系與函數(shù)圖象的位置關(guān)系一一對(duì)應(yīng)求解.
當(dāng)f(x)>g(x)時(shí),函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方;當(dāng)f(x) 例4 若對(duì)于任意的x∈0 ,, x2-loga x-<0恒成立,求a的取值范圍. 解析: x2-loga x-<0?x2- 要使對(duì)于任意的x∈0 ,, x2- ,上函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的下方. 如圖1所示,若a>1,因?yàn)楫?dāng)x∈0 ,時(shí),f(0) =,而 g(x)<0恒成立,所以函數(shù)f(x)的圖象不可能恒在函數(shù)g(x)圖象的下方,所以0 如圖2所示,當(dāng)x∈0 ,時(shí),f(x) =. 所以要使區(qū)間0 ,上函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的下方,只需滿(mǎn)足g(x)min=g ≥f
含參不等式恒成立問(wèn)題主要有兩種類(lèi)型:一是已知某個(gè)不等式恒成立,求其中參數(shù)的取值范圍;二是證明含有參數(shù)的某個(gè)不等式恒成立.解決這兩類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是要合理轉(zhuǎn)化函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)或圖象求解,我們將其歸納為最值法和數(shù)形結(jié)合法.
最值法
最值法就是將不等式恒成立問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.
我們一般可以通過(guò)直接分類(lèi)討論、分離參數(shù)和變換主元三種方法求函數(shù)的最值.下面就具體問(wèn)題分析三種方法的實(shí)際應(yīng)用.
例1 [2011年高考數(shù)學(xué)北京卷(理科)第18題第Ⅱ小題] 已知函數(shù)f(x)=(x-k)2e,若對(duì)于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤,求k的取值范圍.
解析: f′(x)=2(x-k)e+(x-k)2e=e(x-k)·(x+k). 根據(jù)題意,對(duì)于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤,即f(x)max≤.
若k>0,因?yàn)閒(k+1)=(k+1-k)2e=e1+>,不滿(mǎn)足對(duì)于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤,所以k<0.
當(dāng)0
點(diǎn)評(píng): 直接對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論是求解含參不等式恒成立問(wèn)題的常用方法.在例1中,我們通過(guò)對(duì)參數(shù)k的正負(fù)的討論,建立了k與的關(guān)系式,進(jìn)而得解.
例2 若kx-lnx+2>0恒成立,求k的取值范圍.
解析: 由題意可知x>0. 要使kx-lnx+2>0恒成立, 則k>恒成立.設(shè)g(x)=,則k>g(x)max.
令g′(x)==0,得x=e3. 當(dāng)0
點(diǎn)評(píng): 直接對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論求最值有時(shí)會(huì)比較煩瑣.如果能通過(guò)恒等變形分離出參數(shù),將不等式轉(zhuǎn)化為一端是參數(shù)、另一端是變量表達(dá)式,就能使研究的函數(shù)不再含有參數(shù),避免了對(duì)參數(shù)的討論.
例3 [2012年高考數(shù)學(xué)浙江卷(理科)第22題第I小題] 已知a>0,b∈R,函數(shù)f(x)=4ax3-2bx-a+b.證明:當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)+2a-b+a≥0.
解析: 設(shè)函數(shù)h(b)=f(x)+2a-b+a=4ax3-2bx+b+2a-b.當(dāng)b<2a時(shí),h(b)=h1(b)=4ax3-2bx+2a=-2xb+2a(2x3+1);當(dāng)b>2a時(shí),h(b)=h2(b)=4ax3-2bx+2b-2a=(2-2x)b+2a(2x3-1).當(dāng)b=2a時(shí),h1(2a)=h2(2a)=4ax3-4ax+2a.
因?yàn)閤∈[0,1],所以當(dāng)b<2a時(shí),h′(b)=h1′(b)=-2x≤0,函數(shù)h(b)在(-∞,2a)上單調(diào)遞減;當(dāng)b>2a時(shí),h′(b)=h2′(b)=2-2x≥0,函數(shù)h(b)在(2a,+∞)上單調(diào)遞增, 所以函數(shù)h(b)min=h1(2a)=h2(2a)=4ax3-4ax+2a=2a(2x3-2x+1).
設(shè)函數(shù)g(x)=2x3-2x+1,g′(x)=6x2-2=6x
-·x
+.因?yàn)閤∈[0,1],所以當(dāng)x∈0
,時(shí),g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈
,1時(shí),g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,所以g(x)min=g
=2·
3-2·+1=1-=1->0.
因?yàn)閔(b)min=2a(2x3-2x+1)≥2a·g(x)min,所以由a>0,g(x)min=g
>0可得h(b)min≥0,即f(x)+2a-b+a≥0.
點(diǎn)評(píng): 有些含參不等式的恒成立問(wèn)題,在分離參數(shù)時(shí)會(huì)遇到需要多次討論的麻煩,這時(shí)如果我們變換主元,就會(huì)簡(jiǎn)化問(wèn)題、降低難度.在例3中,若以常規(guī)的思路,將函數(shù)看成以x為主元、以a,b為參數(shù)的函數(shù),則會(huì)涉及三次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,要進(jìn)行多次分類(lèi)討論.而通過(guò)變換主元,就使得解題思路更簡(jiǎn)潔明快.
數(shù)形結(jié)合法
如果含參不等式恒成立問(wèn)題不方便轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題,還可嘗試采用數(shù)形結(jié)合法,通過(guò)作出函數(shù)圖象求解.
若由原不等式直接轉(zhuǎn)化得到的函數(shù)圖象不易畫(huà)出,可以先通過(guò)等價(jià)變形,將不等式變形為不等號(hào)左右兩個(gè)式子,并將這兩個(gè)式子分別看成兩個(gè)函數(shù),然后將兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系與函數(shù)圖象的位置關(guān)系一一對(duì)應(yīng)求解.
當(dāng)f(x)>g(x)時(shí),函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方;當(dāng)f(x) 例4 若對(duì)于任意的x∈0 ,, x2-loga x-<0恒成立,求a的取值范圍. 解析: x2-loga x-<0?x2- 要使對(duì)于任意的x∈0 ,, x2- ,上函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的下方. 如圖1所示,若a>1,因?yàn)楫?dāng)x∈0 ,時(shí),f(0) =,而 g(x)<0恒成立,所以函數(shù)f(x)的圖象不可能恒在函數(shù)g(x)圖象的下方,所以0 如圖2所示,當(dāng)x∈0 ,時(shí),f(x) =. 所以要使區(qū)間0 ,上函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的下方,只需滿(mǎn)足g(x)min=g ≥f
含參不等式恒成立問(wèn)題主要有兩種類(lèi)型:一是已知某個(gè)不等式恒成立,求其中參數(shù)的取值范圍;二是證明含有參數(shù)的某個(gè)不等式恒成立.解決這兩類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是要合理轉(zhuǎn)化函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)或圖象求解,我們將其歸納為最值法和數(shù)形結(jié)合法.
最值法
最值法就是將不等式恒成立問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.
我們一般可以通過(guò)直接分類(lèi)討論、分離參數(shù)和變換主元三種方法求函數(shù)的最值.下面就具體問(wèn)題分析三種方法的實(shí)際應(yīng)用.
例1 [2011年高考數(shù)學(xué)北京卷(理科)第18題第Ⅱ小題] 已知函數(shù)f(x)=(x-k)2e,若對(duì)于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤,求k的取值范圍.
解析: f′(x)=2(x-k)e+(x-k)2e=e(x-k)·(x+k). 根據(jù)題意,對(duì)于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤,即f(x)max≤.
若k>0,因?yàn)閒(k+1)=(k+1-k)2e=e1+>,不滿(mǎn)足對(duì)于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤,所以k<0.
當(dāng)0
點(diǎn)評(píng): 直接對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論是求解含參不等式恒成立問(wèn)題的常用方法.在例1中,我們通過(guò)對(duì)參數(shù)k的正負(fù)的討論,建立了k與的關(guān)系式,進(jìn)而得解.
例2 若kx-lnx+2>0恒成立,求k的取值范圍.
解析: 由題意可知x>0. 要使kx-lnx+2>0恒成立, 則k>恒成立.設(shè)g(x)=,則k>g(x)max.
令g′(x)==0,得x=e3. 當(dāng)0
點(diǎn)評(píng): 直接對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論求最值有時(shí)會(huì)比較煩瑣.如果能通過(guò)恒等變形分離出參數(shù),將不等式轉(zhuǎn)化為一端是參數(shù)、另一端是變量表達(dá)式,就能使研究的函數(shù)不再含有參數(shù),避免了對(duì)參數(shù)的討論.
例3 [2012年高考數(shù)學(xué)浙江卷(理科)第22題第I小題] 已知a>0,b∈R,函數(shù)f(x)=4ax3-2bx-a+b.證明:當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)+2a-b+a≥0.
解析: 設(shè)函數(shù)h(b)=f(x)+2a-b+a=4ax3-2bx+b+2a-b.當(dāng)b<2a時(shí),h(b)=h1(b)=4ax3-2bx+2a=-2xb+2a(2x3+1);當(dāng)b>2a時(shí),h(b)=h2(b)=4ax3-2bx+2b-2a=(2-2x)b+2a(2x3-1).當(dāng)b=2a時(shí),h1(2a)=h2(2a)=4ax3-4ax+2a.
因?yàn)閤∈[0,1],所以當(dāng)b<2a時(shí),h′(b)=h1′(b)=-2x≤0,函數(shù)h(b)在(-∞,2a)上單調(diào)遞減;當(dāng)b>2a時(shí),h′(b)=h2′(b)=2-2x≥0,函數(shù)h(b)在(2a,+∞)上單調(diào)遞增, 所以函數(shù)h(b)min=h1(2a)=h2(2a)=4ax3-4ax+2a=2a(2x3-2x+1).
設(shè)函數(shù)g(x)=2x3-2x+1,g′(x)=6x2-2=6x
-·x
+.因?yàn)閤∈[0,1],所以當(dāng)x∈0
,時(shí),g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈
,1時(shí),g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,所以g(x)min=g
=2·
3-2·+1=1-=1->0.
因?yàn)閔(b)min=2a(2x3-2x+1)≥2a·g(x)min,所以由a>0,g(x)min=g
>0可得h(b)min≥0,即f(x)+2a-b+a≥0.
點(diǎn)評(píng): 有些含參不等式的恒成立問(wèn)題,在分離參數(shù)時(shí)會(huì)遇到需要多次討論的麻煩,這時(shí)如果我們變換主元,就會(huì)簡(jiǎn)化問(wèn)題、降低難度.在例3中,若以常規(guī)的思路,將函數(shù)看成以x為主元、以a,b為參數(shù)的函數(shù),則會(huì)涉及三次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,要進(jìn)行多次分類(lèi)討論.而通過(guò)變換主元,就使得解題思路更簡(jiǎn)潔明快.
數(shù)形結(jié)合法
如果含參不等式恒成立問(wèn)題不方便轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題,還可嘗試采用數(shù)形結(jié)合法,通過(guò)作出函數(shù)圖象求解.
若由原不等式直接轉(zhuǎn)化得到的函數(shù)圖象不易畫(huà)出,可以先通過(guò)等價(jià)變形,將不等式變形為不等號(hào)左右兩個(gè)式子,并將這兩個(gè)式子分別看成兩個(gè)函數(shù),然后將兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系與函數(shù)圖象的位置關(guān)系一一對(duì)應(yīng)求解.
當(dāng)f(x)>g(x)時(shí),函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方;當(dāng)f(x) 例4 若對(duì)于任意的x∈0 ,, x2-loga x-<0恒成立,求a的取值范圍. 解析: x2-loga x-<0?x2- 要使對(duì)于任意的x∈0 ,, x2- ,上函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的下方. 如圖1所示,若a>1,因?yàn)楫?dāng)x∈0 ,時(shí),f(0) =,而 g(x)<0恒成立,所以函數(shù)f(x)的圖象不可能恒在函數(shù)g(x)圖象的下方,所以0 如圖2所示,當(dāng)x∈0 ,時(shí),f(x) =. 所以要使區(qū)間0 ,上函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的下方,只需滿(mǎn)足g(x)min=g ≥f